Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга
Единый принцип, суть которого разъяснена в решении задачи 196, позволяет дать гораздо более простое и изящное решение.
196. Единый принцип. Условимся называть представителя элиты трансильванского общества аристократом типа 1, если на вопрос "дважды два - -- четыре?" он отвечает "бал".
Разумеется, на любой другой вопрос с правильным ответом "да" трансильванский аристократ типа 1 ответит "бал".
Условимся называть представителя трансильванской элиты аристократом типа 2, если он не типа 1. Это означает, что если X - любое истинное высказывание (например, "дважды два - четыре") и вы спрашиваете аристократа типа 2, истинно ли X, то он ответит "да" (не путать с "нашим"
привычным "да"!).
Сразу же ясно, что если "бал" означает "да", то аристократы типа 1 надежны, а аристократы типа 2 ненадежны.
Если же бал" означает "нет", то картина обратная (аристократы типа 1 ненадежны, а аристократы типа 2 надежны).
Единый принцип конструирования вопросов заключается в следующем. Чтобы выяснить, истинно ли любое утверждение X, достаточно спросить у любого трансильванского аристократа, эквивалентно ли утверждение о том, что он аристократ типа 1, утверждению X. Вопрос можно задать, например, так:
"Истинно ли X в том и только в том случае, если вы аристократ типа 1?" Докажем, что если на такой вопрос последует ответ: "бал", то X должно быть истинно, а если "да", то X должно быть ложно. Следовательно, "волшебное" утверждение S - это просто-напросто утверждение "вы аристократ типа 1" (или "на вопрос "дважды два - четыре?" вы ответите "бал").
Доказательство. Пусть S - утверждение "вы аристократ типа 1", X утверждение, истинность или ложность которого требуется установить. Вы задаете вопрос:
"Эквивалентно ли S утверждению X?" Предположим, что вам отвечают "нет". Требуется доказать, что X должно быть истинно.
Случай 1: "бал" означает "да". B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 надежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает, что S эквивалентно X.
Подслучай 1а: аристократ типа 1. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Следовательно, S действительно эквивалентно X. Но S истинно (так как аристократ относится к типу 1). Значит, X истинно.
Подслучай 1б: аристократ типа 2. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. Так как он утверждает, что S эквивалентно X, то в действительности S не эквивалентно X.
Но S ложно (так как аристократ не принадлежит к типу 1), а X не эквивалентно S. Следовательно, X истинно.
Случай 2: "бал" означает "нет". B этом случае нам известны два факта: 1) аристократ типа 1 ненадежен; 2) наш собеседник, говорящий "бал", утверждает, что S не эквивалентно X.
Подслучай 2а: аристократ типа 1. Он ненадежен и высказывает ложные утверждения. По его словам (не соответствующим действительности), S не эквивалентно X. Значит, на самом деле S эквивалентно X, а так как S истинно, то X истинно.
Подслучай 2б: аристократ типа 2. Он надежен и высказывает истинные утверждения. Значит, S не эквивалентно X (так как, по его словам, S не эквивалентно X). Но S ложно.
Следовательно, X должно быть истинно.
Итак, доказано, что ответ "бал" означает истинность высказывания X. Повторив аналогичные рассуждения, мы могли бы доказать, что ответ "да" означает ложность высказывания X. Но к тому же результату можно прийти и более коротким путем, если рассуждать следующим образом.
Предположим, что наш собеседник говорит в ответ "да".
Ответ "да" на заданный вопрос означает то же, что и ответ "бал" на вопрос "Верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?" (поскольку для любых двух утверждений Y и Z утверждение "Y эквивалентно Z" противоположно утверждению "Y эквивалентно не Z").
Следовательно, если бы вы задали вопрос "верно ли, что вы аристократ типа 1 в том и только в том случае, если X ложно?", то ваш собеседник ответил бы "бал". А так как он ответил бы "бал", то отсюда (как доказано выше)
следует, что X действительно ложное утверждение.
197. Ответ на вопрос о мелких несоответствиях. 1 и 2. В двух случаях (говоря о том, что ему ни разу не случалось упускать намеченную жертву, и разъясняя действие "волшебного" утверждения S) Дракула произносит "да".
Представители высшей трансильванской знати, к числу которых принадлежит и он, не употребляют слова "да".
3. Когда свирепого вида страж сообщил мне, что я не могу покинуть замок без разрешения хозяина, с чего это вдруг я ему поверил?
4. Когда хозяин замка прислал мне ответную записку "Никаких отлучек!", с чего мне понадобилось ему верить?
Ведь в тот момент я еще не знал, что владелец замка - упырь, лишившийся рассудка, и высказывает (письменно и устно) истинные утверждения.
Часть четвертая. Логика во всем своем блеске и великолепии
XIII. Логика и жизнь
А. ЧТО ТАКОЕ ЛОГИКА
198. Определение логики по Траляля.
Мне нравится следующее определение логики, принадлежащее Траляля:
Труляля (обращаясь к Алисе). Я знаю, о чем ты думаешь, но это не так! Ни в коем разе!
Траляля. Наоборот, если было так, то так могло быть, а если бы так было, то так и было бы. Но ничего такого нет. Это и есть логика.
199. Определение логики по Терберу.
В романе "Тринадцать часов" Тербер приводит определение логики, суть которого сводится примерно к следующему.
Поскольку можно прикоснуться к часам, не останавливая их, то можно пустить часы, не прикасаясь к ним. Это - логика, какой я ее вижу и понимаю.
200.
Определение логики по Терберу несколько напоминает мой излюбленный силлогизм: некоторые автомашины дребезжат на ходу. Моя автомашина - это некоторая автомашина. Не удивительно, что моя автомашина дребезжит!
201. Еще одно определение логики.
Мой приятель, отставной полицейский офицер, узнав, что я логик, сказал мне однажды: "Знаешь, что я понимаю под логикой? Однажды мы с женой были в гостях. Хозяйка предложила нам отведать пирога. На подносе лежало всего два куска пирога, один побольше, другой поменьше. Немного подумав, я решил взять себе тот, что побольше. Рассуждал я при этом так. Я знаю, что моя жена любит пироги и что она знает, что я люблю пироги. Я также знаю, что она любит меня и хочет, чтобы я был счастлив. Следовательно, ей хочется, чтобы я взял себе тот кусок пирога, который побольше. Так я и сделал".
202.
Рассказ моего приятеля напомнил мне историю о двух посетителях ресторана, заказавших рыбу. Официант принес блюдо с двумя рыбами: одной побольше, другой поменьше. Один из посетителей сказал другому: "Прошу вас. Выбирайте любую, какая вам больше правится". Сотрапезник поблагодарил за любезность и положил себе на тарелку ту рыбу, которая была побольше. После напряженного молчания первый посетитель заметил: "Если бы вы предоставили мне право первого выбора, то я взял бы себе ту рыбу, которая поменьше!" "На что вы, собственно, жалуетесь? - осведомился у него другой посетитель. - Ведь вы получили именно то, что хотели!"
203.
История о двух посетителях ресторана напомнила мне еще одну историю о даме на званом обеде. Когда подали спаржу, эта дама, взяв себе с серебряного блюда все головки, передала остальное соседу. Сосед спросил: "Что вы делаете? Почему вы взяли себе все головки, а остальное отдали мне?" "Как, разве вы не знаете? - невозмутимо ответила дама. - Головки в спарже - самое вкусное".
204.
Однажды в какой-то газете мне попалась на глаза карикатура.
Мальчик и девочка идут по тротуару. Мальчик идет дальше от проезжей части, чем девочка. Мимо них проезжает грузовик и обдает девочку грязью с головы до ног. Мальчик говорит своей спутнице: "Теперь ты понимаешь, почему я не хожу со стороны проезжей части как джентльмен?"
205.
Мне нравится следующее определение этики. Мальчик спрашивает отца: "Папа, что такое этика?" Отец отвечает:
"Сейчас объясню тебе на примере, сынок. Как-то раз в мой магазин зашла одна дама. Оплачивая покупку, она дала мне двадцатидолларовую купюру, думая, что дает мне десять долларов. Я также подумал, что она уплатила десять долларов, и дал ей сдачу как с десяти долларов. Лишь через несколько часов я обнаружил, что дама в действительности уплатила двадцать долларов. Сообщу ли я или не сообщу об этом моему партнеру? Это и есть этика, мой мальчик".
206.
Однажды я вместе с приятелем, математиком по профессии, зашел в небольшой ресторанчик пообедать. После перечня блюд в меню стояло: "За все особо заказанное нужно особо платить". Мой приятель заметил по этому поводу: "Слово `особо', да еще дважды повторенное, здесь явно ни к чему".
207.
На рекламе одного ресторана красовалась броская надпись:
Все вкусное не дешево.
Все дешевое не вкусно.
Означают ли эти два предложения одно и то же, или их содержание различно?
С точки зрения логики оба предложения означают одно и то же. Они эквивалентны утверждению "нет ничего, что было бы вкусно и дешево". И все же, хотя эти предложения логически эквивалентны, их психологический подтекст различен. При чтении первого предложения в моем воображении возникает мысль о вкусном блюде, за которое стоит заплатить дорого. При чтении второго рождается мысль о недоброкачественно дешевом блюде. Не думаю, чтобы моя реакция была нетипичной.
