Яков Перельман - Веселые задачи. Две сотни головоломок
Сейчас мой сын моложе меня втрое. Но пять лет назад он был моложе меня в четыре раза. Сколько ему лет?
183. Состязание
Две парусные лодки участвуют в состязании: требуется преодолеть 24 версты туда и обратно в кратчайшее время. Первая лодка прошла весь путь с равномерной скоростью 20 верст в час; вторая двигалась туда со скоростью 16 верст в час, а обратно — со скоростью 24 версты в час.
Победила на состязании первая лодка, хотя, казалось бы, вторая лодка должна была при движении в одном направлении отстать от первой ровно на столько, на сколько она опередила ее на обратном пути и, следовательно, прийти одновременно с первой. Почему же она проиграла?
184. По реке и по озеру
Плывя вниз по реке, гребец преодолевает 5-верстное расстояние за 10 мин. Возвращаясь, он проплывает то же расстояние за один час. Следовательно, 10 верст он проплывает за 1 ч 10 мин.
А сколько времени ему понадобится, чтобы проплыть 10 верст в стоячей воде озера?
185. От Энска до Иксграда
Плывя по течению, пароход делает 20 верст в час; плывя против течения — всего 15 верст в час. На путь от пристани г. Энска до пристани г. Иксграда он затрачивает на 5 часов меньше, чем на обратный путь.
Как далеко от Энска до Иксграда?
186. Всмятку и вкрутую
Хозяйка сварила 5 яиц: два вкрутую и три всмятку. Но она забыла отметить, какие именно яйца сварены вкрутую и какие всмятку, и подала их к столу на одном блюде.
Вы наудачу берете с блюда два яйца. Стоит ли биться о заклад, ставя один рубль против пяти, что вам попадутся оба крутых яйца?
187. Игральная кость
Вот игральная кость (рис. 191): кубик с обозначенными на его гранях очками от 1 до 6. Петр бьется о заклад, что если бросить кубик 4 раза подряд, он упадет единицей кверху только один раз.
Владимир же утверждает, что единица при четырех бросках либо совсем не выпадет, либо же выпадет больше одного раза.
У кого из них больше шансов выиграть спор?
Рис. 191.
188. Семеро друзей
У одного человека было 7 друзей. Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый — каждый четвертый вечер и т. д. до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что этого человека в один и тот же вечер навещали все семеро друзей?
189. Продолжение предыдущей
В те вечера, когда друзья собирались все вместе, хозяин угощал их вином, и приятели чокались друг с другом попарно. Сколько раз при этом звучали бокалы, сталкиваясь между собой?
Рис. 192.
190. Основание Карфагена
Об основании древнего города Карфагена существует следующее предание. Дидона, дочь тирского царя, потеряв мужа, убитого ее братом, бежала в Африку и высадилась со многими жителями Тира на ее северном берегу. Здесь она купила у нумидийского царя столько земли, «сколько занимает воловья шкура». Когда сделка состоялась, Дидона разрезала воловью шкуру на тонкие ремешки и окружила ими участок земли. Благодаря такой уловке она получила участок, достаточный для сооружения крепости. Так, гласит предание, возникла крепость Карфаген, вокруг которой впоследствии был построен город.
Попробуйте вычислить, какую площадь могла занимать крепость, если считать, что воловья шкура имеет поверхность 4 м2, и принять ширину ремешков, на которые Дидона ее изрезала, равной одному миллиметру.
Решения задач 181-190
181. Оба насчитали одинаковое число прохожих. Действительно, тот, кто стоял у ворот, считал следовавших в обе стороны, зато тому, кто ходил, навстречу попалось вдвое больше людей.
182. Если сын теперь втрое моложе отца, то отец старше его на удвоенный возраст. Но и пять лет назад он был, конечно, старше сына на утроенный нынешний возраст сына. С другой стороны, так как тогда отец был старше сына в 4 раза, то он был старше его на утроенный тогдашний возраст сына. Следовательно, удвоенный нынешний возраст сына равен его утроенному прежнему возрасту или, что то же самое, сын теперь в 11/2 раза старше, чем был 5 лет назад. Отсюда легко сообразить, что 5 лет — это половина прежнего возраста сына и, значит, пять лет назад ему было 10 лет, а теперь — 15.
Итак, сыну теперь 15 лет, отцу 45. Пять лет назад отцу было 40 лет, а сыну 10, т. е. вчетверо меньше.
183. Вторая лодка опоздала потому, что двигалась со скоростью 24 версты в час меньше времени, чем со скоростью 16 верст в час. Действительно, со скоростью 24 версты в час она двигалась 24: 24 = 1 час, а со скоростью 16 верст в час 24: 16 = 11/2 часа. Поэтому на пути туда лодка потеряла времени больше, чем выгадала на обратном.
184. По течению гребец плывет со скоростью полверсты в минуту, против течения — со скоростью 1/12 версты в минуту. В первую скорость включена скорость самого течения, у второй она вычтена. Следовательно,
т. е.
версты в час
— это собственная скорость гребца.
И значит, в стоячей воде гребец преодолеет 10 верст за минуты.
Обычный ответ: в озере гребец проплывет 10 верст за то же время, что и в реке, так как потеря скорости будто бы восполняется выигрышем ее — совершенно не верен (см. предыдущую задачу).
185. Плывя по течению, пароход делает 1 версту в 3 минуты; плывя против течения — 1 версту в 4 мин. На каждой версте пароход в первом случае выгадывает 1 мин. А так как на всем расстоянии он выгадывает во времени 5 ч, или 300 мин, то, следовательно, от Энска до Иксграда 300 верст. Действительно,
300:15–300:20 = 20–15 = 5.
186. Для удобства перенумеруем яйца:
крутое № 1. К1
крутое № 2. К2
всмятку № 1. С1
всмятку № 2. С2
всмятку № 3. С3
Из этих яиц можно составить следующие 10 пар:
К1К2 К2С1 С1С2
К1С1 К2С2 С1СЗ
К1С2 К2С3 С2СЗ
К1С3
Мы видим, что только одна пара — первая — состоит из крутых яиц, остальные 9 не дают требуемого сочетания.
Значит, у вас только 1 шанс из 10 взять пару крутых яиц; в остальных 9 случаях из 10 вы проигрываете. И если вы ставите 1 руб., то ваш партнер, имеющий 9 шансов из 10 выиграть, должен для уравнения шансов поставить не 5, а 9 рублей.
187. При четырех бросаниях число всевозможных положений игральной кости равно 6 × 6 × 6 × 6 = 1296. Допустим, что при первом бросании выпало единичное очко. Тогда при трех следующих бросаниях число всевозможных положений кубика, благоприятных для Петра (т. е. число выпаданий любых очков, кроме единичного), равнялось 5 × 5 × 5 = 125. Для Петра также возможно 125 благоприятных расположений, если единичное очко выпадает только при втором, только при третьем или только при четвертом бросании. Итак, существует 125 + 125 + 125 + 125 = 500 различных возможностей того, что единичное очко при четырех бросаниях появится один и только один раз. Неблагоприятных же возможностей имеется 1296 — 500 = 796 (так как таковыми являются все остальные случаи).
Мы видим, что у Владимира шансов выиграть больше (796 против 500), чем у Петра.
188. Нетрудно сообразить, что все семь друзей могли одновременно встречаться у хозяина через такое число дней, которое делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 5, и на 6, и на 7. Наименьшее из таких чисел есть 420. Следовательно, друзья собирались вместе только один раз в 420 дней (14 месяцев).
189. Каждый из восьми присутствующих (хозяин и 7 его друзей) чокается с 7-ю остальными; всего сочетаний по два имеется 8 × 7 = 56. Но каждая пара учитывалась дважды (например, пары 3-й гость с 5-м и 5-й с 3-м рассматривались как разные). Следовательно, бокалы звучали 56: 2 = 28 раз.
190. Если площадь воловьей шкуры 4 м2 или 4 000 000 мм2, а ширина ремня 1 мм, то общая длина вырезанного ремня (если Дидона вырезала его из шкуры по спирали) — 4 000 000 мм, т. е. 4000 м, или 4 км. Таким ремнем можно окружить квадратный участок площадью 1 км2.
Обманы зрения
191. Две дуги
На рис. 193 изображены две дуги с короткими штрихами. Которая дуга сильнее изогнута: верхняя или нижняя?
Рис. 193. Что кривее?
192. Три полоски
Какая из трех бумажных полосок, изображенных на рис. 194, самая длинная?
Рис. 194. Что длиннее?
193. Два корабля
Перед вами (рис. 195) два корабля: пароход и парусник. У кого из них палуба длиннее?
Рис. 195. Равны ли палубы?
