Рэймонд Смаллиан - Как же называется эта книга
Итак, A должен быть рыцарем. Следовательно, верно также, что если B рыцарь, то A - лжец (потому что A настаивает на истинности этого высказывания). Тогда B не может быть рыцарем, так как в противном случае A должен бы быть лжецом, а он им не является /* Любое высказывание, из которого следует ложное высказывание, должно быть ложным, так как из истинного высказывания не может следовать ложное высказывание. В решении задачи 113 из высказывания "В - рыцарь" следует ложное высказывание "А - -- лжец".
Значит, высказывание "В - рыцарь" должно быть ложным.
Это еще один вариант доказательства от противного.*/.
Следовательно, B - лжец.
114. A в действительности утверждает: "Не верно, что X виновен, а Y не виновен". Но это то же самое, как если бы A утверждал: "Либо X не виновен, либо Y виновен".
Следовательно, A и B в действительности утверждают одно и то же, но выражают свою мысль по-разному. Таким образом, утверждения, приведенные в задаче, либо оба истинны, либо оба ложны, поэтому A и B должны быть однотипными.
115. Предположим, что A - рыцарь. Тогда B также рыцарь (по утверждению A). Следовательно, высказывание B "Если A - рыцарь, то C рыцарь" истинно. Но (по предположению) A - рыцарь. Следовательно, C рыцарь (в предположении, что A - рыцарь).
Итак, мы доказали, что если A - рыцарь, то C - рыцарь /* Мы сделали это, приняв в качестве посылки высказывание "А - рыцарь", из которого вывели заключение "С - рыцарь". В силу факта (1) об импликации мы заключаем, что если A - рыцарь, то C - рыцарь.*/. Именно это и утверждал B. Следовательно, B - рыцарь. Значит, высказывание A о том, что B - рыцарь, истинно, поэтому A также рыцарь. Итак, мы доказали, что если A - рыцарь, то C - рыцарь. Следовательно, C также рыцарь. Значит, все трое - рыцари.
116. Из приведенных в задаче высказываний не следует, что я люблю Бетти, но следует, что я люблю Джейн. В том, что я люблю Джейн, можно убедиться при помощи, например, таких рассуждений.
Я либо люблю Бетти, либо не люблю ее. Если я не люблю Бетти, то по условию (1) я должен любить Джейн (так как в задаче сказано, что я люблю по крайней мере одну из девушек). С другой стороны, если я люблю Бетти, то по условию (2) должен любить и Джейн. Значит, независимо от того, люблю ли я или не люблю Бетти, мы приходим к выводу, что я люблю Джейн.
Замечу, кстати, что тем из читательниц, кого зовут Бетти, огорчаться было бы преждевременно: хотя из условий задачи не следует, что я люблю Бетти, из них не следует, что я не люблю Бетти. Вполне возможно, что я люблю и ее, причем даже больше, чем Джейн.
117. На этот раз из условий задачи не следует, что я люблю Джейн, но следует, что я люблю Бетти. Действительно, предположим, что я не люблю Бетти. Тогда утверждение "Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн" должно быть истинным (так как из ложного утверждения следует любое утверждение). Но по условиям задачи если это утверждение истинно, то я должен любить Бетти. Значит, если я не люблю Бетти, то из этого можно заключить, что я люблю ее, и мы приходим к противоречию. Единственный способ избежать противоречия состоит в признании того, что я люблю Бетти.
Условия задачи не позволяют определить, люблю ли я или не люблю Джейн.
118. Из условий задачи следует, что я должен любить и Еву, и Маргарет. Пусть P - высказывание "Если я люблю Еву, то я люблю и Маргарет". Нам известно:
1) Если P истинно, то я люблю Еву.
2) Если я люблю Еву, то P истинно. Решая предыдущую задачу, мы убедились: из (1) следует, что я люблю Еву. Значит, я люблю Еву. Тогда по условию (2) должно быть истинно высказывание P, то есть верно, что если я люблю Еву, то люблю и Маргарет. Но я люблю Еву. Следовательно, я люблю и Маргарет.
119. Я должен любить всех трех девушек. Доказать это можно разными способами. Приведем один из них.
По условию (3) я люблю и Диану, и Марцию, либо не люблю ни одну из них. Предположим, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Тогда по условию (1) я должен любить Сью. Значит, я люблю Сью, но не люблю Диану и не люблю Марцию, что противоречит высказыванию (2). Следовательно, не верно, что я не люблю ни Диану, ни Марцию. Значит, я люблю и Диану, и Марцию. Так как я люблю Диану, то по условию (4) я люблю и Сью. Итак, доказано, что я люблю всех трех девушек.
120. Я должен быть рыцарем. Если бы я был лжецом, то утверждения (1) и (2) были бы ложными. Предположим, что утверждение (2) ложно. Тогда я любил бы Линду, но я не любил бы Кати. Значит, Линду я любил бы, а это означает, что утверждение (1) было бы истинным. Поэтому невозможно, чтобы оба утверждения (1) и (2) были ложными.
Следовательно, я не могу быть лжецом.
121. Сказать: "P ложно, если не Q" - то же самое, что сказать: "Если P, то Q". (Например, высказывание "Я не пойду в кино, если вы не пойдете со мной" эквивалентно высказыванию "Если я пойду в кино, то вы пойдете со мной".) Следовательно, "исправленный" вариант пословицы "Под приглядом котел не закипит, если за ним не приглядывать" эквивалентно утверждению "Если котел под приглядом закипит, то за ним приглядывают", а оно заведомо истинно, так как за котлом под приглядом, кипит он или не кипит, несомненно кто-то приглядывает.
122. Определить, кто такой A - рыцарь или лжец, невозможно. Однако сокровища должны быть на острове.
Для решения этой и других задач серии "Есть ли сокровища на этом острове?" установим раз и навсегда следующий основной принцип: если говорящий (либо рыцарь, либо лжец)
высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то P должно быть истинным (независимо от того, кто такой говорящий рыцарь или лжец).
Пусть K - утверждение о том, что говорящий - рыцарь.
По словам говорящего, K эквивалентно P. Предположим, что говорящий действительно рыцарь. Тогда K действительно эквивалентно P, и K истинно. Следовательно, P эквивалентно истинному утверждению. Значит, P должно быть истинно. С другой стороны, предположим, что говорящий лжец. Тогда его утверждение ложно, поэтому P не эквивалентно K. Кроме того, так как он лжец, то утверждение K ложно. Поскольку P не эквивалентно ложному утверждению K, то P должно быть истинно (если бы P было эквивалентно K, то P было бы ложно). Итак, независимо от того, кто такой говорящий - рыцарь или лжец, P должно быть истинно.
Интересно сравнить новый принцип с принципом, установленным в решениях задач 109--112: если рыцарь или лжец высказывает утверждение "Если я рыцарь, то P", то мы можем заключить, что он рыцарь и что P истинно. Но если рыцарь или лжец высказывает утверждение "Я рыцарь в том и только в том случае, если P", то мы можем заключить, что P истинно, но у нас нет способа определить, рыцарь или лжец тот, кто высказал утверждение.
123. Да, могли бы: никаких сокровищ на острове нет.
Пусть G - утверждение о том, что на острове зарыты сокровища, а K утверждение о том, что A - рыцарь.
Отвечая на ваш вопрос отрицательно, A тем самым заявляет, что G не эквивалентно K. Предположим, что A - рыцарь.
Тогда G действительно не эквивалентно K. Так как A - рыцарь, то K. истинно. Следовательно, G, поскольку оно не эквивалентно истинному утверждению K, должно быть ложным.
С другой стороны, предположим, что A - лжец. Тогда G в действительности эквивалентно K (поскольку лжец сказал, что G и K не эквивалентны). Но K - ложное утверждение (поскольку его высказал лжец). Следовательно, G должно быть ложным, как утверждение, эквивалентное ложному утверждению K. Таким образом, независимо от того, кто такой A рыцарь или лжец, его отрицательный ответ на ваш вопрос означает, что утверждение G ложно. Следовательно, никаких сокровищ на острове нет.
[Примечание. Из двух последних задач (122 и 123)
следует один весьма важный принцип, хорошо известный знатокам и специалистам по "рыцарям и лжецам".
Предположим, что P - любое высказывание, истинность или ложность которого вам требуется установить, и кому-то (он может быть либо рыцарем, либо лжецом)
известно подлинное значение истинности высказывания P.
Тогда, задав носителю знаний один-единственный вопрос, вы можете установить, истинно P или ложно. Достаточно спросить: "Эквивалентно ли высказывание "вы рыцарь"
высказыванию "P истинно"? Получив утвердительный ответ, вы поймете, что P истинно. Получив отрицательный ответ, вы будете знать, что P ложно.
Тот же принцип используется и в решениях трех следующих задач. Мы будем называть его фундаментальным принципом.]
124. Нам заранее известно, что на острове A нет никаких сокровищ, что сокровища зарыты либо на острове B, либо на острове C и что если на острове A есть хоть один нормальный житель, то сокровища зарыты и на острове B, и на острове C.
У выбранного наугад островитянина я спросил: "Эквивалентно ли утверждение, что вы рыцарь, утверждению, что сокровища зарыты на острове B?"
Предположим, что на мой вопрос островитянин ответил утвердительно. Если он либо рыцарь, либо лжец, то сокровища (в силу фундаментального принципа, установленного в решении предыдущей задачи) зарыты на острове B. Если же он нормальный человек, то сокровища зарыты на островах B и C, поэтому на острове сокровища заведомо имеются. Таким образом, утвердительный ответ на мой вопрос означает, что на острове B есть сокровища.
