Сэм Лойд - Самые знаменитые головоломки мира
Это простое задание, взятое из повседневной жизни, и любой механик справился бы с ним по своим представлениям вполне удовлетворительно, но математики обнаружили бы, что попутно он совершил «удвоение куба».
19
Можете ли вы обнаружить на приведенном здесь рисунке правильную пятиконечную звезду?
20
Во всем огромном царстве головоломок трудно найти что-либо более захватывающее, чем задачи о греческом кресте и его взаимосвязях с квадратом, параллелограммом и другими симметричными фигурами.
Широко известна задача о превращении греческого креста в квадрат с помощью наименьшего числа разрезов, но мы хотим привлечь ваше внимание к другой любопытной задаче, где речь идет о превращении одного греческого креста в два других.
Представьте себе раненого, который возвращается домой после того, как его вернула к жизни самоотверженная сестра милосердия из Красного Креста. Он просит подарить ему на счастье красный крест с ее рукава. Как всегда преисполненная доброты, сестра берет ножницы и, взмахнув ими несколько раз, разрезает крест на части, из которых можно сложить два креста одинаковых размеров.
Это простой, но красивый трюк, и, добравшись до решения, вы не можете не испытать чувства удовлетворения.
21
Передвиньте кубики так, чтобы их номера располагались в правильном порядке
Старые обитатели страны головоломок, наверное, помнят, как в начале семидесятых годов[4] я свел с ума весь мир маленькой коробочкой, заполненной небольшими кубиками, которая называлась игрой в 14–15. Пятнадцать перенумерованных кубиков лежали в квадратной коробке в правильном порядке, за исключением кубиков с номерами 14 и 15, которые поменялись местами, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая по очереди по одному кубику, добиться того, чтобы номера 14 и 15 поменялись местами и чтобы все кубики лежали по порядку, причем после всех перестановок правый нижний угол должен остаться свободным, как в начале игры.
Приз в 1000 долларов, предлагавшийся за первое правильное решение, никогда никому не был присужден, хотя тысячи людей утверждали, будто они решили задачу.
Люди буквально помешались на этой головоломке. Из уст в уста передавались удивительные рассказы о лавочнике, забывшем открыть свой магазинчик, об одном почтенном священнике, простоявшем под уличным фонарем долгую зимнюю ночь в надежде вспомнить, как ему удалось решить задачу. Таинственная особенность данной головоломки состоит в том, что, видимо, никто не в состоянии вспомнить последовательность ходов, тогда как многие совершенно уверены, что они добились успеха. Говорят, лоцманы сажали свои корабли на рифы, а паровозные машинисты проносились мимо станций. Один известный издатель из Балтимора отправился в полдень на ленч и лишь после полуночи был обнаружен сбившимися с ног и отчаявшимися сотрудниками газеты сидящим за столом и гоняющим по подносу маленькие кусочки пирога! Да что там, фермеры забывали о своем плуге! Подобную ситуацию вы видите на рисунке.
Несколько новых задач, представляющих собой дальнейшее развитие этой головоломки, стоят того, чтобы над ними подумать.
Вторая задача. Начиная с расположения, указанного на картинке, передвиньте кубики так, чтобы они расположились в правильном порядке, причем пустой квадратик должен оказаться в левом верхнем, а не в правом нижнем углу:
Третья задача. Начиная с того же расположения кубиков, что и в предыдущем случае, поверните коробочку на четверть оборота и передвиньте кубики так, чтобы они расположились следующим образом:
Четвертая задача. Начиная с прежнего расположения, передвиньте кубики так, чтобы они образовали «магический квадрат», у которого сумма чисел вдоль каждой вертикали, горизонтали и каждой из двух диагоналей равнялась бы 30.
22
Вот одна небольшая и довольно странная задача о родственных отношениях, которая имеет любопытный ответ. Дядя Ройбен навестил в большом городе свою сестру Мэри Энн. Гуляя вместе по одной из улиц, они подошли к скромному отелю.
– Прежде, чем мы пойдем дальше, – сказал Ройбен своей сестре, – я должен заглянуть сюда, чтобы справиться о здоровье моего больного племянника, который живет в этом отеле.
– Хорошо, – ответила Мэри Энн, – поскольку у меня нет больного племянника, я сейчас пойду домой, а потом, после полудня, мы продолжим нашу прогулку.
Каковы родственные отношения Мэри Энн и загадочного племянника?
23
Эта простая головоломка настолько лишена математических трудностей, что я даже колебался, стоит ли ее предлагать вниманию читателей. И все же я верю, что она может открыть двери интересной дискуссии.
За 5 долларов Хоббс и Ноббс согласились посадить картошку на поле фермера Сноббса. Ноббс может засадить картошкой борозду за 40 минут и с той же скоростью засыпать борозду землей. Хоббс же способен засадить картошкой борозду всего за 20 минут, но зато, пока он засыпает землей 2 борозды, Ноббс засыпает целых 3.
Хоббс и Ноббс работали все время с постоянной скоростью, пока не обработали все поле, причем каждый из них и сажал картошку, и засыпал ее землей. Зная, что на поле сделано 12 борозд, как показано на рисунке, скажите, каким образом следует разделить 5 долларов, чтобы каждый получил свою долю пропорционально проделанной им работе?
24
Эта головоломка наглядно показывает, как просто надуть человека, приобретающего золотой кирпич. Большой квадрат на рисунке изображает золотой кирпич, который фермер захотел купить у незнакомца в шляпе. Стороны квадрата разделены каждая на 24 равные части.
Если сторона квадрата содержит 24 дюйма, то площадь самого квадрата должна равняться 24 х 24 = 576 квадратным дюймам. Обратите внимание на диагональ, которая идет из одного угла в другой. Разрезав квадрат вдоль этой диагонали и передвинув верхнюю часть на одно деление вверх вдоль разреза, мы получим маленький треугольник А, который высунется справа. Если мы отрежем его и поместим в положение В в левом верхнем углу, то получим прямоугольник шириной в 23 и высотой в 25 дюймов. Но 23, умноженное на 25, даст только 575 квадратных дюймов. Куда же исчез квадратный дюйм?
Говорят, что последний том «Начал» Евклида был целиком посвящен геометрическим заблуждениям такого рода; другими словами – задачам и головоломкам, содержащим умно спрятанные ошибки. К несчастью, этот том утерян, но, без сомнений, это была величайшая из написанных автором книг.
25
Поэт Г. Лонгфелло был прекрасным математиком и не раз отмечал, сколь плодотворное воздействие на фантазию студента оказывают привлекательные одежды, в которые, не в пример сухому языку учебников, можно облечь математические задачи.
Задача о водяной лилии – одна из задач, которые Лонгфелло ввел в свой роман «Каванаг». Она столь проста, что по силам всякому даже не очень сведущему в математике человеку, но столь ярко иллюстрирует важный геометрический факт, что он становится памятен уже навсегда. Я не помню, как дословно сформулировал эту задачу в нашей беседе Лонгфелло, но суть ее сводилась к следующему. Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого, требовалось определить глубину озера.
Предположим, что, как это показано на рисунке, лилия на 10 дюймов поднимается над поверхностью воды, а если ее потянуть в сторону, то она исчезнет под водой в точке, отстоящей на 21 дюйм от того места, где она находилась первоначально. Чему равна глубина озера?
26
Отдыхающим летом на побережье в Джерси знакомы развалины старой башни Бэкон, служившей некогда маяком. Вы видите здесь реконструкцию этой башни, сделанную на основе старинного рисунка полувековой давности, который сохранился у одного местного жителя (ему самому пошел уже девяносто шестой год). Он помнит, как строилась эта башня, когда он был мальчиком. Все графство было взбудоражено этим событием, и вряд ли кто из окрестных жителей сомневался в том, что библейская Вавилонская башня была не выше ее.
Теперь от башни Бэкон ничего не осталось, кроме обгорелого столба примерно шестидесяти футов высотой, ступеньки разрушились при пожаре около двадцати лет назад. Но рисунок, равно как и хроники графства, подтверждают, что первоначально высота башни составляла 300 футов.
