Владимир Левшин - В поисках похищенной марки
— Вот уж не нахожу, — перебил Нулик. — Четыре — ещё куда ни шло, но тройка, тем более — двойка… Ничего в них хорошего нет! Так, по крайней мере, говорит моя мама, когда я показываю ей свой школьный дневник.
— Ну, мама, очевидно, подразумевает совсем другое, — улыбнулся я, — а Пифагор считал эти числа фундаментом мировой гармонии. Он пристально изучал их отношения, или, лучше сказать, соотношения, и очень неожиданно применил их в музыке.
— Что ж такое он сделал? — спросил президент, весьма заинтригованный.
— Да на первый взгляд ничего особенного: взял обыкновенную струну и натянул её на доску.
— Это и я могу! — отозвался президент. — Струну можно снять со скрипки, а доску добыть — дело нехитрое.
— Нет, скрипку разорять ни к чему, — быстро сказал Сева, к великому разочарованию президента, обожавшего все разбирать и развинчивать. — Скрипка — это ведь, собственно, и есть дощечка с натянутыми на неё струнами.
— Отлично! — согласился я. — Возьмём скрипку и познакомимся с изобретением Пифагора на личном опыте. Вот струна. Ущипни-ка её, Нулик.
Президент выполнил мою просьбу с удовольствием. — А теперь прижми струну к грифу точно посередине и ущипни её ещё разок… Слышишь? Этот звук получился гораздо тоньше первого, или, как говорят музыканты, выше.
— Слышу! — подтвердил президент, не переставая терзать бедную струну.
— Так вот, разность этих высот, или, как говорят, интервал между ними, принято называть октавой. И получилась октава оттого, что струну разделили в отношении 2:1. Теперь разделим струну на три части и прижмём на расстоянии двух третей. Ну-ка, что там у нас получилось?
— Получился звук хоть и повыше, чем тогда, когда дёргали целую струну, зато чуть пониже, чем когда разделили струну на две части.
— Правильно. Звук при этом получается выше не на октаву, а на так называемую квинту. И происходит это тогда, когда струну делят в отношении 3:2. А теперь разделим струну в отношении 4:3. Попросту прижмём её на расстоянии трех четвертей. Что получилось? Получился звук ещё чуть ниже, чем тогда, когда мы ущипнули две трети струны. Этот интервал между высотой звучания всей струны и высотой звучания трех её четвертей называется квартой.
— Ишь ты, сколько интересного мы сегодня узнали, — сказал Нулик, загибая пальцы, — октава, квинта, кварта…
— Попробуем узнать и ещё кое-что. Вычислим, во сколько раз октава больше кварты.
— Вычислим, — повторил Нулик. — Вычтем из двух…
— Нет, — остановил я его, — тут надо сделать другое. Надо найти, во сколько раз отношение 2:1 больше отношения 4:3.
— Ну это просто. Надо разделить 2/1 на 4/3:
2/1 : 4/3 = 6/4.
А это все равно, что 3/2…
— А что такое три вторых?
Нулик растерянно молчал.
— Подумай. Ведь мы об этом только что говорили!
— Ой! — просиял президент. — Как же я забыл! Ведь это квинта! Квинта, которая получается, когда струну делят в отношении 3:2.
— Верно, — сказал я. — Но что из этого следует?
— Из этого следует, — догадался Олег, — что октава состоит из квинты и кварты.
Нулик завистливо вздохнул.
— Удивительный человек Пифагор! Какие названия выдумал — квинта, кварта…
— Ну, положим, названия эти появились гораздо позже.
— Когда?
— Много будешь знать — скоро состаришься. Раз ты такой любопытный, попытайся лучше выяснить, во сколько раз квинта больше кварты.
Президент засучил рукава.
— С удовольствием! — И написал на клочке бумаги:
3/2 : 4/3 = 9/8.
Верно?
— Верно. Заодно не мешает сказать, что интервал, равный девяти восьмым, условились считать за один музыкальный тон.
На сей раз Нулика моё сообщение совершенно не обрадовало.
— Квинты, кварты! — проворчал он, пожимая плечами. — А где же всё-таки среднее гармоническое?
— К нему-то мы и подошли. Дело в том, что, кроме чисел 1, 2, 3 и 4, Пифагору приглянулась ещё одна четвёрка чисел: 6, 8, 9 и 12. Они полюбились ему уже хотя бы потому, что отношение 12:6 равно отношению 2:1 и даёт октаву; отношение 12:8 равно отношению 3:2 и даёт квинту; а отношение 12:9 равно отношению 4:3 и даёт кварту. Пифагор обратил внимание также на средние числа этой великолепной четвёрки — 8 и 9. Здесь интересно вспомнить, что отношение 9:8 соответствует одному тону…
— Но что замечательного нашёл Пифагор в этих числах? — спросил Сева.
— Во-первых, девять — это среднее арифметическое шести и двенадцати, то есть крайних чисел этой четвёрки:
(6+12)/2 = 9.
— А восемь?
— А восемь, — неожиданно сказал Олег, — восемь — это их среднее гармоническое. Вот смотрите:
2*6*12/(6+12) = 8.
— Наконец-то! — закричал президент и на радостях снова задудел на своей гребёнке, после чего стало совершенно ясно, что с музыкой на сегодня необходимо покончить.
Объявили перерыв. Все потянулись к бутербродам, разложенным на большом блюде. Но вот когда они были съедены и мы уже готовились приступить ко второй части нашего заседания, Олег внёс в комнату красивую суповую вазу, покрытую, как полагается, специальной крышкой. Президент так и замер.
— Неужели это оно? — спросил он с робкой надеждой в голосе.
— Не оно, а он, — поправил Олег.
Нулик благоговейно приблизился к столу и осторожно поднял замысловатый фарфоровый купол. В лицо ему дохнул запахом ванили густой молочный кисель. Президент издал победный клич и хотел уже запустить в него ложку, но Таня тут же её отняла.
— Сперва надо подобрать подходящее ведёрко, не то не едать нам киселя.
— Ну, тогда подберём его поскорее! — волновался Нулик. — Кто просит слова?
— Кто же ещё? Разумеется, ты, — засмеялся Сева.
— Ошибаешься — я киселя прошу! А слова просит… — Нулик обвёл глазами присутствующих, стараясь отгадать, кто решит задачу без проволочек.
— Слова прошу я! — сказала Таня. — Предлагается вычислить радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник. При этом известно только то, что гипотенуза равна 13 дециметрам, а сумма обоих катетов — 17 дециметрам.
Таня вычертила на бумажке прямоугольный треугольник и обозначила его стороны буквами a, b и c.
— Нет, нет! — запротестовал Нулик. — Так не годится. Твоя гипотенуза — сразу видно — меньше 13 дециметров, да и катеты тоже…
— Числа тут ни при чём, — отмахнулась Таня. — Вычислить радиус вписанного круга можно при любых данных.
— С той оговоркой, что сумма катетов всегда больше гипотенузы, — тихо подсказал Олег.
— Конечно, — кивнула Таня. — Итак, вписываю в прямоугольный треугольник круг. Пусть его радиус равен r.
— Раз числа ни при чём, пусть будет r, — согласился Нулик.
Таня провела три радиуса в точки касания круга со сторонами треугольника.
— Прежде чем решать задачу, — сказала она, — заметьте, что точки касания делят стороны треугольника на две части. Кроме того, очень важно вспомнить, что радиус, проведённый в точку касания, всегда перпендикулярен касательной. Стало быть, после того как мы провели радиусы в точки касания, при вершине прямого угла у нас образовался квадрат. А у квадрата все стороны между собой равны. Отсюда следует, что катет a разделился на части r и a-r, а катет b — на части r и b-r. Остаётся выяснить немногое: на какие части точка касания разделила гипотенузу. Кто хочет высказаться?
Сева почтительно привстал.
— Позвольте мне, профессор. Надеюсь, всем известно, что касательные к кругу, проведённые из одной точки, равны между собой?
— Всем известно! — буркнул Нулик, нетерпеливо барабаня пальцами по столу. — Только для чего это надо?
— А для того, что отсюда сразу ясно: гипотенуза разделилась в точке касания на отрезки a-r и b-r. Теперь мы можем сказать, что гипотенуза равна сумме двух отрезков: a-r и b-r, то есть c=a-r+b-r. А уж отсюда ничего не стоит вывести, что диаметр круга равен сумме катетов минус гипотенуза, то есть
2r = a+b-c.
— Как просто! — захихикал Нулик. — Но всё-таки проверим. Значит, c у нас равно 13, а (a+b) равно 17. Тогда 2r=17-13, то есть 4 дециметрам. А ну, налейте-ка мне тарелочку молочного киселя…
Когда тарелки опустели, президент сказал, довольно потирая руки:
— Ну вот, кисель исчерпан и повестка дня тоже.
— Ничего подобного, — возразил Олег. — Мы ещё ничего не сказали о задаче, которую Единичка задала Магистру.
— Это когда они летели над Бамбуковым океаном? вспомнил Нулик. — У Магистра ещё компас сломался…
— Да нет, компас у него наверняка был в полной исправности.
— Почему ты думаешь? — удивился Нулик. — Ведь стрелка вертелась из стороны в сторону без всякого смысла…
— Это не стрелка вертелась. Это Единичка повернула карту на 90 градусов. А стрелка компаса всегда направлена в одну и ту же сторону — одним концом на северный магнитный полюс Земли, другим — на южный.
— Полюс, это там, где все меридианы пересекаются? — спросил Нулик, желая, очевидно, похвастаться своей эрудицией.
— Меридианы пересекаются на географическом полюсе, — сказал Олег, — а магнитный полюс, на который указывает стрелка компаса, чуть-чуть с ним не совпадает. Так что смешивать полюс географический с магнитным не стоит… Но вернёмся всё-таки к Единичкиной задаче. По-моему, очень любопытная задача.
