БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (ХА)
Х. дифференциального уравнения 2-го порядка
(3)
были введены Г. Монжем (1784, 1795) как линии, вдоль которых удовлетворяется обыкновенное дифференциальное уравнение
. (4)
Если уравнение (3) принадлежит к гиперболическому типу, то получаются два семейства Х. с уравнениями x(x , y ) = C1 и h(х , у ) = C2 (C 1 , C 2 — произвольные постоянные); взяв x и h за новые аргументы, можно привести уравнение (3) к виду
.
Для уравнения (3) параболического типа эти семейства совпадают; если выбрать аргумент h произвольно, то уравнение (3) приведется к виду
.
Уравнение (3) эллиптического типа не имеет вещественных Х.; если записать решение уравнения (4) в виде x ± i h = C , то уравнение (3) преобразуется к виду
.
Значения решения и вдоль Х. и значения и в какой-либо её точке полностью определяют значения этих производных вдоль всей линии [на этом основан т. н. метод Х. решения краевых задач для уравнения (3)]; для других линий такой связи нет. С другой стороны, значения u , и , заданные на линии, не являющейся Х., определяют значения решения вблизи этой линии; для Х. же это не так. Если два решения уравнения (3) совпадают по одну сторону от некоторой линии и различны по другую, то эта линия непременно является Х.
Если коэффициенты уравнения (3) зависят от u , и (квазилинейный случай), то Х., определяемые из уравнения (4), будут разные для разных решений. Имеются определения Х. и для уравнений и систем уравнений с частными производными любого порядка.
Лит. см. при ст. Уравнения математической физики .
Характеристика (в технике)
Характери'стика в технике, взаимосвязь между зависимыми и независимыми переменными, определяющими состояние технического объекта (процесса, прибора, устройства, машины, системы), выраженная в виде текста, таблицы, математической формулы, графика и т.п. Например, зависимости тока от электрического напряжения на участке электрической цепи (см. Вольтамперная характеристика ), расхода топлива автомобилем от пройденного им пути и состояния дороги, громкости и качества звучания громкоговорителя от частоты, времени перемагничивания ферритового сердечника от величины намагничивающего поля.
Х. по методике определения подразделяют на детерминированные (статические, динамические) и статистические; по виду аналитические зависимости — на линейные и нелинейные; по назначению — на эксплуатационные, настроечные и т.д. Статической Х. называется зависимость между выходной и входной величинами технической системы в установившихся состояниях. Динамические Х. (частотные, импульсные и др.) отражают реакции изучаемой системы на какие-либо типовые возмущающие воздействия: например, частотная Х. отражает зависимость амплитуды и фазы периодического сигнала на выходе системы от амплитуды и фазы входного гармонического сигнала при изменении только его частоты; импульсная Х. — зависимость изменения во времени сигнала на выходе системы от воздействия входного единичного импульса. В наиболее полной форме динамическая Х. содержатся в динамической математической модели объекта, например в виде дифференциальных уравнений. Статистические Х. (оценки) применяют к объектам, поведение которых во времени меняется случайным образом. К статистическим Х. относятся, например, дисперсия, автокорреляционная функция, спектральная плотность и т.п.
Линейными называются все Х., которые могут быть с заданной точностью аппроксимированы выражением вида у = ax + b , где у — выходное воздействие, x — входное воздействие изучаемой системы, а и b — постоянные коэффициенты. Все остальные Х. — нелинейные; среди них выделяют линеаризуемые Х., которые по частям с известной точностью аппроксимируются указанным выше выражением (см. Линеаризация ).
А. В. Кочеров.
Характеристическая кривая
Характеристи'ческая кривая, одна из важнейших характеристик фотографического материала, выражающая зависимость (при оговорённых условиях экспонирования и проявления) между оптической плотностью полученного на материале почернения фотографического и десятичным логарифмом экспозиции (называемым также количеством освещения), вызвавшей это почернение. См. ст. Сенситометрия (рис. 1 ) и литература при ней.
Характеристическая функция
Характеристи'ческая фу'нкция в математике,
1) то же, что собственная функция .
2) Х. ф. множества А (в современной терминологии — индикатор А ) — функция f (x ), определённая на некотором множестве Е , содержащем множество А , и принимающая значение f (x ) = 1, если x принадлежит множеству А , и значение f (x ) = 0, если x не принадлежит ему. 3) В теории вероятностей Х. ф. fX (t ) случайной величины Х определяется как математическое ожидание величины eitX . Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности pX (x ), приводит к формуле
.
Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s, Х. ф. равна
.
Свойства Х. ф.: каждой случайной величине Х соответствует определённая Х. ф. fX (t ); распределение вероятностей для Х однозначно определяется по fX (t ); при сложении независимых случайных величин соответствующие Х. ф. перемножаются; при надлежащем определении понятия «близости» случайным величинам с близкими распределениями соответствуют Х. ф., мало отличающиеся друг от друга, и, обратно, близким Х. ф. соответствуют случайные величины с близкими распределениями. Указанные свойства лежат в основе применений Х. ф., в частности к выводу предельных теорем теории вероятностей. Впервые аппарат, по существу равнозначный Х. ф., был использован П. Лапласом (1812), но вся сила метода Х. ф. была показана А. М. Ляпуновым (1901), получившим с его помощью свою известную теорему.
Понятие Х. ф. может быть обобщено на конечные и бесконечные системы случайных величин (т. е. на случайные векторы и случайные процессы).
Теория Х. ф. имеет много общего с теорией Фурье интеграла .
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973.
Характеристические спектры
Характеристи'ческие спе'ктры, линейчатые рентгеновские спектры, вызванные электронными переходами на внутренней оболочки (слои) атомов. Длины волн Х. с. лежат в интервале от 10-2 нм до 5×10 нм и, согласно Мозли закону , зависят от атомного номера элемента. Они не обнаруживают периодических закономерностей, присущих оптическим спектрам, что объясняется сходным строением внутренних электронных оболочек всех элементов.
Х. с. возникают при возбуждении атомов рентгеновскими фотонами или ускоренными электронами. При этом выбивается один из внутренних электронов, например с К -оболочки атома, и в ней появляется вакансия, которая заполняется при переходе электрона с L- , М- или более высоко лежащей оболочки с испусканием рентгеновского фотона определённой частоты. Совокупность линий, возникающих при переходах электронов с вышележащих оболочек на K- , L- и т.д. оболочки, называется, соответственно, K- , L- и т.д. сериями. Внутри серии линии принято обозначать индексами a, b, g и т.д. Например, линия перехода L ® K обозначается К a (см. рис. 1 в ст. Рентгеновские спектры ). Дискретность, присущая Х. с. испускания, проявляется и в спектрах поглощения рентгеновских лучей (см. рис. ).
Х. с. используют для исследований структуры материалов (см. Рентгеновский структурный анализ , Рентгенография материалов , Рентгеновская топография ), а также в спектральном анализе рентгеновском .
