БСЭ - Большая Советская энциклопедия (Пр)
Все основные элементарные функции: постоянные, степенная функция х a , показательная функция ax , тригонометрические функции sinx, cosx, tgx и ctgx и обратные тригонометрические функции arcsinx, arccosx, arctgx и arcctgx во всех внутренних точках своих областей определения имеют П., совпадающие с их значениями в этих точках. Но это не всегда бывает так. Функция
,
являющаяся суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q = 1/(1 + x2 ), 0 < q < 1, в точке х = 0 имеет П., равный 1, ибо f (x ) = 1 + x2 при x ¹ 0. Этот П. не совпадает со значением функции f в нуле: f (0) = 0. Функция же
, x ¹ 0,
вовсе не имеет П. при х ® 0, ибо уже для значений xn = 1/ (p/2 + pn ) последовательность соответствующих значений функции f (xn ) = (- 1) n не имеет П.
Если П. функции при х ® х0 равен нулю, то она называется бесконечно малой при х ® х0 . Например, функция sinx бесконечно мала при х ® 0. Для того чтобы функция f имела при х ® х0 П., равный А, необходимо и достаточно, чтобы f (x ) = A + a(x ), где a(х ) является бесконечно малой при х ® х0
Если при определении П. функции f в точке x0 рассматриваются только точки х, лежащие левее (правее) точки x0 , то получающийся П. называется пределом слева (справа) и обозначается (соответственно ).
Функция имеет П. в некоторой точке, если её П. слева в этой точке равен её П. справа. Понятие П. функции обобщается и на случай, когда аргумент стремится к бесконечности:
, ,
Например,
означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию x > d, выполняется неравенство ½f (x ) - А½ < e.
Примером функций, всегда имеющих П., являются монотонные функции . Так, если функция f определена на интервале (а, b ) и не убывает, то в каждой точке х, а < х < b, она имеет конечный П. как слева, так и справа; в точке в П. справа, который конечен тогда и только тогда, когда функция f ограничена снизу, а в точке b П. слева, конечный в том и только в том случае, когда функция ограничена сверху. В общем же случае стремление к П. может носить разный, необязательно монотонный характер. Например, функция f (x ) = x при х ® 0 стремится к нулю, бесконечное число раз переходя от возрастания к убыванию и обратно.
Т. н. внутренний критерий (критерий Коши) существования П. функции в точке состоит в следующем: функция f имеет в точке x0 П. в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х' и х'', удовлетворяющих условию ½х’ - x0 ½ < d, ½x'' — x0 ½ < d, x' ¹ x0 , x'’ ¹ x0 , выполняется неравенство ½f (x'' ) — f (x' )½ < e.
Для функций, как и для последовательностей, определяются понятия бесконечных П. вида , , и т.д.; в этих случаях функция f называется бесконечно большой при х ® х0 , При х ® х0 + 0 или При х ® +¥ соответственно и т.д. Например,
означает, что для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию х < -d, выполняется неравенство f (x ) > e.
Расширение понятия предела функции . Если функция f определена на некотором множестве Е числовой прямой и точка x0 такова, что в любой её окрестности имеются точки множества Е, то аналогично данному выше определению П. функции, заданной в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , определяется понятие предела функции по множеству Е
,
для этого следует лишь в определении П. всегда дополнительно требовать, чтобы точка х принадлежала множеству Е: х Î Е. П. последовательности xn , n = 1, 2, ..., является при таком определении понятия П. частным случаем П. функции по множеству, а именно функции f, определённой на множестве натуральных чисел n формулой f (n ) = xn , n = 1, 2, ....
Функция, равная нулю при рациональных х и единице при иррациональных, не имеет П. при х ® 0, однако по множеству рациональных чисел она при х ® 0 имеет П., равный нулю. Понятие П. числовой функции по множеству переносится и на функции многих переменных. В этом случае можно говорить, в частности, о П. в данном направлении, о П. по данной кривой, по данной поверхности и т.д. Кроме того, для функций многих переменных возникает понятие повторного предела, когда предельный переход совершается последовательно по разным переменным, например . Распространяется понятие П. и на функции, которые могут принимать не только действительные, но и комплексные значения.
Предел интегральных сумм . Ещё одно важное понятие П. возникает при определении интеграла . Пусть, например, функция f определена на отрезке [a, b ]. Совокупность {xi } таких точек xi , что
a = x0 < x1 <... < xi <... < xn-1 < xn = b,
наз. разбиением отрезка [a , b ]. Пусть xi-1 £ xI < xi , Dxi = xi - xi-1 , i = 1, 2,..., n. Тогда сумма f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 +... + f (xn )Dxn называется интегральной суммой функции f . Число А является пределом интегральных сумм и называется определённым интегралом:
,
если для любого e > 0 существует такое d > 0, что каково бы ни было разбиение {xi } отрезка [a , b ], для которого Dxi < d, и каковы бы ни были точки xi , xi-1 £ xI £ xi , i = 1, 2,..., n, выполняется неравенство
½f (x1 )Dx1 + f (x2 )Dx2 +... + f (xn )Dxn - A | < e.
Понятие П. интегральных сумм может быть введено и с помощью П. последовательности.
Обобщения понятия предела . Ввиду разнообразия употребляемых в математике специальных видов понятия П. естественно возникло стремление включить их как частный случай в то или иное общее понятие П. Например, можно ввести понятие П., обобщающее как понятие П. функции, так и понятие П. интегральных сумм. Система S непустых подмножеств некоторого множества Е называется направлением, если для каждых двух подмножеств А и В этой системы выполняется одно из включений А Ì В или B Ì A и пересечение всех множеств из S пусто. Пусть на множестве Е задана числовая функция f. Число а называется пределом функции f по направлению S, если для любого e > 0 существует такое множество А из S, что во всех его точках выполняется неравенство |f (x ) — а | < e. При определении П. функции f в точке x0 за направление следует взять совокупность всех окрестностей этой точки с достаточно малыми радиусами за вычетом самой точки х 0 . При определении П. интегральных сумм функции f , заданной на отрезке [а, b ], следует рассмотреть множество Е, элементами которого являются всевозможные разбиения отрезка [а, b ] с выбранными в них точками xi . Подмножества Eh множества Е, отвечающие разбиениям, длины Dxi , отрезков которых не превышают h, образуют направление. П. интегральных сумм (которые, очевидно, являются функциями, определёнными на множестве Е ) по указанному направлению является интеграл.
