Новый Мир Новый Мир - Новый Мир ( № 12 2007)
Другое свойство листа Мёбиуса особенно важно для целей нашего изложения. Оно состоит в так называемой неориентируемости . Лист Мёбиуса, как и всякая поверхность, не имеет толщины. Если на листе изображён силуэт ладони, то невозможно сказать, правая она или левая, — это зависит от того, с какой стороны посмотреть. (Читатель да не смутится употреблением здесь слова “сторона”: лист Мёбиуса в целом односторонен, но тот малый его участок, на котором изображена ладонь, двусторонен, и гуляющий по этому участку не может стать своим антиподом.) Если рядом изображены две ладони, то можно сказать, одинаковы ли они или же одна есть зеркальное отражение другой. Так вот, можно совершить такое передвижение силуэта ладони по листу Мёбиуса, при котором этот силуэт вернётся на прежнее место зеркально отражённым, а возможность такого передвижения и означает неориентируемость. Каждый может проверить наличие указанной возможности; для наглядности полезно представлять себе лист Мёбиуса изготовленным из промокательной бумаги, так что любой рисунок, нанесённый чернилами, проступает насквозь. Снова прибегнем к методу аналогии и перенесёмся из двумерного мира в трёхмерный. Очень трудно представить себе трёхмерную геометрическую фигуру, которая была бы неориентируемой, то есть такой, внутри которой возможна траектория, приводящая к зеркальному отражению. В нашем обычном трёхмерном пространстве такие фигуры не умещаются. Те из них, которые компактны и не имеют края, не умещаются даже в “обычном” (то есть евклидовом) четырёхмерном пространстве — подобно тому, как неориентируемые компактные поверхности без края не умещаются в трёхмерном пространстве (умещающийся в трёхмерном пространстве лист Мёбиуса имеет край). Однако уже не вызывает протеста предположение о существовании таких фигур в высших измерениях — ведь и двумерный лист Мёбиуса, не умещаясь на плоскости, требует для своего размещения трёхмерного пространства. И действительно, все неориентируемые трёхмерные тела хорошо себя чувствуют в пятимерном евклидовом пространстве.
Итак, неориентируемая поверхность — это поверхность, перемещая по которой силуэт правой ладони можно (без выхода за пределы поверхности!) превратить его в силуэт левой ладони. Лист Мёбиуса — самая известная и самая простая из неориентируемых поверхностей. Из других наиболее известна так называемая бутылка Клейна, названная по имени знаменитого немецкого математика Феликса Клейна, запустившего её в математический оборот в 1874 году. Представим себе бутылку с очень длинным и очень гибким горлышком. Толщиной материала, из которого изготовлена бутылка, мы пренебрегаем, так что бутылку воспринимаем как двумерную фигуру, то есть как поверхность. Можно ли изогнуть горлышко так, чтобы дотронуться им до дна бутылки? Разумеется, можно; прикосновение при этом произойдёт с наружной стороны дна. Коснуться же горлышком дна изнутри бутылки невозможно, для этого горлышку пришлось бы пройти сквозь стенку. Но вот если бы это удалось, как раз и получилась бы бутылка Клейна.
Так зачем же говорить о такой поверхности, которой нет и не может быть, возмутится читатель. А дело в том, что такая поверхность есть, только “живёт” она в четырёхмерном пространстве. Чтобы понять, как можно изготовить бутылку Клейна при помощи четвёртого измерения, следует вновь обратиться к флатландской аналогии. Обычная бутылка есть двумерная поверхность в трёхмерном пространстве. Что является её аналогом на плоскости? Тень бутылки? Нет, аналог должен быть на одно измерение меньше окружающего пространства, то есть в данном случае одномерным. Обведём карандашом контур тени, сделав в этом обводе перерыв на месте отверстия горлышка. Полученная линия и является искомым одномерным аналогом двумерной бутылки. Представим себе эту линию в виде тонкой и гибкой проволоки. У этой проволочной фигуры можно выделить дно, горлышко и две стенки. Можно ли, не выходя за пределы плоскости, изогнуть горлышко так, чтобы коснуться им дна? Разумеется, можно, но только с наружной стороны; коснуться с внутренней стороны (то есть со стороны тени) невозможно, для этого пришлось бы пересечь одну из стенок. Однако можно коснуться и с внутренней стороны, если разрешить выход за пределы плоскости: в том месте, где проволочное горлышко хочет пересечь проволочную стенку, надо приподнять горлышко над плоскостью, провести его над стенкой наподобие моста, а затем снова опустить на ту же плоскость — но уже внутри бутылки. И дотянуть горлышко до дна. А теперь, напрягая воображение и прибегая к аналогии, можно постараться представить себе изгибание горлышка двумерной бутылки в четвёртом измерении — с последующим касанием дна изнутри.
И евклидово пространство средней школы, и трёхмерная сфера ориентируемы. В них отсутствуют траектории, приводящие к зеркальному отражению. Но теоретические представления о возможной геометрической структуре Вселенной не исключают того, что она неориентируема. А тогда путешествие, приводящее к зеркальному отражению путешественника, может быть осуществлено и без выхода из нашего трёхмерного мира. Таким образом, не вполне прав был поэт, сказавший:
Какая тяжкая обида
Существовать и твёрдо знать,
Что из пустых пространств Евклида
Нам никуда не убежать.
И нам с тобою неужели
Идти в грядущие года —
Как в бесконечность параллели,
Не пересекшись никогда.
1 Благодарю В. И. Беликова, подсказавшего это свидетельство.
2 В 8-томнике В. А. Каверина (1980) фамилия персонажа Ногин. (Примеч. ред.)
3 Этот многим знакомый пример листа Мёбиуса автор узнал от Г. Б. Шабата.
Все, что называется биографией
Бутов Михаил Владимирович — прозаик, эссеист. Родился в 1964 году. Автор книг “Изваяние Пана” (1994), “Свобода” (Букеровская премия за 1999 год). Лауреат премий “Нового мира” за 1999 и 2003 годы. Настоящий текст является частью цикла “Записи”, полностью опубликованного в сетевой версии “Нового мира” <htt://magazines.russ.ru/novyi_mi/redkol/butov.html>.
Когда переходишь за сорок лет, взгляд всюду начинает различать вещи, которые больше не имеют к тебе отношения. Ты слышишь рассказы о том, что с тобой уже никогда не произойдет. Виртуальные судьбы, все эти бесчисленные и бесконечно ветвящиеся варианты того, какой могла быть твоя жизнь, из которых (когда ты выбрал, когда за тебя выбрали) и построился как-то сам собой вариант вот этот, единственный, и ведь никаким образом было не вывернуться, не ухватить за раз хотя бы две возможности, — приобретают особую тяжесть и давят, не отпуская. И поскольку каждое мгновение — это новая развилка, а каждую развилку воспринимаешь теперь как утрату, как точку боли, воспаляется вся ткань времени, разве что идиллические детские воспоминания остаются где-то на дне нетронутыми, их используешь, когда требуется войти в транс: начало августа, я на даче, на берегу пруда, на другом берегу одинокий рыболов, рядом на земле велосипед, руль и колесо вывернуты, смотрят в небо, красное, теплое солнце садится в поле гречихи. И ведь очевидной ошибки — не было. Не ткнешь пальцем, не скажешь: вот, поступи я тут иначе, все оказалось бы потом, сейчас — лучше, проще, благостнее. Точно так же таскал бы на себе саркофаг невоплощенного — разве что чуть иного. Через это сознание и учишься доверять своей единственной, ставшей судьбе, стараешься понять ее достоинство, разглядеть структуру и смысл в хаосе случившегося и не случившегося.
Если бы я не был начисто лишен способности к изображению предметов на плоскости, я бы с удовольствием писал картины — и это бы улучшало мое душевное состояние. Картины двух родов. Во-первых, лирические среднерусские пейзажи. Во-вторых, что-то вроде жанровых портретов в эдаком попсовом точном, даже слегка гиперреалистическом духе. Я вижу сюжеты для них всюду вокруг себя: “Мальчик, завязывающий кроссовку”, “Девушка с Лотманом под мышкой”, “Продавцы гербалайфа…”. Вот сегодня, пока я ковылял по переходам метро, проклиная разболевшееся колено, попались сразу двое. Тетка — точно такой наружности, как все тетки, торгующие в метро, — продавала павлиньи перья. Не знаю, где она ободрала столько павлинов, но перьев у нее было не три и даже не десять, а здоровенный пучок, целая колонна, которую ей приходилось держать двумя руками. Отчего вид тетка приобретала какой-то карфагенский. А затем попался навстречу на эскалаторе человек с бас-балалайкой. Этот весьма внушительный инструмент, в объеме, пожалуй, способный даже побить классический контрабас, он вез незачехленным и закинул, держа за гриф, на плечо — как носят по главной улице гитары деревенские менестрели. Из угла треугольного корпуса торчал вбок заостренный металлический штырь-упор. Был еще не совсем час-пик, но все равно явно не все пассажиры добрались сегодня до дома в полной сохранности. Сергей Костырко, когда предложил мне писать настоящие заметки, просил, чтобы в них присутствовала мысль. Но нужная мысль, в которой объединятся барабан и павлиньи перья, ко мне пока еще не слетела. И вряд ли слетит, покуда не кончится чемпионат мира по футболу и сын не перестанет наблюдать за мячиком в телевизоре до часу ночи.
