Ричард Фейнман - 2. Пространство. Время. Движение
Но ведь чтобы встретиться и помериться годами, Пауль должен либо остановиться в конце путешествия и сравнить часы, либо, еще проще, вернуться. А возвратиться может только тот, кто двигался. И он знает о том, что двигался, потому что ему пришлось повернуть, а при повороте на корабле произошло много необычных вещей: заработали ракеты, предметы скатились к одной стенке и т. д. А Петер ничего этого не испытал.
Поэтому можно высказать такое правило: тот, кто почувствовал ускорение, кто увидел, как вещи скатывались к стенке, и т. д.,— тот и окажется моложе. Разница между братьями имеет «абсолютный» смысл, и все это вполне правильно. Когда мы обсуждали долгую жизнь движущегося мю-мезона, в качестве примера мы пользовались его прямолинейным движением сквозь атмосферу. Но можно породить мю-мезоны и в лаборатории и заставить с помощью магнита их двигаться по кругу. И даже при таком ускоренном движении они проживут дольше, причем столько же, сколько и при прямолинейном движении с этой скоростью. Можно было бы попытаться разрешить парадокс опытным путем: сравнить покоящийся мю-мезон с закрученным по кругу. Несомненно, окажется, что закрученный мю-мезон проживет дольше. Такого опыта еще никто не ставил, но он и не нужен, потому что и так все прекрасно согласуется. Конечно, те, кто настаивает на том, что каждый отдельный факт должен быть непосредственно проверен, этим не удовлетворятся. А мы все же уверенно беремся предсказать результат опыта, в котором Пауль кружится по замкнутому кругу.
§ 3. Преобразование скоростей
Главное отличие принципа относительности Эйнштейна от принципа относительности Ньютона заключается в том, что законы преобразований, связывающих координаты и времена в системах, движущихся относительно друг друга, различны.
Правильный закон преобразований (Лоренца) таков:
Эти уравнения отвечают сравнительно простому случаю, когда наблюдатели движутся относительно друг друга вдоль общей оси х. Конечно, мыслимы и другие направления движения, но самое общее преобразование Лоренца выглядит довольно сложно: в нем перемешаны все четыре числа. Мы и впредь будем пользоваться этой простой формулой, так как она содержит в себе все существенные черты теории относительности.
Рассмотрим теперь дальнейшие следствия этого преобразования. Прежде всего интересно разрешить эти уравнения относительно х, у, z, t. Это система четырех линейных уравнений для четырех неизвестных, и их можно решить — выразить х, у, z, t через х', у', z', t'. Результат этот потому интересен, что он говорит нам, как «покоящаяся» система координат выглядит с точки зрения «движущейся». Ясно, что из-за относительности движения и постоянства скорости тот, кто «движется», может, если пожелает, счесть себя неподвижным, другого — движущимся. А поскольку он движется в обратную сторону, то получит то же преобразование, но с противоположным знаком у скорости. Это в точности то, что дает и прямое решение системы, так что все сходится. Вот если бы не сошлось, было бы от чего встревожиться!
Теперь займемся интересным вопросом о сложении скоростей в теории относительности. Напомним, что первоначально загадка состояла в том, что свет проходит 300 000 км/сек во всех системах, даже если они движутся друг относительно друга. Это — частный случай более общей задачи. Приведем пример. Пусть предмет внутри космического корабля движется вперед со скоростью 200 000 км/сек; скорость самого корабля тоже 200 000 км/сек. С какой скоростью перемещается предмет с точки зрения внешнего наблюдателя? Хочется сказать: 400 000 км/сек, но эта цифра уж больно подозрительна: получается скорость большая, чем скорость света! Разве можно себе это представить?
Общая постановка задачи такова. Пусть скорость тела внутри корабля равна v (с точки зрения наблюдателя на корабле), а сам корабль имеет скорость и по отношению к Земле. Мы желаем знать, с какой скоростью vxэто тело движется с точки зрения земного наблюдателя. Впрочем, это тоже не самый общий случай, потому что движение происходит в направлении х. Могут быть формулы для преобразования скоростей в направлении у или в любом другом; если они будут нужны, их всегда можно вывести. Внутри корабля скорость тела равна vx' . Это значит, что перемещение х' равно скорости, умноженной на время:
x'=vx·'t'. (16.3)
Остается только подсчитать, какие у тела значения х и t с точки зрения внешнего наблюдателя, если х' и t' связаны соотношением (16.3). Подставим (16.3) в (16.2) и получим
Но здесь х выражено через t'. А скорость с точки зрения внешнего наблюдателя — это «его» расстояние, деленное на «его» время, а не на время другого наблюдателя! Значит, надо и время подсчитать с его позиций
А теперь разделим х на t. Квадратные корни сократятся, останется же
Это и есть искомый закон: суммарная скорость не равна сумме скоростей (это привело бы ко всяким несообразностям), но «подправлена» знаменателем 1+uv/c2.
Что же теперь будет получаться? Пусть ваша скорость внутри корабля равна половине скорости света, а скорость корабля тоже равна половине скорости света. Значит, и u равно 1/2с, и v равно 1/2c, но в знаменателе uv равно 1/4, так что
Выходит по теории относительности, что 1/2и 1/2 дают не 1, a 4/5. Небольшие скорости, конечно, можно складывать, как обычно, потому что, пока скорости по сравнению со скоростью света малы, о знаменателе (1 +uv/с2) можно забыть, но на больших скоростях положение меняется.
Возьмем предельный случай. Положим, что человек на борту корабля наблюдает, как распространяется свет. Тогда v=c. Что обнаружит земной наблюдатель? Ответ будет такой:
Значит, если что-то движется со скоростью света внутри корабля, то, с точки зрения стороннего наблюдателя, скорость не изменится, она по-прежнему будет равна скорости света! Это именно то, ради чего в первую очередь предназначал Эйнштейн свою теорию относительности.
Конечно, бывает, что движение тела не совпадает по направлению с равномерным движением корабля. Например, тело движется «вверх» со скоростью vy' по отношению к кораблю, а корабль движется «горизонтально». Проделывая такие же манипуляции (только х надо заменить на у), получаем
y=y'=vy't', так что при vx'=0
Итак, боковая скорость тела уже не vy' , a vy'Ц(1-u2/с2). Этот результат мы получили, пользуясь формулами преобразований. Но он вытекает и прямо из принципа относительности по следующей причине (всегда бывает полезно докопаться до первоначальной причины). Мы уже раньше рассуждали (см. фиг. 15.3) о том, как могут работать движущиеся часы; свет кажется распространяющимся наискось со скоростью с в неподвижной системе, в то время как в движущейся системе он просто движется вертикально с той же скоростью. Мы нашли, что вертикальная, компонента скорости в неподвижной системе меньше скорости света на множитель Ц(1-u2/с2) [см. уравнение (15.3)]. Пусть теперь материальная частица движется в тех же «часах» взад-вперед со скоростью, равной 1/n скорости света (фиг. 16.1).
Фиг.16.1.Траектории светового луча и частицы внутри движущихся часов.
Пока частица пройдет туда и обратно, свет пройдет этот путь ровно nраз (n — целое число). Значит, каждое тиканье «часов с частицей» совпадет с n-м тиканьем «световых часов». Этот факт должен остаться верным и тогда, когда тело движется, потому что физическое явление совпадения остается совпадением в любой системе. Ну а поскольку скорость суменьше скорости света, то скорость vyчастицы должна быть меньше соответствующей скорости в том же отношении (с квадратным корнем)! Вот почему в любой вертикальной скорости появляется корень.
