Алекс Беллос - Красота в квадрате
Одна из моих любимых математических головоломок сводится к перекатыванию одной монеты вокруг другой [7]. Положите две одинаковые монеты с изображением королевы рядом друг с другом на стол, разместив их короной вверх, как показано на рисунке ниже. Прокрутите левую монету вокруг правой. В какую сторону будет направлена корона, когда монета окажется с правой стороны?
Перекатывание монет
Когда мне задали этот вопрос впервые, я предположил, что монета окажется в перевернутом положении, поскольку она прошла только половину пути вокруг неподвижной монеты. Но я ошибался. Королева делает полный оборот, что на первый взгляд противоречит здравому смыслу. Монета с королевской скоростью перемещается вокруг другой монеты, как будто отчаянно пытаясь сохранить достоинство, снова заняв строго вертикальное положение. Дело в том, что траектория движения монеты формируется благодаря свойству, присущему всем рулеттам: они представляют собой результат движения в двух независимых направлениях. В данном примере монета вращается вокруг себя и вокруг другой монеты. На каждый градус перемещения левой монеты вокруг правой приходится два градуса ее вращения вокруг себя.
Рулетты образуются в случае подвижного колеса. Однако кривые можно получить и посредством вращения колеса вокруг неподвижного центра. Такие кривые проще рулетт, поскольку формируются благодаря движению только в одном направлении — вокруг центра.
Возьмем точку на ободе колеса, вращающегося против часовой стрелки, как показано на рисунке 1 ниже. Если нанести на график высоту этой точки в зависимости от угла поворота, отмеченного на горизонтальной оси, получится кривая под названием синусоида, или синусоидальная волна. Я указал на рисунке положение точки при угле поворота 0, 45, 90, 225 и 270 градусов. Синусоида достигает максимума, когда угол поворота составляет 90 градусов, затем возвращается к горизонтальной оси при 180 градусах, после чего опускается ниже горизонтальной оси, а когда точка совершает полный оборот, возвращается в исходное положение. Если колесо продолжит вращаться, кривая будет повторяться с каждым новым оборотом, создавая симметричные волнообразные колебания до бесконечности.
Наверное, вам интересно знать, почему у названия этой волнистой линии один корень со словом «синус», которым обозначается соотношение между двумя сторонами прямоугольного треугольника, ведь между волнами и треугольниками нет ничего общего. Однако все это обретает смысл, если мы вспомним, что концепция синуса связана, прежде всего, с окружностью: это не что иное, как полухорда, что прекрасно видно на рисунке 2, где в окружности размещен прямоугольный треугольник. Предположим, длина гипотенузы равна 1, тогда синус угла α рассчитывается по формуле:
Первым синусоиду нарисовал Жиль де Роберваль в XVII столетии и назвал ее «кривой, сопутствующей циклоиде» [8]. Эта «спутница» займет впоследствии исключительное место в сердцах (и мыслях) ученых и математиков.
Изменение высоты вращающейся точки по отношению к углу поворота порождает синусоидальную волну
Синусоида — это кривая, которую называют периодической волной, поскольку она повторяется вдоль горизонтальной оси снова и снова. Синусоида — простой тип периодических волн, так как образующая ее окружность является простейшей геометрической фигурой. Однако, несмотря на то что синусоида представляет собой базовую концепцию, она моделирует множество физических явлений. Мир — настоящий карнавал синусоид. Изменяющееся во времени вертикальное положение груза, перемещающегося вместе с пружиной вверх и вниз, — это синусоида, как показано на левом рисунке ниже [9]. Груз движется с максимальной скоростью в середине периода колебания и замедляет движение в момент достижения верхней и нижней точек, что создает легко узнаваемую кривую (на рисунке отображено небольшое количество колебаний, ввиду того что горизонтальная ось здесь ограничена). Изменяющееся во времени горизонтальное положение маятника, колеблющегося из стороны в сторону с небольшой амплитудой, тоже образует синусоиду. Представьте себе, что шар маятника наполнен мелким песком и он просачивается через отверстие в нижней точке шара, как показано на рисунке снизу. Маятник, качающийся с севера на юг, оставит след в виде синусоидальной волны на ленте конвейера, движущейся с востока на запад. Говорят, что такие объекты, как пружина и маятник, колебания которых изменяются с течением времени по синусоидальному закону, совершают простое гармоническое колебание.
Подвешенный на пружине груз и колеблющийся маятник совершают простое гармоническое колебание
Мы уже видели, какие красивые рисунки образуют рулетты. То же самое можно сказать и о синусоидах. В 1840-х годах шотландский математик Хью Блэкберн экспериментировал с маятником, шар которого был наполнен песком. Он решил подвесить этот шар на двух шнурах, свисающих в форме буквы Y и прикрепленных друг к другу кольцом в точке r, как показано на рисунке ниже. Удерживая кольцо в неподвижном состоянии, Блэкберн качнул маятник слева направо. Затем он отпустил кольцо и толкнул его вперед, тем самым создав колебание вперед-назад. Таким образом, шар маятника двигался под воздействием двух перпендикулярных колебаний, что давало весьма впечатляющий результат. Эти два конкурирующих синусоидальных колебания отталкивали и притягивали друг друга, совершая своего рода математическое па-де-де, вычерчивающее под маятником удивительно замысловатый рисунок из песка. Через какое-то время предприимчивые производители инструментов начали выпускать устройства под названием «гармонографы», в которых два маятника совершают колебания пишущим пером в двух направлениях одновременно. Пользователь гармонографа мог скорректировать длину маятников, установить амплитуду их колебаний, а затем отпустить, разместив перо над листом бумаги. Перо начинало вращаться и делать петли, воспроизводя прекрасные геометрические формы, которые, несмотря на механическую природу, почему-то казались живыми.
Y-образный маятник Блэкберна. Рисунок взят из научно-популярного издания 1879 года
Из книги: Alfred Marshall Mayer, Soundby, Macmillan and Co., 1879
Гармонограф викторианской эпохи представлял собой нечто среднее между ящиком письменного стола и старинными часами [10]. Как результат, так и сам процесс движения пера, создававшего все эти изображения, оказывал гипнотическое воздействие. Затухание колебаний, обусловленное потерей энергии из-за трения, образовывало кривые, которые закручивались по спирали внутрь по мере их приближения к неподвижной точке равновесия. Некоторые более крупные устройства могли поддерживать колебания на протяжении часа и даже больше, прежде чем маятники останавливались.
Гармонографы стали настолько популярны, что обусловили появление и других устройств, работающих по тому же принципу: симпалмограф, пендулограф, двойной маятник и маятник, совершающий гармонические колебания в четырех направлениях. В начале ХХ века был создан генератор сложных гармонических колебаний Крейтона и фоторатиограф, чертивший кривые на фотобумаге с помощью движущегося светового пучка. В 1950-х годах художник Джон Уитни собрал гармонограф из военного утиля, оставшегося после Второй мировой войны. Он купил блок управления зенитной артиллерийской батареей М5 (большой металлический ящик со множеством ручек и рычагов, представлявший собой первый аналоговый компьютер, который использовался для расчета направления выстрелов по вражеским самолетам) и переделал его так, чтобы вращающиеся детали могли передвигать пишущий элемент по закону простого гармонического колебания в двух направлениях. Уитни мог корректировать скорость и размах колебаний синусоиды в электронном режиме, что позволяло ему в гораздо большей степени контролировать процесс и устраняло последствия затухания колебаний. С помощью этого устройства Уитни создавал удивительные изображения, которые стали одними из самых известных за всю историю математического искусства, поскольку были использованы в заставке и на постерах к фильму Альфреда Хичкока Vertigo («Головокружение»), снятому в 1958 году. Закручивающиеся в водоворот, вызывающие головокружение концентрические петли являлись прекрасной визуальной метафорой для истерзанного внутреннего мира главного героя киноленты. Однако Уитни знаменит не только этими изображениями, а и тем, что его электронный гармонограф был также первым устройством для создания компьютерной анимации.
