Алекс Беллос - Красота в квадрате
Солнечная печь в Одейо, Франция
© Иэн Фрейзер/Shutterstock.com
Параболические антенны служат также для приема электромагнитных и звуковых волн, поступающих в фокус от удаленных объектов. Такие антенны уже стали привычным элементом городского пейзажа: чаще всего они устанавливаются на крышах домов тех людей, которые смотрят спутниковое телевидение, но их можно встретить и на командно-диспетчерских пунктах и военных объектах. Шпионы, инженеры звукозаписи на телевидении и орнитологи используют параболические микрофоны для улавливания тихих звуков с большого расстояния. Принцип во всех случаях один и тот же. Параболоид — единственная геометрическая фигура, отражающая параллельные волны в определенную точку.
В 1668 году Исаак Ньютон построил первый «отражающий» телескоп, ключевыми элементами которого были зеркала, а не линзы, использовавшиеся в телескопах до этого. Ньютон понял, что для основного зеркала самая оптимальная форма — параболоид, но не смог изготовить такое зеркало, поэтому ему пришлось довольствоваться сферическим. Однако даже при наличии подобного дефекта отражающий телескоп был гораздо лучше, чем предыдущие модели, поэтому, начиная с XVII века, большинство телескопов были зеркальными.
Кроме того, Ньютон сделал в отношении парабол одно открытие, которое представляло в то время сугубо теоретический интерес, а сейчас успешно применяется в промышленном производстве телескопов. Если вращать цилиндрический сосуд, наполненный жидкостью, ее поверхность принимает форму параболоида. Под воздействием вращения жидкость поднимается выше у стенок сосуда и образует углубление в центре, создавая поперечное сечение в форме параболы. На этом свойстве построен один из способов изготовления параболических зеркал — вращать сосуд с расплавленным стеклом и дать этому стеклу застыть в таком положении. Большой бинокулярный телескоп, один из самых мощных телескопов в мире, был сделан именно так. Телескоп состоит из двух параболических зеркал диаметром 8,4 метра, изготовленных в огромной вращающейся печи в подземной лаборатории, расположенной под футбольным полем Аризонского университета в Тусоне. Хотя лаборатория может выпускать в год всего по одному зеркалу ценой в десятки миллионов долларов, это все равно более дешевый и быстрый метод, чем изготовление аналогичного зеркала посредством шлифовки стекла.
Еще дешевле телескоп с жидким зеркалом — в нем используется вращающийся цилиндр, наполненный отражающей жидкостью. Большой зенитный телескоп возле Ванкувера представляет собой чашу, наполненную ртутью, которая во время вращения принимает форму параболоида. На настоящий момент это самый дешевый из крупных телескопов мира, но у него есть один серьезный недостаток: чаша вращается в горизонтальной плоскости, а значит, телескоп может быть направлен только прямо вверх, в зенит.
В 1637 году французский математик Рене Декарт изобрел систему координат, что стало самым значительным прорывом в понимании конических сечений со времен Аполлония. Декартова система координат определяет положение точки на плоскости по ее расстоянию от вертикальной и горизонтальной оси [12]. Каждая точка имеет уникальные координаты (a, b), где a — это позиция на горизонтальной оси, а b — на вертикальной (см. рисунок 1 ниже). Данная система позволяла математикам описывать кривые посредством уравнений и представлять уравнения в виде кривых. Следовательно, она создала мост между геометрией, изучающей фигуры, и алгеброй, изучающей уравнения, которые были до этого разными математическими дисциплинами.
По сложившейся традиции мы записываем уравнения с помощью переменных x и y, отображающих позицию на горизонтальной и вертикальной оси, другими словами — координаты (x, y). Например, график уравнения x = y представляет собой совокупность всех точек с координатами (x, y), где x = y. Как показано на рисунке 2, это точки с координатами (1, 1), (2, 2), (3, 3) и т. д. С другой стороны, график уравнения y = x2 — это совокупность всех точек, у которых y = x2. Это точки с координатами (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9) и т. д. Такая кривая, представленная на рисунке 3, представляет собой параболу, касающуюся горизонтальной оси в начале системы координат или в точке с координатами (0, 0). Но, поскольку школьная программа больше ориентирована на алгебру, чем на геометрию, наша первая встреча с параболой происходит в момент построения графика уравнения y = x2. Возможно, вы узнаете ее как старого друга, первую U-образную кривую, которая встретилась вам в процессе изучения элементарной математики.
Декартова система координат
Корни алгебры лежат в решении практических задач. Например, какова формула площади квадрата? Если предположить, что x — это сторона квадрата, а y — его площадь, то эта формула выглядит так: y = x2. Когда в уравнении есть x2 или y2, но не более высокая степень x или y, оно называется квадратным уравнением. Вавилоняне изобрели собственные методы решения квадратных уравнений, в частности для задач, связанных с расчетом площадей. К началу эпохи Возрождения решение квадратных уравнений уже было хорошо изученной областью. Что же еще оставалось о них неузнанным?
Благодаря прямоугольной системе координат было установлено, что квадратные уравнения — это не что иное, как конические сечения. Другими словами, каждое квадратное уравнение описывает определенное коническое сечение, и каждое коническое сечение может быть описано квадратным уравнением. Два тщательно изученных раздела математики оказались альтернативным представлением друг друга. Общее квадратное уравнение Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, где A, B, C, D, E и F — это константы и хотя бы одна из констант A, B и C отлична от нуля, всегда отображается на графике в виде конического сечения, и наоборот: любое коническое сечение, отображенное на графике, может быть выражено в виде приведенного выше уравнения. На рисунке 4 уравнение эллипса будет таким: 2x2 + y2 + 8x = 0, а уравнение параболы — таким: 16x2 − 24xy + 9y2 − 38x − 84y + 121 = 0. В середине XIX века немецкий математик Август Фердинанд Мебиус открыл поразительное свойство параболы y = x2: эта кривая представляет собой Multiplikationsmaschine — «машину умножения» [13].
Мебиус хорошо разбирался в геометрических изгибах: в буквальном смысле слова, как в случае ленты Мебиуса (скрученной полоски бумаги со склеенными концами), и в более абстрактном смысле — при вычислениях с помощью параболы. Этот метод представлен ниже на первом рисунке. Для того чтобы выполнить операцию a × b, достаточно нарисовать прямую линию между точками на параболе, где x = –a и x = b. Точка, в которой эта линия пересекает ось у, — и есть ответ! Все, что нужно, — это нарисовать линию и отметить точку пересечения. На рисунке справа — пример выполнения операции 2 × 3. Требуемая линия проходит через точки на параболе, в которых x = –2 и x = 3, и пересекает ось у в точке 6. Данный метод применим к любым двум числам (доказательство можно найти в Приложении 4).
Как умножить два числа с помощью параболы
Мебиус представил свою оригинальную машину умножения в 1841 году в ссылке к статье, опубликованной в августовском номере журнала Journal für die reine und angewandte Mathematik («Журнал чистой и прикладной математики»), и больше никогда не упоминал об этом методе. Однако идею решения арифметических задач с помощью геометрии впоследствии переосмыслил молодой французский математик Морис д’Окань [14]. Он обнаружил, что кроме операции умножения можно, построив прямую линию между двумя точками на графике и записав ответ, выполнять и многие другие операции. В 1891 году д’Окань ввел термин «номограмма» для обозначения любой таблицы, которую можно использовать для таких вычислений, и сам составил множество таких таблиц. Каждая номограмма подходит для вычислений лишь по одной формуле. На представленном ниже рисунке изображена составленная в 1921 году номограмма для формулы расчета скорости перемещения потока воды через прямоугольное отверстие в плотине, где V — это скорость потока, h1 и h2 — высота верхнего и нижнего края отверстия. Прямая линия, проведенная через точки h1 и h2, пересечется с вертикальной линией в точке, соответствующей искомому значению V. Все, что необходимо для решения этого громоздкого уравнения, — линейка и твердая рука. Номограммы помогли избавиться от трудоемких вычислений, затратных по времени. Они широко применялись в инженерном и военном деле до 1970-х годов, когда электронный калькулятор в одночасье сделал их устаревшими. Гениальные, практические и зачастую красивые номограммы вышли из употребления, а номография стала забытым искусством.
