Алекс Беллос - Красота в квадрате
В начале своего увлечения геодезическими знаками Роб раз в две недели устраивал экспедицию, уезжая из дома в пятницу вечером и возвращаясь в понедельник утром. Геодезические знаки размещены приблизительно в 5 километрах друг от друга, поэтому, действуя оперативно, Боб мог обойти примерно 50 знаков за одни выходные. При удачном стечении обстоятельств эти сооружения располагались у обочины дороги, где он мог припарковать автомобиль. Однако в большинстве случаев геодезические знаки находились вдали от дорог или пешеходных троп и были скрыты в зарослях можжевельника, куманики и прочих колючих кустов. Для того чтобы не возвращаться на работу с ободранными до крови руками, Боб стал брать с собой садовые ножницы.
Геодезические знаки — это реликвии нашего технологического наследства, такие же элементы ландшафта, как средневековые крепости или прямые римские дороги. Робу нравится их коллекционировать, поскольку благодаря этому он путешествует по красивым местам, удовлетворяя свою тягу к приключениям и получая от этого огромное удовольствие. Он совершал ночные переходы по фермерским полям, побывал на страусиной ферме и потратил три года на переговоры с одним землевладельцем, чтобы добиться у него разрешения посмотреть геодезический знак, расположенный на его земельном участке. Мне тоже нравятся геодезические знаки. Они олицетворяют собой величие треугольника — фигуры, которая изменила мир.
Числа появились около 8000 лет назад, а математика возникла в Египте примерно в 600 году до нашей эры.
Все началось с публичной демонстрации способа измерения высоты пирамид. Греческий мыслитель Фалес показал, как определить высоту Великой пирамиды в Гизе, не взбираясь на нее. Сначала он установил на земле шест, который вместе с тенью образовал две стороны треугольника, как показано на представленном ниже рисунке. Пирамида со своей тенью тоже создавала треугольник. Гениальность Фалеса состояла в том, что он понял: хотя эти два треугольника существенно разнятся по размерам, у них одинаковая форма, поскольку солнечные лучи падают параллельно друг другу. Это означало, что на основании высоты маленького треугольника можно рассчитать высоту большого. Если говорить в современных терминах, Фалес понял следующее:
Высоту шеста и длину его тени измерить не составляет труда. Расстояние от центра основания пирамиды до конца ее тени измерить непосредственно нельзя, поскольку этому мешает сама пирамида [2]. Возможно, прежде чем делать расчеты, Фалес подождал, когда солнечные лучи будут направлены перпендикулярно грани пирамиды, так как в этот момент расстояние от центра пирамиды до ее грани равно половине длины стороны пирамиды. Учитывая, что в приведенном выше уравнении три значения были известны, Фалес смог вычислить оставшееся значение — высоту пирамиды.
Параллельные лучи солнца образуют два подобных треугольника: один создан пирамидой, а другой — шестом
Открытие Фалеса стало крохотным шагом для тригонометрии, науки о треугольниках, и огромным скачком для человечества. По мнению ученого, способ определять размер объекта логически вытекал из его свойств [3]. Это отличало мышление Фалеса от мышления египтян, которые проявляли выдающиеся способности в практических областях (таких как строительство пирамид), но при этом их математические знания значительно ограничивались эмпирическими правилами и треугольниками, существующими в реальной жизни. В расчетах Фалеса был задействован треугольник, являющийся абстракцией реальности, образованной солнечными лучами. Идеи Фалеса положили начало греческому рациональному мышлению, которое мы считаем основной западной математики, философии и науки.
Имя Фалеса также носит еще одно его открытие — теорема Фалеса, которая гласит, что треугольник, вписанный в полукруг, всегда прямоугольный [4] 10. Кроме того, воспользовавшись дедуктивным методом, Фалес предсказал солнечное затмение 585 года до нашей эры, а также повышение урожайности оливковых деревьев в его родном городе Милете после нескольких неблагоприятных лет. Он скупил все оливковые маслобойни, какие только смог, по самым низким ценам и разбогател во время небывалого урожая оливок. Столетие спустя древнегреческий комедиограф Аристофан подшутил над великим мудрецом, введя в одну из пьес сцену, где Фалес упал в канаву, в задумчивости рассматривая звезды. Фалеса помнят не только как первого в истории математика и философа, но и как первого самого рассеянного ученого.
Во время устроенного в Гизе представления Фалес продемонстрировал, как посредством треугольника измерить расстояние от ближней точки до дальней без физического перемещения в дальнюю точку. Впоследствии треугольники стали использовать для измерения гораздо больших расстояний, чем высота пирамиды, что полностью изменило такие науки, как астрономия, навигация и картография. Но об этом мы поговорим позже. Иногда огромные расстояния можно измерить, просто понаблюдав за тенью, отбрасываемой вертикально установленным шестом в солнечный день. Спустя три столетия после того, как Фалес с помощью шеста и дедуктивной логики произвел впечатление на фараона, Эратосфен применил тот же метод для получения первой реалистичной оценки окружности Земли.
Эратосфен жил в Александрии, столице эллинистического Египта, где возглавлял крупнейшую в то время знаменитую Александрийскую библиотеку. Там же, в Александрии, он измерил угол падения солнечных лучей у верхушки вертикального шеста в полдень летнего солнцестояния. Оказалось, что этот угол составляет примерно пятидесятую часть полного круга. Эратосфену было известно, что в Сиене, самом южном городе Египта, есть знаменитый колодец, дно которого полностью освещается в полдень летнего солнцестояния, то есть в это время в этом месте Солнце совсем не отбрасывает тень. На основании этих двух фактов Эратосфен сделал вывод, что расстояние от Александрии до Сиены должно составлять пятидесятую часть окружности Земли.
Эратосфен рассуждал так. Во-первых, в то время уже знали, что Земля круглая: люди видели, что корабли уходят за горизонт, а Земля отбрасывает изогнутую тень на Луну во время лунного затмения. Во-вторых, Эратосфену было известно, что Сиена находится строго на юг от Александрии. С учетом этих двух фактов он смог нарисовать представленную ниже схему, на которой изображено поперечное сечение земного шара с севера на юг, проходящее через Александрию и Сиену, в полдень летнего солнцестояния. В этот момент солнечные лучи направлены через Сиену прямо в центр Земли, а в Александрии падают на шест под углом. Поскольку шест установлен вертикально, он также должен указывать на центр земного шара. Следовательно, можно нарисовать абстрактную геометрическую схему (рисунок справа), на которой параллельные линии изображают солнечные лучи, а пересекающая их линия проходит от вершины шеста к центру Земли.
В полдень летнего солнцестояния Солнце не отбрасывает тень в Сиене, но отбрасывает тень от шеста, установленного в Александрии. Угол, который образуют солнечные лучи с шестом, равен углу от центра Земли к этим двум городам
Одна из основных теорем греческой геометрии гласит, что лежащие накрест углы равны, а это значит, что линия, пересекающая две параллельные прямые, образует с ними равные углы. Следовательно, угол, который образует с лучами шест, равен углу в центре Земли. Эратосфен определил, что построенный шестом угол составляет пятидесятую часть полного круга, стало быть, и угол в центре Земли такой же. Получается, расстояние от Александрии до Сиены составляет одну пятидесятую окружности земного шара.
Выходит, что для того, чтобы вычислить окружность Земли, Эратосфену следовало просто умножить расстояние от Александрии до Сиены на пятьдесят. У греков уже была достаточно точная оценка этого расстояния — 5000 стадиев: его измерили бематисты (землемеры), шагомеры, определяющие расстояние и маршрут. (Эратосфену как создателю географии судьба подарила три географических факта, без которых его измерения были бы невозможны: египтяне расселились вплоть до Сиены, находящейся на Тропике Рака — самой северной широте, где Солнце не отбрасывает тень по крайней мере один раз в год; Сиена расположена строго на юг от Александрии; земля между этими двумя городами позволяла проложить более-менее ровную дорогу.) Один стадий в современной системе измерения равен 166 метрам. Таким образом, окружность Земли была рассчитана так: 166 метров × 5000 стадиев × 50, что составляет примерно 41 500 километров, всего на 1500 километров (около 4 процентов) больше правильного значения. На протяжении целой тысячи лет никому не удалось получить более точный результат, чем Эратосфен.
Сейчас город Сиена известен как Асуан. В нем до сих пор сохранился тот самый колодец, однако из-за безжалостного полуденного зноя, наступающего в день летнего солнцестояния, это место вряд ли станет Меккой для туристов.
