Журнал «Юный техник» - Юный техник, 2011 № 12
9. Угол BAD параллелограмма ABCD равен 60°; биссектрисы углов А и D этого параллелограмма пересекаются на прямой ВС. Найдите диагонали параллелограмма, если АВ = а.
10. При каких значениях параметра а уравнения
6х2 — (7а + 1)х — За2 = 4а + 1 и х2 + х + а = а2
имеют общий корень?
11. Во время поездки по загородному шоссе автомобиль на каждые 100 км пути расходует на 3 л бензина меньше, чем в городе. Водитель проехал 48 минут по городу и 2 часа по загородному шоссе и затратил 27,2 л бензина. Затем водитель проехал по загородному шоссе еще полтора часа, затратив 15,6 л бензина. Найдите среднюю скорость автомобиля за всю поездку, если по городу автомобиль едет на 30 км/ч медленнее, чем по загородному шоссе.
12. Найдите значение выражения (cos4a + sin4a — 1)/(cos6a + sin6a — 1).
13. Решите уравнение cos12х: = cos6х + sin6х.
14. Даны геометрическая прогрессия с общим членом Ьn и арифметическая прогрессия с общим членом аn, разность которой отлична от нуля. Известно, что Ь1 = а2, b2 = а14, Ь3 = а8. Определите, являются ли четвертый и пятый члены геометрической прогрессии Ь4 и Ь5 также членами данной арифметической прогрессии (если да, то определите их номера).
ФИЗИКА
1. Каждый участник команды (в состав команды входят два школьника) должен пробежать в эстафете один круг по стадиону (L = 400 м). Тренер находится у беговой дорожки на расстоянии l = 20 м по направлению движения от линии старта. Школьник, бежавший первый этап, пробежал мимо тренера через время t1 = 4 с после старта. Второй участник команды преодолел свой (второй) этап эстафеты за время t2 = 1 мин. 40 сек. Определите скорости школьников. Считать, что каждый из них бежит свой этап с постоянной скоростью. Определите среднюю скорость бега этой эстафетной команды.
2. Перед началом ледохода на реке взрывают лед. По воздуху звук от взрыва до правого берега дошел на Δt = 1с позже, чем до левого. На каком расстоянии l от левого берега был заложен заряд? Ширина реки в данном месте L = 1 км, скорость звука в воздухе Vзв = 320 м/с.
3. В цилиндрический сосуд с тонкими вертикальными стенками высотой Н = 7 см и некоторым объемом воды Vв опустили медный кубик массой m = 445 г. При этом кубик оказался целиком погруженным в воду, а вода не вылилась из сосуда и поднялась до его верхнего края.
Определите объем воды в сосуде. Площадь дна сосуда S = 50 см2, плотность меди ρ = 8,9 г/см3.
4. Между двумя покоящимися на горизонтальной поверхности небольшими тележками массами m1 = 50 г и m2 = 75 г вплотную к ним помещена сжатая с помощью нити легкая пружина. После пережигания нити и полного распрямления пружины тележки пришли в движение с некоторыми постоянными скоростями. Через время t = 3 с расстояние между тележками составило L = 150 см. Определите скорости тележек. Размерами пружины пренебречь.
5. Из тонкого стального листа требуется сделать модель айсберга — «льдину» в форме параллелепипеда толщиной Н = 1 м и сторонами а = 4 м и Ь = З м. При этом отношение объема подводной части «льдины» к ее полному объему должно быть таким же, как и у настоящего айсберга в пресной воде. Какова должна быть толщина стального листа? Объем тонкого стального листа, необходимого для изготовления такой модели льдины, равен произведению площади поверхности параллелепипеда на толщину стенок. Плотность стали ρст = 7800 кг/м3, плотность льда ρt = 900 кг/м3. Массой воздуха, находящегося внутри модели айсберга, пренебречь.
6. Медный стержень длиной L = 1 м подвешен на динамометре в вертикальном положении. При этом он частично погружен в воду. При увеличении глубины погружения стержня на l = 20 см показания динамометра изменились на ΔР = 1 Н. Определите массу стержня. Плотность меди ρм = 8900 кг/м3, g = 10 м/с2.
7. На краю горизонтальной поверхности стола лежит однородная доска длиной L = 6 м так, что за край стола выступает четверть доски (см. рис. 1). Масса доски m1 = 20 кг. На каком максимальном расстоянии х от края стола на доску можно положить небольшой по размерам груз массой m2 = 30 кг, чтобы доска осталась в равновесии?
8. Требуется наполнить сосуд емкостью V = 100 л теплой водой при температуре 40 °C. Для этой цели холодная вода при температуре 16 °C пропускается через проточный водонагреватель на основе биотоплива (топливные брикеты из соломы), который имеет мощность Р = 20 кВТ и КПД 80 %. Сколько времени будет наполняться сосуд и каков расход биотоплива (в килограммах)?
Удельная теплота сгорания топливных брикетов из соломы q = 18 МДж/кг.
9. В калориметр, где находится вода массой Мв = 2,5 кг при температуре tв = 5 °C помещают кусок льда массой Мл = 700 г. Когда установилось тепловое равновесие, оказалось, что масса воды увеличилась на m = 64 г. Определите начальную температуру льда. Теплоемкостью калориметра и потерями теплоты пренебречь.
Удельная теплота плавления льда λл = 3,2-105Дж/кг, удельная теплоемкость воды св = 4200 Дж/(кг∙К), удельная теплоемкость льда сл = 2100 Дж/(кг∙К).
10. Сопротивление однородной металлической проволоки длиной l, имеющей квадратное сечение со стороной а у равно R = 5 Ом. После протягивания проволоки через волочильный станок получился проводник круглого сечения диаметром а. При этом длина проводника увеличилась. Определите новое значение сопротивления проводника.
11. Камень начинает падение с некоторой начальной высоты Н1 над землей. При уменьшении начальной высоты на h = 15 м время падения уменьшилось на Δt. Определите Н1. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с2.
12. На легкой нерастяжимой нити, перекинутой через блок, подвешены два груза одинаковой массы М. Грузы покоятся. На один из грузов устанавливают перегрузок массой m = 300 г. Через τ = 0,8 с после этого один из грузов оказался выше другого на h = 100 см.
Определите массу М. Массой блока и трением в его оси пренебречь.
13. За «передовые опыты с двумерным материалом — графеном» выпускникам МФТИ А.К. Гейму и К.С. Новоселову была присуждена Нобелевская премия по физике за 2010 год. Графен является двумерным кристаллом, состоящим из одиночного слоя атомов углерода. Его кристаллическая решетка (см. рис. 2) представляет собой плоскость, состоящую из правильных шестиугольных ячеек (атомы углерода располагаются в вершинах правильного шестиугольника). Расстояние между ближайшими атомами углерода в шестиугольниках, обозначенное а0, составляет 0,142 нм. Определите массу одного квадратного метра графена.
Рис. 2
14. Футбольный мяч накачивается в теплом помещении для игры на открытой площадке. Температура в помещении t1 = 20 °C, температура на футбольном поле t2 = -10 °C. Для нормальной игры необходимо, чтобы давление воздуха в мяче составляло Рм = 1,1 атм.
Сколько качаний поршневым насосом нужно сделать, если объем накачанного мяча составляет V = 5,5 л, а объем камеры насоса Vн = 0,7 л? Давлением воздуха в ненакачанном мяче пренебречь. Считать, что объем накачанного мяча при его переносе из помещения на открытый воздух не изменяется. Давление воздуха в помещении P0 = 1 атм.
15. Моль идеального газа охлаждается при постоянном объеме, а затем при постоянном давлении приводится в состояние с температурой, равной начальной температуре Т0 = 300 К. При переходе из начального состояния в конечное газ получил тепло Q = 1500 Дж. Во сколько раз конечное давление отличается от начального?
16. Маленький заряженный шарик массой m, подвешенный на легкой нерастяжимой непроводящей нити, помещают в горизонтальное однородное электрическое поле. Нить отклоняется от вертикали на некоторый угол. При каком минимальном значении напряженности электрического поля нить порвется, если известно, что она выдерживает максимальную силу натяжения Тмакс = 2mg. Заряд шарика q > 0.
