А. Степанов - Число и культура
Мы не ставили себе целью перечислить в настоящем разделе все разновидности научных, социально-политических, культурных тетрад, да это и невозможно. Однако о механизме их работы, а также о логике, которая за ними стоит, читатель, надеюсь, сложил определенное мнение. После чисел 3 и 4 пора обратиться к другим формообразующим представлениям.
Примечания
1 Так, Зенон из Элеи рассматривал в апории "Стрела" каждую очередную половину ее пути как "пройденную", "законченную".
2 В Японии ей соответствовали парии – "эта" (букв.: "переполненные грязью"), которые занимались убоем скота, выделкой кожи, изготовлением обуви и доспехов.
3 Кувшин с человеческой головой (юг) содержал желудок и большие кишки, с головой собаки (север) – тонкие кишки, шакала (восток) – легкие и сердце, сокола (запад) – печень и желчный пузырь.
1.5. Системы с иной логической структурой
Среди решений составленного для систем S уравнения – уравнения (5) раздела 1.2 – фигурировали "странные" варианты М = ∞ и М = 0, см. разделы 1.3 и 1.4. Независимо от того, какова заданная кратность отношений n, формально допустимо, что системы настоящего типа могут состоять из бесконечно большого числа элементов или вовсе не содержать таковых, по-прежнему квалифицируясь в качестве целостных и простых. Ранее предпочтение отдавалось логически "здравым", "позитивным" решениям М = 3, М = 4, а такие ситуации отодвинуты в сторону, теперь же попробуем приглядеться и к ним.
Актуальные бесконечности логика не любит рассматривать, полагая их немыслимыми по существу. Например, алгебра отказывается использовать соответствующее понятие, ибо, где появляется бесконечность, там рано или поздно обнаруживаются противоречия, парадоксы. Поскольку в нашем случае рабочее уравнение – алгебраическое, постольку и здесь, следуя традиции, следовало бы сразу отбросить бесконечное решение как не имеющее реального смысла. Однако традиции в культуре могут не во всем совпадать с традицией в алгебре, поэтому из осторожности воздержимся заранее отказываться от бесконечности, а за информацией о ней обратимся к смежным разделам математики.
У идеи математической бесконечности долгая предыстория, обязанная, в частности, геометрии, проблеме континуума, но в основном эта история сводилась к тому, как на практике бесконечностей избегать. Архимед, одна из горных вершин античной математики (наряду с Пифагором и Эвклидом), использует при вычислении сложных площадей и объемов так называемый "атомистический" метод, метод неделимых, оперируя очень малыми, но все же конечными величинами .(1) Для обоснования своего подхода он вводит понятие числа, большего любого другого, но при этом определенного, и пишет специальный трактат – "Число песка" (о числе, равном количеству песчинок в пустыне). ХVII в. подхватывает эстафету, и Иоганн Кеплер (1571 – 1630), Бонавентура Кавальери (1598 – 1647), Пьер Ферма (1601 – 1665), Блез Паскаль отдают дань учению о неделимых в его различных трактовках.
Европейская математика ХVII – ХVIII вв. развивалась в союзе с механикой, астрономией, и уже до Ньютона, Лейбница была подготовлена почва для будущих дифференциального и интегрального исчислений. По выражению Лейбница, "после таких успехов науки недоставало только одного – нити Ариадны в лабиринте задач, именно аналитического исчисления по образцу алгебры". Представления об актуальных бесконечностях – будь то бесконечно малое или бесконечно большое – действительно внутренне противоречивы. Например, бесконечно малая величина – отличная от нуля и в то же время меньшая всякой конечной величины – по существу носит мистический характер, такова же и бесконечно большая. Поэтому им было противопоставлено понятие потенциальной бесконечности.
С историей вопроса читатель либо знаком, либо может познакомиться, например, по очерку Г.М.Фихтенгольца в "Основах математического анализа" [343]. Методы флюксий и квадратур Ньютона опираются то на потенциальные, то на актуальные бесконечности, и подвести последовательно строгий фундамент под новое исчисление Ньютону так и не удалось. Его великий континентальный соперник Лейбниц испытывал в вопросах обоснования не меньшие затруднения. Используя актуальные бесконечности, критикам он отвечал, что "бесконечно малые" величины могут быть заменены "несравнимо малыми", каковыми являются, например, пылинка по отношению к Земле или Земля по отношению к небесному своду. Возможный путь решения Лейбниц иногда видел в том, чтобы считать бесконечно малые "фиктивными", "идеальными" понятиями, и даже прибегал к помощи пасующей прагматической эвристики: "Я высоко ценю старательность тех, которые стремятся все доказать, вплоть до первоначальных положений, и сам нередко прилагаю к этому старания; однако я не советовал бы чрезмерной тщательностью ставить преграды искусству открытия или под этим предлогом отбрасывать наилучшие открытия и самим себя лишать их плодов"" (цит. по: [343, с. 432]).
В таких вещах таятся глубокие логические проблемы, "проклятые вопросы" мышления, и дело, конечно, не в том, что Ньютон и Лейбниц будто бы с ними "не справились" – заповедная дверь, или ящик Пандоры, вновь были открыты: еще Зенон из Элеи обнаружил сопутствующие формулы парадокса. В ХIХ в. Огюстен Луи Коши (1789 – 1857), опираясь на декартово понятие переменной величины и на понятие предела, вроде, подвел, наконец, платформу под матанализ и изгнал из него даже скрытую мистику. Матанализ давно и успешно применялся в механике, оптике, астрономии, стали привычными неалгебраические, трансцендентные кривые и уравнения. Практические достижения, подпитываемые здоровым мировоззренческим позитивизмом, на первый взгляд, не давали поводов для беспокойства. Оставалось "совсем немного" – заполнить брешь в строгом обосновании действительного (вещественного) числа, в установлении непрерывности области таких чисел. Этот вопрос частично затрагивался в разделе 1.3.
Георг Кантор (1845 – 1918) разрабатывает основы теории множеств, оперирует актуальными бесконечностями разных сортов (счетными и несчетными). Формулируется понятие трансцендентной величины (уже не только кривой или уравнения). Проблема континуума, кажется, дрогнула под напором величайших умов. Но вскоре в теории множеств обнаруживаются неразрешимые противоречия – так называемые парадоксы теории множеств, которым уделили значительное внимание, скажем, Б.Рассел, К.Гедель. "Недоказуемость" или даже "доказуемость недоказуемости" вновь дали знать о себе.
Человек издавна чувствовал вибрирующий нерв, связанный с представлением бесконечности, – еще до рождения строгой рациональности. Это нашло отражение и в распространенном у древних народов мифологическом образе хаоса.
Почему хаос и бесконечность во многом синонимичны? – По-видимому, из-за "неорганизованности" бесконечности, из-за ее "всеохватности". В популярных брошюрах нередко приводится наглядный пример: если посадить обезьяну за пишущую машинку, то она, достаточно долго долбя по клавишам, в конечном счете наберет все необходимое, чтобы выбрать из него, скажем, "Войну и мир" Л.Толстого. А это еще не бесконечный хаос. Если же он подлинно бесконечен, он содержит в себе все, что только можно вообразить, – отсюда представление о порождающем хаосе.
Древние греки считали: "Вначале существовал лишь вечный, безграничный, темный Хаос. В нем заключался источник жизни мира. Все возникло из безграничного Хаоса – весь мир и бессмертные боги" [170, c. 17]. Такого мнения придерживалось и большинство греческих философов, и не только греческих: китаец Ван Чун (27 – ок. 104 гг.) утверждал, что мир возник в результате разделения хаоса. Хаос – это состояние, когда "ци" еще не разделилось; после разделения чистые частицы образовали небо, мутные – землю [307:I, с. 77]. К мысли о креативной функции хаоса склоняется и современная синергетика.
Какое отношение вызывал к себе хаос? – Его безликость, подавляющая непостижимость таят в себе источник не только рождения, но и катастрофической гибели. Гегель заявляет о присущем разумным грекам страхе перед бесконечностью; платоновско-аристотелевская картина замкнутого космоса – выражение ограниченного мироощущения "грека вообще". С ним, правда, полемизирует Я.Э.Голосовкер: "Миф, и особенно эллинский миф, есть запечатленное в образах познание мира во всем великолепии, ужасе и двусмыслии его тайн ‹…› Напрасно иные из современных мыслителей полагают, что замкнутый космос античного человека исключает идеи бесконечности и бесконечной глубины этих тайн. Бесконечность ужасала богов Олимпа уже у Гесиода. Те страшные переплетенные корни земли и всесущего, пребывающие в вечной бездне Вихрей под Тартаром, вызывали у них трепет и отвращение. Сознание эллина с содроганием отворачивается от них. Но оно знало об этой бездне великой бесконечности, как знало и о бездне бесконечно малого, об анаксимандровом "апейрон", ‹…› в этих якобы наивных мифах скрыто предузнавание "законов" мира и грядущих открытий науки" [102, c. 14-15]. Попытки выйти за границы, отмеченные столбиками человеческого рассудка, всегда чреваты угрозами; предстающее – как всякое необжитое и "чужое", как темные углы в детстве – вызывает мистическую боязнь. Так некогда Маной решился заглянуть за край земли и расплатился безумием.
