РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС - Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
С точки зрения управления капиталом фильтры не всегда эффективны. Фильтры работают (уменьшают проигрыш на основе одной единицы) только потому, что они позволяют трейдеру находиться на уровне дробного оптимального f.
Можно утверждать, что фильтры дают преимущество, если ответ из фундаментального уравнения торговли по отфильтрованным сделкам с использованием оптимального f, полученного по всем сделкам, больше значения, полученного по всем сделкам с использованием того же оптимального f; при этом следует иметь в виду, что отфильтрованных сделок меньше (N меньше), чем неотфильтрованных.
Резюме
Торговля фиксированной долей счета дает наибольшую отдачу в асимптотическом смысле, т.е. максимизирует отношение потенциальной прибыли к потенциальному убытку Когда известно значение оптимального f, можно преобразовать дневные изменения баланса на основе одной единицы в HPR, определить арифметическое среднее HPR и стандартное отклонение полученных HPR, а также рассчитать коэффициенты корреляции HPR между любыми двумя рыночными системами. Далее мы должны использовать эти параметры для определения оптимальных весов оптимального портфеля (когда используется рычаг (leverage), вес и количество не одно и то же). Затем значения f следует разделить на соответствующие веса. В результате, мы получаем новые значения f, которые позволяют добиться наибольшего геометрического роста, принимая во внимание веса и взаимные корреляции рыночных систем. Наибольший геометрический рост достигается при использовании весов, сумма которых не ограничена, причем разность среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR, возведенного в квадрат, должна быть равна единице [Уравнение (7.06в)]. Вместо «разбавления» (которое сдвигает нас влево на неограниченной эффективной границе), как в случае стратегии статического дробного f, можно использовать портфель при полном f, задей-ствуя только часть средств счета. Такой метод называется стратегией динамического дробного f. Оставшаяся часть средств (неактивный баланс) в торговле не используется. Так как торговля активной частью происходит на оптимальных уровнях f, активный баланс может довольно сильно колебаться. В результате, при некотором значении баланса или в некоторый момент времени, вы, вероятно, захотите (возможно, просто под воздействием эмоций) переразместить средства между активной и неактивной частями. Мы рассмотрели четыре метода переразмещения, хотя, конечно же, могут использоваться и другие методы, возможно, более подходящие для вас:
1. Полезность инвестора.
2. Планирование сценариев.
3. Усреднение.
4. Страхование портфеля.
Четвертый метод, страхование портфеля, или динамическое хеджирование, присущ любой стратегии динамического дробного f, но его можно также использовать и как метод переразмещения.
При торговле неограниченным геометрическим оптимальным портфелем можно столкнуться с требованием довнесения залога. Подобную проблему можно решить, задав верхний предел отношения используемого активного баланса к общему балансу счета.
Несколько слов о торговле акциями
Методы, описанные в этой книге, могут использоваться не только фьючерсными трейдерами, но и трейдерами, работающими на любом рынке. Даже тем, кто торгует голубыми фишками, принципы, рассмотренные в этой книге, будут весьма полезны. Мы знаем, что для портфеля голубых фишек существует оптимальный рычаг, когда отношение потенциальных выигрышей к потенциальным проигрышам максимально, правда, при этом падения баланса могут быть довольно значительными, поэтому портфель необходимо разбавлять, используя стратегию динамического дробного f. Для того чтобы использовать методы, описанные в этой книге, в торговле акциями, мы будем считать, что акция является фьючерсной рыночной системой. Предположим, текущая цена Toxico равна 40 долларам. Следовательно, стоимость 100 акций Toxico составляет 4000 долларов. Лот из 100 акций можно считать 1 контрактом рыночной системы Toxico. Таким образом, если работать с наличным счетом, то в уравнении (8.08) следует заменить переменную залогi $ на цену 100 акций Toxico (в нашем случае 4000 долларов). Далее, мы можем определить верхнюю границу доли f. Помните, что мы моделируем ситуацию с рычагом, но на самом деле не занимаем и не ссужаем денежные средства, поэтому в любых формулах, где есть RFR (например, отношение Шарпа), следует использовать RFR = 0. Если в случае с Toxico используется маржевой счет и первоначальный залог составляет 50%, то в уравнении (8.08) залог$ = $2000. Традиционно управляющие фондами акций использовали портфели, в которых сумма весов ограничена единицей. Состав портфеля выбирался таким образом, чтобы при данном уровне арифметической прибыли дисперсия была минимальной. Получившийся в результате портфель задавался весами или долями торгового счета для каждого компонента портфеля.
Сняв ограничение по сумме весов и выбрав геометрически оптимальный портфель, мы получим оптимальный портфель с рычагом. Здесь веса и количества отличаются. Разделим оптимальное количество для финансирования одной единицы каждого компонента на его соответствующий вес и получим оптимальный рычаг для каждого компонента портфеля. Теперь разбавим портфель, включив в него безрисковый актив. Можно разбавить портфель до точки, где рычаг как бы исчезает, т.е. рычаг применяется к активной части портфеля, но активный баланс портфеля в действительности использует беспроцентные деньги из неактивной части баланса. Таким образом мы получим портфель, в котором регулируются позиции при изменении баланса счета, что позволяет получить наибольший геометрический рост. Предложенный метод максимизирует отношение потенциального геометрического роста к потенциальному проигрышу и допускает заранее известный максимальный проигрыш. Для управления портфелем ценных бумаг описанный метод является наилучшим. Наиболее распространенный в настоящее время метод выведения эффективной границы в действительности не позволяет получить эффективную границу и, тем более, геометрический оптимальный портфель (геометрический оптимальный портфель всегда находится на эффективной границе), который можно найти только с помощью оптимального f. Кроме того, традиционный метод позволяет получить портфель на основе статического f, а не динамического f, которое в асимптотическом смысле предпочтительнее.
Заключительный комментарий
В настоящее время исследования, подобные изложенным в этой книге, представляют большой интерес. С середины 1950-х годов постоянно появляются новые концепции. Много замечательных идей, основанных на модели Е — V, пришло к нам из академического сообщества. Среди предложенных концепций есть, например, модель Е — S, где риск измеряется не дисперсией, а полудисперсией. Полудисперсия — это дисперсия некоторого уровня прибыли, который может
быть ожидаемой прибылью, нулевой прибылью или любым другим фиксированным уровнем прибыли. Когда заданный уровень прибьши равен ожидаемой прибыли и распределение прибылей симметрично (без асимметрии), эффективная граница Е — S совпадает с эффективной границей Е — V.
Существуют модели портфелей, использующие вместо дисперсии прибылей другие способы выражения риска, а также более высокие моменты распределения прибылей. Большой интерес в этом отношении представляют методы стохастического доминирования, которые учитывают все распределения прибылей и могут считаться предельным случаем многомерного анализа портфеля, когда число используемых моментов стремится к бесконечности. Подобный подход может быть особенно полезен в том случае, когда дисперсия прибылей бесконечна или не определена.
И снова повторюсь — я не академик — это ни хвастовство, ни извинение, я такой же академик, как чревовещатель или телевизионный проповедник. Академикам необходима модель для объяснения того, как работают рынки, мне же не так важно, как они работают. Многие представители академического сообщества утверждают, что гипотеза об эффективной границе неверна, так как не существует понятия «рациональный инвестор». Сторонники такого подхода утверждают, что люди не ведут себя рационально, поэтому традиционные модели портфелей, такие как теория Е — V (и ее варианты) и модель оценки доходности финансовых активов, являются неудовлетворительными моделями работы рынков. Я согласен, что инвесторы не всегда ведут себя рационально, но это не означает, что нам следует вести себя подобным образом. Нельзя утверждать, что мы не можем получить выгоду из рационального поведения. Когда дисперсия прибылей конечна, мы можем получить преимущество, находясь на эффективной границе.
В последнее время традиционные модели портфелей подвергаются серьезной критике, поскольку считается, что ценовые изменения лучше всего описываются распределением Парето с бесконечной (или неопределенной) дисперсией. Однако многие исследования доказывают, что рынки в последние годы стали ближе к нормальному распределению (т.е. к ограниченной дисперсии и независимости результатов), на чем и основаны критикуемые модели портфелей. В моделях портфелей используется распределение прибылей, а не распределение изменений цен. Несмотря на то что распределение прибылей является трансформированным распределением изменений цены (в результате закрытия проигрышных сделок и максимально долгого удержания выигрышных позиций), эти распределения, как правило, отличаются. Распределение прибылей не обязательно относится к классу распределений Парето, поэтому в главе 4 мы моделировали распределение P&L с помощью регулируемого распределения. Более того, существуют производные инструменты, например, опционы, которые имеют ограниченную полудисперсию или дисперсию. Например вертикальный опционный спред в дебете гарантирует ограниченную дисперсию прибылей. Я не пытаюсь оспаривать разумную критику современных моделей портфелей. Модели следует использовать при условии, что мы осознаем их недостатки. Разумеется, необходимы более совершенные модели портфелей. Я не заявляю, что современные модели адекватны, а говорю лишь о том, что входные данные для моделей портфелей, нынешних или будущих, должны основываться на торговле одной единицей на оптимальном уровне — или на том уровне, который, как мы полагаем, будет оптимальным. Например, если мы применяем теорию Е — V (модель Марковица), входными данными являются ожидаемая прибыль, дисперсия прибылей и корреляции прибылей между рыночными системами. Входные данные должны определяться на основе торговли одной единицей по каждой рыночной системе на уровне оптимального f. Модели портфелей, отличные от Е — V, могут потребовать других входных параметров, но и их для каждой рыночной системы все равно следует рассчитывать на основе торговли одной единицей на уровне оптимального f. Модели портфелей являются лишь одной составляющей управления капиталом, и эта книга не может ответить на все вопросы. Кроме того, постоянно появляются новые, усовершенствованные модели. Скорее всего, мы никогда не получим абсолютно совершенной модели, но это только будет стимулировать дальнейшие поиски.
