Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор
Первая — обобщённая форма: количество затраченной работы равно количеству полученной энергии.
Вторая — частная — формулируется так: сумма кинетической и потенциальной энергии в замкнутой системе всегда остаётся постоянной.
Для измерения работы эталоном была работа поднятия груза определённой массы на определённую высоту: А = mgh. Чтобы подняться свободно на высоту h, тело должно обладать начальной скоростью ν = (2gh)1/2. Такую же скорость приобретает тело, если с этой высоты упадёт вниз, так происходит взаимопревращение энергии, причём тν2/2 = mgh. Таким образом, к середине XIX века были сформулированы законы сохранения массы и энергии. Они трактовались как независимые, и их смысл был в сохранении материи и движения.
Снова вернёмся к временам Ньютона. Ещё в своих «Началах» он ввёл понятие количества движения, которое определяется как произведение массы тела на его скорость — mv. Развитие представлений о сохранении со временем этой величины, как это ни удивительно, шло независимо от представлений о живых силах. Количество движения связывалось со вторым законом Ньютона, где его изменение служило мерой действия силы. В то же самое время произведение массы на скорость рассматривалось как мера движения. Именно исходя из этих представлений, возникла идея о сохранения количества движения.
Первая формулировка принадлежит Декарту, она опубликована в его «Началах философии» в 1644 году. В его понимании закон, без сомнения, существует и его основа — теологическая: «Бог — первопричина движения, он постоянно сохраняет в мире одинаковое его количество». Декарт не дал математического выражения закона, в том смысле, что не написал соответствующих формул, Однако, благодаря ясности его определений, нужды в этом фактически нет: «Когда одна частица материи движется вдвое скорее другой, а эта последняя — вдвое по величине больше первой, то в меньшей столько же движения, сколько и в большей из частиц; и что насколько движение одной частицы замедляется, настолько же движение какой‑либо иной возрастает».
Активнейшим оппонентом Декарту выступил Лейбниц. Он, увлечённый идеей живых сил, как мы уже знаем, считал, что мерой движения является не mv, a mv2, и что сохраняется только вторая, а не первая величина. Возникла путаница, которая долгое время оставалась в умах исследователей и мешала осознать соотношение законов сохранения для живых сил и количества движения.
Развитие динамики Ньютона, шаг за шагом, привело к пониманию, что сохраняются обе величины, Оказалось, что закон сохранения количества движения непосредственно связан со всеми законами механики Ньютона. Действительно, если нет внешних воздействий, то количество движения сохраняется (1–й закон); если есть определённое воздействие внешней силы, то определённым образом меняется и количество движения (2–й закон); для замкнутой системы взаимодействующих тел происходит обмен количеством движения, но поскольку взаимодействия осуществляются, следуя 3–му закону, то в результате общее количество движения сохраняется.
Законы сохранения в СТО
Как выводились законы сохранения и строились сохраняющиеся величины в до релятивистской механике и электродинамике до появления СТО? Преобразованиями в уравнениях движения частиц, механических систем, уравнений поля выделялись специальные комплексы. Их интегрирование приводило к выражениям, которые не изменяются со временем. Это и были сохраняющиеся величины для системы: энергия, количество движения и угловой момент. Эта ситуация сохранялась до конца XIX — начала XX века. Было даже установлено, что количество движения и угловой момент соответствуют смещениям и вращениям плоского евклидова пространства — абсолютного пространства механики Ньютона. Именно эти «движения» являются симметриями пространства Евклида. Но как‑то на этом особо не акцентировалось внимания, и этими симметриями не пользовались для построения сохраняющихся величин. Более того, долгое время оставалась в тени одна из главных симметрий — «смещение» по абсолютному времени, поэтому сохраняющаяся величина «энергия» была сама по себе.
Кроме того, в не релятивистской механике законы сохранения для массы и энергии рассматривались как разные. Однако с построением СТО ситуация стала меняться. Само понятие энергии подверглось обобщению: оказалось, что полная энергия системы включает энергию покоя согласно известному соотношению Эйнштейна Е = mс2. Согласно этому же соотношению существует взаимное превращение между массой и энергией То есть в релятивистскую энергию, собственно, включена масса, и имеет смысл лишь закон сохранения энергии, объединяющий оба понятия.
Понятие количества движения также получило развитие — в настоящее время эту величину называют импульсом. Поскольку оно определяется скоростью, то это векторная мера движения. Замена термина «количество движения» на «импульс» имеет смысл физического обобщения. Дело в том, что импульсом обладают не только массивные частицы вещества, но и без массовые, такие как фотоны. Для фотона мы не можем написать произведение mv, поскольку у него нулевая масса покоя. Однако известно, что он переносит энергию, она и оказывается прямо связанной с импульсом, который играет роль количества движения. Ясно, что энергия, в отличие от импульса, — скалярная мера движения.
Фактически СТО строилась как теория в пространстве Минковского. А каковы свойства самого пространства Минковского? Это плоское пространство–время, оно обладает 10–ю геометрическими симметриями. Не произойдёт никаких изменений в пространстве Минковского, если произвести смещения, соответствующие этим симметриям. Перечислим их: смещения вдоль каждой из осей — временной и трёх пространственных; три независимых пространственных вращения; три независимых пространственно–временных (лоренцевых) вращения.
Сама СТО была построена как теория, все законы и следствия которой инвариантны относительно вращений Лоренца. Затем очень быстро было установлено, что СТО инвариантна относительно более полной группы движений Пуанкаре (всех 10 смещений в пространстве Минковского).
В чем формально (математически) выражается эта инвариантность, когда изучается материальная система? Движение и взаимодействие материи определяется соответствующими уравнениями движения и/или уравнениями поля. Оказывается, что эти уравнения при каждом из 10–ти перечисленных смещений не изменяются, остаются инвариантными.
Поэтому сама логика построения должна бы навести на мысль, что этой инвариантности должны соответствовать фундаментальные величины. Фактически в 1905–1906 годах все было готово для того, чтобы в СТО (в Пуанкаре–инвариантной теории), основываясь на симметриях пространства Минковского, представить общие правила построения 10–ти сохраняющихся величин. Но этого не произошло. Историки объясняют это тем, что творцы науки того времени были в эйфории от работы по переформулировке всей физики в релятивистскую. До законов сохранения руки просто не дошли.
Первым, кто представил такие правила, был немецкий математик и механик Густав Герглотц (1881–1953). Он вывел законы сохранения из универсальных соображений инвариантности относительно группы Пуанкаре в 1911 году, разрабатывая релятивистскую теорию сплошных сред. Однако поначалу сам не придал этому никакого особого значения. Лишь немного позже фундаментальный смысл этих результатов был осознан замечательным немецким математиком Феликсом Клейном (1849–1925), который его всячески пропагандировал. После чего симметрии пространства Минковского стали основой построения законов сохранения в любой релятивистской теории. В частности, на результаты Герглотца Клейн обратил внимание другого немецкого математика Фридриха Энгеля (1861–1941). Тот свёл в единую форму группу смещений в механике Ньютона. Это так называемая группа Галилея–Ньютона, она объединяет смещения в пространстве Евклида и смещения по времени. А в 1916 году показал в общем виде, что все сохраняющиеся величины (энергия, импульс и момент импульса) в не релятивистской физике могут быть построены из инвариантности относительно движений этой группы, Мы привели этот пример, чтобы подчеркнуть насколько бурным было развитие релятивистской физики. Обоснование и интерпретация законов сохранения в СТО было достигнуты раньше, чем в механике Ньютона!
На основе инвариантности относительно группы Пуанкаре была пересмотрена и иерархия сохраняющихся величин, которые были объединены в единые комплексы. Обсуждая СТО, мы уже установили, что в случае пробной массивной частицы единый смысл имеет 4–вектор энергии–импульса: энергия представляет его временную компоненту, а импульс — три пространственные компоненты. При этом обе эти меры, определяющие 4–вектор, являются составляющими более общей единой меры — релятивистского тензора энергии–импульса ТаЬ (об этом подробнее см. Дополнение 2). Можно сказать, что 4–вектор энергии–импульса дополняется компонентами давления и внутренних натяжений, что в результате даёт тензор энергии–импульса. Этот тензор можно определить и для твёрдых тел, и для набора материальных частиц, и для сплошной среды, и для любого поля, распределённого в пространстве.
