Абрам Фет - Катастрофы в природе и обществе
Итак, можно записать Q(t) в виде Q0a-λt , с любым положительным основанием а и λ, заданным последней формулой.
В естествознании пользуются обычно показательными функциями со стандартным основанием e = 2,71828..., именуемым “неперовым числом”. [Дж.Непер (J. Napier, 1550 – 1617) – изобретатель логарифмов. Для знакомых с понятием производной поясним, почему оказывается предпочтение основанию е: показательная функция с этим основанием не меняется при дифференцировании].
Мы также будем придерживаться этого обычая, чтобы наши формулы имели общепринятый вид. Положим в предыдущих выкладках а = е и обозначим через (натуральный логарифм). Тогда имеем
где
При t = 0, T, 2T,..., как читатель легко проверит, Q(t) = Q0, Q1, Q2, ... (здесь надо воспользоваться тем, что elnk=k). Таким образом, получаются прежние значения для качества через одно, два и более поколений. При этом отношения Q1/Q0, Q2/Q1,... равны 1/k. При возрастании k растет и λ, так как основание логарифмов е > 1 и, следовательно, ln – возрастающая функция. Таким образом, чем больше λ, тем меньше принимаются во внимание интересы потомства, а при бесконечно большом λ ( λ=∞) они вовсе игнорируются. По этой причине можно назвать λ "параметром эгоизма".
Естественно предположить, что качество, приписываемое владельцем своему имуществу, пропорционально доходу, который он может с него получить. В самом деле, понятие "качества жизни" сводится, как принято думать, к перечню потребляемых товаров, а доход определяет набор товаров, какие можно на него купить. Мы ограничимся таким пониманием "качества" и будем считать, что качество имущества в оценке его владельца есть просто возможный для него пожизненный доход с этого имущества. С другой стороны, общественная оценка качества имущества – это максимальный доход, который можно из этого имущества извлечь. Ясно, что этот доход не может быть меньше рыночной цены имущества: иначе никто его не купит. Но он не может быть и больше рыночной цены, так как в этом случае продажа его означала бы потерю для владельца. Итак, общественная оценка качества – это рыночная цена.
Две указанные оценки качества не всегда совпадают, поскольку у владельца могут быть и другие причины ценить свое имущество – кроме возможного дохода с него. Как уже было сказано, такой причиной может быть желание передать это имущество в сохранном виде своим наследникам. Рассмотрим опять пример лесной собственности. Владелец лесного участка, приписывающий ему в течение своей жизни среднее качество Q0, не считает себя вправе израсходовать всю рыночную стоимость леса на себя, а выделяет долю Q1 + Q2 + ... своим потомкам. Качество, оставляемое "для себя", пропорционально его ежегодному доходу, то есть его ренте p". С другой стороны, владелец завода той же рыночной стоимости Q0 + Q1+ Q2 + ... может вовсе не заботиться о своем потомстве, зная, как быстро устаревает оборудование: предположим, что он будет тратить весь доход со своего завода на себя. Тогда его рента p' будет пропорциональна написанной выше сумме. Поэтому отношение рент
Отсюда
или, пользуясь формулой для Q(t), имеем
В правой части стоит геометрическая прогрессия со знаменателем e-λt. Так как λ>0, то e-λt<1, и сумма прогрессии находится по известной формуле:
Отсюда можно выразить "параметр эгоизма" λ через ε:
следовательно,
(не забудьте, что здесь применяется натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию е!).
(Заметим, что мы здесь отождествили ренту от лесной собственности с рентой от земельной; при более подробном исследовании надо было бы учесть возможные различия между ними. Впрочем, предыдущие рассуждения можно повторить и для земельной собственности – может быть, с несколько иной величиной ренты).
Таким образом, "параметр эгоизма" может быть выражен через число ε, то есть через нормы прибыли в промышленности и сельском хозяйстве, существующие в данном месте в данное время. Это позволяет оценить отношение к потомству людей данной культуры на любом этапе ее существования, поскольку нормы прибыли обычно известны – либо из статистических данных, либо, для далеких времен, из исторических документов.
Крайние случаи нетрудно указать. При столкновении европейцев с людьми, живущими племенным строем, они встретились с оценками, не делающими разницы между собственностью нынешнего поколения и собственностью потомков: все достояние племени было собственностью племени в целом, а племя представлялось как единство всех поколений – прошлых и будущих. В этом случае Q0 = Q1 = Q2 = ... , "параметр эгоизма" λ равен нулю, и суммарное качество бесконечно. Ясно, что у такого племени нельзя купить его землю или его лес: их можно присвоить только истребив это племя! Непонимание ценностей другой культуры всегда и приводило к непостижимым – на взгляд европейцев – резким переменам в поведении "туземцев". Лоренц напоминает, как участники первой немецкой экспедиция в Новую Гвинею, дружески принятые местным населением, для каких-то хозяйственных целей срубили большое дерево и вызвали этим взрыв враждебности "туземцев": по-видимому, ученые не придавали деревьям никакой цены, но это оказалось священным деревом племени! Так же вели себя русские, пытавшиеся навязать свои ценности афганцам.
Другую крайность представляет нынешнее "западное" общество, которое мало заботится о будущих поколениях: в таком обществе параметр λ очень велик, и Q1 уже мало по сравнению с Q0, а следующие Qn просто пренебрежимы. По-видимому, это объясняется главным образом распадом культуры, с присущим всем подобным эпохам примитивным гедонизмом, не способным уже приносить в жертву сиюминутные удовольствия. Впрочем, различие в нормах прибыли все еще сохраняется: земля, лес и другие "экологические" блага по-прежнему считаются более безопасным видом капиталовложения. Что касается России, то есть основания считать для нее параметр особенно большим – почти бесконечным. Об этом свидетельствует полная беззаботность в отношении охраны природы. Как уже было сказано, нормы прибыли у нас не поддаются оценке, поскольку в России по существу все еще нет свободного рынка. Было бы интересно исследовать, как изменялся "параметр эгоизма" в разных странах в зависимости от времени. Такое исследование составило бы серьезный вклад в историю культуры.
Экспоненциальная функция, измеряющая "убывающий интерес" индивида к его собственности, как будто противоречит начальной ситуации, из которой она выведена: ведь каждый индивид, в каждый момент своей жизни оценивает качество своей собственности по ее наличному состоянию, и лишь для своих потомков вводит (конечно, бессознательно) корректирующий множитель e-λt. Но в действительности экспоненциальная функция в некоторой степени присутствует и при жизни индивида: ведь он выше оценивает зрелый лес, существующий сейчас, чем лес, который созреет через 40 лет. Впрочем, напомним, что мы перешли при определении этой функции от средних по времени к средним по коллективу лесовладельцев. Эти средние определяют рыночную цену различных видов леса, и любой владелец сразу же обнаружит реальность параметра λ , если захочет продать свой лес. Цена неизбежно будет зависеть от возраста этого леса и от произведенных лесопосадок. Было бы интересно проследить в ценах на лес параметр λ, первоначально выведенный из норм прибыли. В следующей части этой главы мы применим метод "параметра эгоизма" к вопросу о целесообразности лесонасаждений.
Таким образом, сделанное выше обобщение – при переходе от геометрической прогрессии Q0, Q1, Q2, ... к экспоненциальной функции – оказывается плодотворным в условиях, не входивших в его исходную ситуацию (где оно было кратно продолжительности жизни Т). Впрочем, таковы все "правильные" обобщения.
Аналогичный закон экспоненциального убывания часто встречается в физике, например, при описании радиоактивного распада. Если в начальный момент (t = 0) имеется масса радиоактивного вещества М0, то масса М(t), остающаяся в момент t, определяется формулой M(t)=M0e-λt, где λ зависит от вещества. Время tm, в течение которого распадется половина вещества, называется его периодом полураспада и вычисляется из условия . Аналогично, эволюция качества некоторого имущества, с точки зрения его собственника, описывается функцией Q(t)=Q0e-λt , и время, в течение которого это качество уменьшается вдвое, вычисляется из условия . Отсюда имеем
и, логарифмируя по основанию е, находим
![Николай Саврасов - Люди Солнца[СИ]](/uploads/posts/books/107446/107446.jpg)
