Александр Петров - Гравитация От хрустальных сфер до кротовых нор
В общем случае, в силу симметрии по индексам, метрическое возмущение hab представляет 10 независимых компонент (величин). Какой физический смысл имеют эти величины, и все ли они имеют физическое (наблюдаемое) значение? Вспомним, что уравнения ОТО допускают изменения координат. При этом выбор различных систем координат не сказывается на физических эффектах, но может значительно упростить выражения. Воспользуемся этой свободой. В случае слабой плоской гравитационной волны, которую мы и рассматриваем, это позволяет наложить 8 условий на hab, обращая 8 компонент из 10–ти в нуль.
Таким образом избавляются от так называемых нефизических степеней свободы. Оставшиеся две компоненты, для которых приняты обозначения h+. и hx, уже невозможно уничтожить никакими координатными преобразованиями, они описывают реальное воздействие гравитационной волны на пробные частицы. Их называют физическими степенями свободы.
Итак, гравитационная волна в ОТО имеет две степени свободы (поляризации). Как и электромагнитная, она является поперечной. Её действие описывается следующим образом. В плоскости, перпендикулярной распространению, расположим по окружности пробные массивные частицы, как на рис. 10.2. Под действием одной из поляризаций волны окружность будет деформироваться в пульсирующий эллипс, большая и малая оси которого будут поочерёдно переходить одна в другую. Для другой поляризации ось соответствующего эллипса расположена под углом 45° к оси первого эллипса. В общем случае действием волны будет суперпозиция этих двух смещений.
Рис. 10.2. Действие гравитационной волны
Относительное изменение расстояния между двумя пробными частицами в поле плоской гравитационной волны определяется выражением ∆l/l ≈ h/2. Это соотношение показывает, что по своему физическому смыслу амплитуда является безразмерной величиной. Часто её называют «безразмерной амплитудой возмущений метрики», создаваемых гравитационной волной. Кроме того, важен угол между направлением распространения волны и отрезком, соединяющим частицы. В силу поперечного характера, если эти направления совпадают (угол нулевой), то эффекта не будет, если они ортогональны, то эффект максимален.
Генерация гравитационного излучения
Гравитационное излучение чрезвычайно слабое. Это связано со слабостью гравитационного взаимодействия в природе. Например, электромагнитная константа связи (её называют постоянной тонкой структуры) α = e2/ħc ≈ 1/137, где используются заряд электрона, постоянная Планка и скорость света, В то же время аналогичная безразмерная константа связи гравитационного взаимодействия имеет порядок αG = Gmp2/ħc= (mp/mPl)2 ≈ 10–38, где используются масса протона и планковская масса. В отличие от электромагнитного излучения, когда каждый атом может излучить фотон, и его можно зарегистрировать, гравитационное излучение формируется большим количеством атомов, электронов и т. д. и становится существенным при несимметричном движении больших масс вещества (отдельных объектов) в целом.
Продолжая сравнение с электродинамикой, вспомним, что электромагнитное излучение генерируется переменным дипольным моментом. А при каких условиях возникает гравитационное излучение? Чтобы ответить на этот вопрос, объясним, что такое дипольный момент и моменты других порядков массивного тела.
Вспомним, что потенциал точечной массы в теории Ньютона
Если вместо точки взять сферическое тело (однородный шар) той же массы М с центром, где раньше была точка, то значение потенциала вне тела не изменится.
При несферичности рассматриваемого тела выражение для потенциала изменится, и изменения будут связаны непосредственно с отклонениями от сферичности. Величину отклонения можно представить так. Если сферическую составляющую принять за исходную симметрию, то первая степень отклонения (грубая) — дипольная, следующая (более «тонкая») — квадрупольная, и т. д. Тогда значение потенциала в выбранной точке можно представить в виде:
Здесь d — дипольный момент, a D — квадрупольный. Формула является символической: в ней не учтены коэффициенты, а также векторный и тензорный характер некоторых величин. Но она показывает, что при удалении от источника каждый из последующих членов ряда даёт все меньший вклад в формирование потенциала.
В электродинамике излучение определяется изменением дипольнного момента (рис. 10.1) В гравитации дипольный момент, который является вектором, определяется следующим образом: из начала координат к каждому элементу массы ΔΜ проводится радиус–вектор R, после чего величины ∆M*R вектор но суммируются по всем элементам массы. Ясно, что выбрав начало координат в центре масс, мы получим дипольный момент тождественно равный нулю. Это можно сделать всегда, поскольку в гравитации, в отличие от электромагнетизма, нет противоположных зарядов (нет отрицательных масс). Следовательно, не может быть и гравитационного излучения, связанного с дипольным моментом.
Гравитационное излучение возникает при изменении квадрупольного момента — D. Вспомним о моменте инерции, который является мерой инертности тела во вращательном движении, точно так же, как инертная масса — мерой инерции в поступательном движении. Квадрупольный момент — это момент инерции из которого исключена шаровая составляющая, определяющая основной (симметричный) вклад в потенциал.
Если в электродинамике мощность электромагнитного излучения пропорциональна квадрату второй производной по времени от дипольного момента, то в ОТО гравитационное излучение возникает из‑за переменной асимметрии, определяемой квадрупольным моментом D и мощность излучения пропорциональна квадрату третьей производной по времени от D. Значит, как бы тело не было деформировано, оно не излучает, если покоится.
Проиллюстрируем на простых примерах, какие системы излучают гравитационные волны, а какие — нет.
Рассмотрим сначала однородный шар, который пульсирует без изменения сферичности. Излучает ли гравитационные волны такой объект? Ответ — нет. Действительно, если сферичность не нарушена, то из наших рассуждений о потенциале следует, что на любой стадии пульсации квадрупольный момент просто не возникает. Приведём другой пример. Пусть любое аксиально симметричное однородное тело типа дыни вращается, а ось вращения совпадает с осью симметрии. Хотя «дыня» и имеет квадрупольный момент, но при таком вращении он не будет меняться. Значит, снова не будет излучения.
Теперь приведём простые примеры излучающих систем. Рассмотрим два тела одинаковой массы m и незначительных габаритов, соединённые пружинкой длины l. Выберем направление одной из осей координат, скажем 0х, вдоль пружины, а середину пружины — за начало координат. У такой системы будет единственная независимая ненулевая компонента D. В состоянии покоя это Dxx = ml2. Через неё определяются Dyy = Dzz=-Dxx/2. Теперь заставим грузы колебаться относительно своих положений равновесия с амплитудой L и частотой ω. Тогда компоненты квадрупольного момента станут переменными:
Соотношение Dyy = Dzz = -Dxx/2 сохранится. Производная по времени третьего порядка этих величин ненулевая, значит, система излучает гравитационные волны.
Другой пример ближе к жизни, и мы рассмотрим его подробнее. Пусть две звезды одинаковой массы m, вращаются по одной и той же окружности вокруг общего центра масс. Они все время находятся друг против друга на расстоянии 2R (рис. 10.3). Пусть плоскость орбиты совпадает с плоскостью х0у, а угловая частота вращений равна ω, она связана с орбитальным периодом как Т = 2π/ω. Тогда ненулевыми компонентами квадрупольного момента являются:
Рис. 10.3. Модель двух звёзд
Начальное состояние соответствует t = 0, массы расположены на оси 0х. В данный момент компоненты квадруполя будут такими же, как в модели с пружинкой, т, е. независимой является только одна компонента.
