Александр Гордон - Диалоги (май 2003 г.)
Теперь. Приращения фрактального броуновского движения стационарны. Корреляционная функция при Н, большем, чем одна вторая, медленно, степенным образом, как показано на рисунке, убывает. Покажите, пожалуйста, рисунок по теме 1 и рисунок 2. А спектральная плотность имеет при нулевой частоте интегрируемую особенность, и для достаточно широкого диапазона частот тоже степенным образом убывает в зависимости от значения показателя Харста Н.
А.Г. Давайте теперь попробуем перевести на русский язык. Выяснилось, что классическое броуновское движение в том виде, в каком оно описано….
И.К. Это только частный случай данного процесса.
А.Г. И была выведена некая закономерность, которая носит ступенчатый характер, и это описывается уже фрактальным броуновским движением. Верно?
И.К. Да, фрактальным. Но функция не совсем ступенчатая, а имеющая степенной характер.
А.Г. Степенной характер.
И.К. Степенной характер корреляционной функции. Именно степенной, такое медленное затухание. Благодаря такому медленному затуханию спектральная плотность, как функция частоты, при нулевой частоте обращается в бесконечность, то есть имеет интегрируемую особенность. А дальше для некоторого диапазона частот в окрестности нуля убывает степенным образом. А за пределами нуля она уже ведёт себя, соответственно, по-другому.
Теперь я расскажу о траекториях приращений фрактального броуновского движения и траекториях самого фрактального броуновского движения. Траектории фрактального броуновского движения ввиду слабого убывания корреляционной функции могут иметь большие выбросы. А траектория самого фрактального броуновского движения содержит длинные серии положительных и отрицательных отклонений от математического ожидания процесса, что характерно для многих геофизических временных рядов.
Кроме того, фрактальное броуновское движение обладает свойством статистического самоподобия. Это аналогично фракталам, простым фракталам, то есть, если мы смотрим через лупу, орнамент повторяется. Здесь же, происходит то же самое, только с точки зрения распределения вероятности.
Харст в 1951-м году и в последующие годы занимался вычислением оценки придуманным им же самим методом. И он обработал 690 временных рядов, описывающих 75 различных явлений природы. И для приращения уровня различных водоёмов, например, озера Гурон в Канаде и других озёр, для приращения уровня, для стоков и уровней различных рек, для изменения ширины годичных колец деревьев, для температурных рядов, для осадков, он всюду получил показатель Харста…
А.Г. Больше 0,5.
И.К. Больше 0,5. Мы тоже обрабатывали, конечно, меньше, чем 690, но тоже довольно много рядов обрабатывали. Мы обрабатывали приращение колебания уровня, вычисляли оценку показателя Харста современными статистическими методами, другими совершенно.
А.Г. Для каких объектов?
И.К. Для объектов: колебание уровня Каспийского и Мёртвого морей, озёр Балхаш, Чаны, Чад, Большое Солёное озеро, для стоков рек Волги, Днепра, Немана, Дуная и многих других. То же для ширины колец различных деревьев и для температурных рядов, это – глобальная температура Северного полушария, среднегодовые значения температур в Москве и в Петербурге. И тоже всюду получили значение показателя Харста больше 0,5. Кроме того, Харст обрабатывал исторический ряд наблюдения за уровнями Нила. То есть с 622-го года по 1469-й год и современный ему ряд – и всюду получалось Н больше 0,5. В результате, эффект Харста получил такую математическую интерпретацию, что он характеризует случайный процесс с медленным затуханием корреляционной функции.
А.Г. И как следствие…
И.К. И как следствие является, что спектральная плотность имеет интегрируемую особенность при нулевой частоте и отсутствует линейность у модели, описанной фрактальным броуновским движением.
В.Н. Первый вопрос, который возникает: откуда может взяться такая медленная релаксация динамической системы? Потому что, если описывать эту модель с помощью линейной математики, то мы такого эффекта не получим. Мы получим экспоненциальное затухание корреляции. Вопрос: как придумать модель, простейшую хотя бы модель, чтобы в качестве спектральной функции или корреляционной функции мы получили требуемый результат? Ясно, что в чистом виде фрактальное броуновское движение не может быть использовано, потому что оно имеет недифференцируемые траектории. А в физической системе, описываемой законами сохранения, везде стоят производные.
Поэтому можно было только описать свойства, которые имеет фрактальное броуновское движение, это степенное затухание корреляции, неограниченный спектр при нулевой частоте и некоторая зависимость от частоты. Мы рассуждали таким образом. Многие гидрологические явления, например, дождевой паводок на реке, формируются следующим образом. Выпадают осадки, поднимается уровень воды, потом он спадает, потом выпадают ещё осадки, потом уровень спадает.
То есть этот процесс мы можем приблизить к импульсным случайным процессам, у которых время наступления максимума неизвестно и сама амплитуда неизвестна. Но для того чтобы построить такой процесс, мы должны выдвинуть постулаты по этой модели, описывающие, какой она должна быть. Модель должна быть такой. Описываться законом сохранения, то есть импульса баланса тепла и вещества, допускать ясную математическую интерпретацию и показатель Харста (при всём уважении к этому показателю, это всё же не гравитационная постоянная и не скорость света) должен зависеть от физических свойств этой системы. Мы построили такой процесс, как для дождевых паводков, так и для динамики влажности почвы. И получили результаты такого плана. При стохастической аппроксимации выпадения дождей мы предположили, что здесь нет эффекта Харста, и хотели его получить путём нелинейного преобразования выпавших осадков на водосборе. И получили процесс, который характеризует динамику влажности почвы – как модельный процесс. Чтобы на этом процессе увидеть все характерные черты этого явления.
И.К. Мы рассмотрели нелинейную стохастическую модель инфильтрации воды в почве, демонстрирующую эффект Харста. Была принята простая стохастическая модель дождей. За большой промежуток времени число выпадающих дождей является случайной величиной, распределённой по закону Пуассона с известным параметром, равным среднему числу осадков за сутки. Затем предположили, что продолжительность времени между дождями существенно больше продолжительности самого дождя. Тогда слой осадков можно представить в виде импульсного процесса.
На основании принятой модели мы определили амплитуды импульсного процесса из дискретного уравнения для амплитуд, которые являются случайными величинами, и функции формы спада, которые определили из нелинейного дифференциального уравнения для функции форм спада. Пожалуйста, рисунок 4 по теме 1. Мы получили, что функция формы спада является степенной, медленно затухающей функцией времени и детерминированной функцией. А импульсы являются случайными величинами, и плотность их показана на рисунке 4-Б. Причём эта плотность хорошо аппроксимируется степенным распределением вероятности.
Так как функция формы спада есть медленно затухающая степенная функция времени, то отсюда немедленно следует, что корреляционная функция тоже медленно затухает на бесконечности. А это означает, что спектральная плотность такого процесса хорошо аппроксимируется (в достаточно близкой окрестности нуля, для широкого диапазона частот) затухающей степенной функцией частоты. Вот как показано на рисунке 4-В. А сама реализация вот такого процесса показана на рисунке 4-А.
Это всё характеризует приращение фрактального броуновского движения.
А.Г. Простите, на рисунке 4-А по оси абсцисс – что? Я просто не вижу.
И.К. На рисунке 4-А по оси абсцисс – это время. А по оси ординат – амплитуды импульсного процесса. Это куски, сшитые беспорядочным образом, со случайными амплитудами и детерминированными функциями спада. Оказалось, что для такого импульсного процесса можно вычислить теоретически. И показатель Харста зависит в данном случае от водно-физических свойств почвы и испарения. Таким образом, одной из возможных причин эффекта Харста является медленное возвращение нелинейной динамической системы к своему состоянию равновесия.
В.Н. Медленность здесь очень важна, потому что, например, подъём уровня на Ниле составляет примерно 4 месяца, а спад – целых 8 месяцев, что говорит о медленной реакции этой системы. И здесь можно добавить следующее, рисунок, о котором вы спросили, это такая причудливая смесь хаотических и детерминированных сигналов. То есть, когда мы находимся на спаде, мы находимся в детерминированной области. А когда происходят выбросы этого процесса, то есть момент выпадения осадков, тут возникают случайности. А если говорить о других задачах (не только же природными задачами занимались специалисты в области нелинейных динамических систем), то такие задачи, у которых есть подобные регулярные ставки, и характеризуются медленным затуханием корреляционной функции.
