Виталий Морозков - Настольная игра «Футбол на бумаге»
5, 6 – околоворотные пересечения (c2; c10; e2; e10; d2; d10):
Часть рёбер, исходящих от данных пересечений, соединена с воротными пересечениями, т.е. с пересечениями, заняв которые одной из сторон автоматически засчитывается поражение. Таким образом, условие тупиковости (нечётности) для околоворотных пересечений не может быть выполнено и они являются чётными.
Если бы в ФУТБОЛЕ НА БУМАГЕ отсутствовало правило гола – то 6 пересечения (c2;c10;e2;e10) превратились бы в тупиковые (поскольку от них отходят пять незанятых граней), а 5 пересечения (d2;d10) остались бы также чётными и были бы простыми полевыми пересечениями.
Теперь давай представим результаты в графическом виде (нечётные и воротные пересечения изображены красным цветом, чётные – чёрным):
Таким образом, если партия ведётся строго по правилам и доигрывается до победного конца – последним занимается одно из красных пересечений.
6). Следствие нечётности пересечений:
а). Введём определение изолированной группы:
изолированная группа – это конструкция, при которой проход к обоим воротам полностью перекрыт. Пример изолированной группы показан на рисунке 17.
б). Внутри изолированной группы всегда есть хотя бы одно нечётное пересечение. Это вполне очевидно – ведь если проход к обоим воротам полностью перекрыт, то в итоге одна из сторон попадёт в тупик, т.е. займёт тупиковое (нечётное) пересечение.
В примере представленном на рисунке 17 таким пересечением является центр.
Дано: симметричное футбольное поле произвольного размера
Доказать: на данном поле нельзя построить конструкцию следующего вида:
Доказательство: допустим, что такую конструкцию можно построить, тогда внутри неё должно быть хотя бы одно нечётное пересечение, но таких пересечений внутри данной конструкции нет, а есть только полевые пересечения, которые являются чётными, в чётном пересечении нельзя попасть в тупик. Мы пришли к противоречию – следовательно, такую конструкцию нельзя построить, если строго соблюдать правила ФУТБОЛА НА БУМАГЕ. Приведённая на рисунке 18 конструкция построена с нарушением правил игры.
Данное утверждение справедливо для футбольных полей любых конфигураций, необходимо только, чтобы совпадала «внутренняя геометрия».
7). Дано: ты договариваешься с противником о проведении матча.
Определить: на каком количестве партий в матче тебе нужно настаивать, чтобы твои шансы на успех были максимальными.
Решение:
Матч может состоять из нечётного или чётного количества партий. Поскольку в отдельной футбольной партии ничьи быть не может, то в нечётном матче всегда определяется победитель. В матче же, состоящем из чётного количества партий игроки могут сыграть в ничью. Для победы в матче требуется выиграть абсолютное большинство партий:
- для нечётного матча – k партий из n, где (n+1)/2 k n;
- для чётного матча – f партий из m, где m/2+1 f m
Введём несколько понятий:
– нечётный матч – матч, состоящий из нечётного количества партий.
- чётный матч – матч, состоящий из чётного количества партий.
Определение «формулы» матча зависит от нескольких обстоятельств:
1). Тебе нужна победа в матче или тебя устроит и ничья (т.е. игра будет вестись на победу или на непоражение); т.к. выиграть матч, состоящий из нечётного количества партий N, меньше шансов, чем не проиграть матч, состоящий из чётного количества партий (N+1).
Для наглядности можно привести простой пример:
Перед тобой дилемма – выбирать матч, состоящий из одной или из двух партий. Очевидно, что более надёжный вариант – это две партии, поскольку даже если ты проиграешь в первой партии – возможно тебе удастся отыграться во второй и свести матч вничью. Но, если тебе в силу тех или иных обстоятельств нужна только победа, конечно лучше играть одну партию. Таким образом, здесь всё зависит от твоей цели.
2). Знаешь ли ты свои шансы на победу в одной партии.
3). Если знаешь то каковы они (меньше или больше, чем у противника, или равны).
1. Допустим, что ты знаешь свои шансы на победу в отдельной партии:
- Н1(n) – вероятность не проиграть в матче, состоящем из n партий, для первого игрока
- Н2(n) – вероятность не проиграть в матче, состоящем из n партий, для второго игрока
- В1(n) – вероятность выиграть в матче, состоящем из n партий, для первого игрока
- В2(n) – вероятность выиграть в матче, состоящем из n партий, для второго игрока
- Д(n) – вероятность того, что игроки сыграют в ничью матч из n партий (n – всегда чётное)
1.1. Вероятность того, что матч выиграет один из игроков или он закончится в ничью (если это чётный матч) равна 1. Пускай в нашем небольшом исследовании 1 будет равна 729 (36) шансам.
Допустим, что: Н1(1)=В1(1)=1/3; тогда Н2(1)=В2(1)=2/3. Т.е. вероятность выиграть для первого игрока в одной партии равна 243 шансам, для второго – 486 шансам. Тогда:
Выводы из таблиц 1 и 2:
1). Шансов выиграть в нечётном матче из n партий больше, чем в чётном из (n+1) партий;
2). Шансы на выигрыш у более слабого игрока с увеличением количества партий «тают на глазах», а у более сильного игрока наоборот возрастают;
3). Шансов не проиграть в чётном матче из n партий больше, чем в нечётном из (n-1) партий;
4). Шансы на непроигрыш у более слабого игрока с увеличением количества партий также становятся меньше, а у более сильного игрока возрастают.
1.2. Допустим, что: Н1(1)=В1(1)=Н2(1)=В2(1)=1/2. Т.е. шансы игроков на выигрыш в отдельной партии равны.
1.2.1. Для нечётного матча (n – нечётное число):
1=В1(n)+В2(n), т.к. В1(1)=В2(1), тогда и В1(n)=В2(n)=1/2; т.е. вероятность выиграть у каждого из игроков в нечётном матче постоянна и равна 1/2.
1.2.2. Для чётного матча (n – чётное число):
1= В1(n)+В2(n)+Д(n), т.к. В1(1)=В2(1), тогда и В1(n)=В2(n)=Х
1=Х+Х+Д(n)=2Х+Д(n)
2Х=1-Д(n)
Х=(1-Д(n))/2=1/2-Д(n)/2
Х<1/2
В1(n),В2(n)<1/2; т.е. вероятность выиграть у каждого из игроков в чётном матче меньше 1/2.
