Амир Ацель - Почему наука не отрицает существование Бога? О науке, хаосе и пределах человеческого знания
Кантору часто досаждали менее одаренные математики, находившие его труды абсолютно неправдоподобными. Непрерывные нападки усугубили течение душевного недуга. Ученый постоянно страдал от повторявшихся приступов депрессии, из-за которых попадал в психиатрические лечебницы, где был вынужден находиться по несколько месяцев, после чего ему постепенно становилось лучше. Вся жизнь Кантора прошла в таких неблагоприятных условиях, когда периоды творчества сменялись длительными периодами госпитализации и вынужденного отдыха.
Конфликт, кроме того, принял и религиозную окраску. Главным противником Кантора был берлинский математик Леопольд Кронекер, который изводил Кантора излюбленной фразой: «Бог создал целые числа, а все остальные – человек!» Кронекер не верил, что существуют такие числа, как π или e, находящиеся в континууме действительных чисел. Конфликт был также и философским, ибо бесконечность является нереальным, «идеальным» понятием. Правда, Кантору посчастливилось обладать глубоким, интуитивным пониманием бесконечности, превосходившим чистую логику. Для большинства из нас бесконечность так огромна, что мы не можем наглядно ее себе представить.
Сегодня понятно, что труды Кантора отличались безупречной корректностью и подлинным новаторством, они открыли важный новый путь к познанию бесконечности. Но при всем успехе идей Кантора было одно затруднение, которое даже он не смог преодолеть, – проблема «гипотезы континуума», гласящей, что нет такого множества, мощность которого находится строго между мощностью множества целых чисел и мощностью множества действительных чисел. Доказательство этой гипотезы могло бы ответить на вопрос о том, как много уровней бесконечности находится между бесконечностью множества целых чисел и бесконечностью множества всех чисел прямой действительных чисел.
Целью Кантора было понять смысл пространства и определить его составляющие. Как таковые его рассуждения касались тех же проблем, какие пытался решать за 150 лет до него Лейбниц, когда изобрел монаду как основной строительный блок физического пространства, духовной и метафизической реальности. Кантора тоже отличал, помимо чисто математического, духовный подход к проблеме. Ученый был глубоко верующим лютеранином с еврейскими корнями, его предки были родом из Дании и Санкт-Петербурга. Кантор был убежден, что Бог «указал» ему: «гипотеза континуума верна», а это означает, что после бесконечного множества целых чисел (и правильных дробей) сразу идет бесконечность действительных чисел.
На самом деле мы не в состоянии наглядно представить себе пространство и составляющее его бесконечное множество точек. Этот факт имеет отношение к физике и космологии, так как заставляет предположить, что реальное пространство, в котором мы живем, отнюдь не является «ничем», а обладает загадочной глубинной структурой. Поскольку, как мы увидим, нам никогда не удастся (пользуясь нашим математическим аппаратом) доказать справедливость гипотезы континуума, постольку у человечества нет надежды когда-либо полностью понять природу пространства. Физики же пока не вполне осознали, до какой степени проблемы чистой математики, не поддающиеся решению, могут влиять на наши знания о пространстве, времени, Вселенной и ее происхождении.
Для того чтобы приблизиться к лучшему пониманию Вселенной, нам следовало бы узнать, точно ли математическое пространство отображает реальное физическое пространство-время, или существуют другие возможности его описания. Вполне допустимо, например, что квантовые эффекты делают пространство и время «зернистыми» (то есть состоящими из мельчайших, подобных песчинкам элементов), а не континуальными. Как бы то ни было, исследование пространства и его точек выводит нас в царство бесконечности, суть которой мы не в состоянии постичь полностью.
Рассуждая с философской точки зрения, можно сказать, что бесконечность принадлежит Богу, ибо людям не дано ни понять, ни воспринять ее каким-либо осмысленным способом, несмотря на прогресс в математике, достигнутый Кантором и его последователями. Для таких религиозных мыслителей, как Кантор, Бог и есть бесконечность – нечто сущее, каковое мы не в состоянии ни понять, ни адекватно описать.
Находясь в ссылке в Арчетри, Галилей посвятил много времени размышлениям о бесконечности и постиг глубокую истину: множество всех положительных целых чисел имеет тот же порядок, что и множество квадратов всех целых чисел. Галилей показал это, ставя в соответствие 1 и 1, 2 и 4, 3 и 9 и т. д. То, что бесконечное множество можно поставить во взаимно однозначное соответствие с подходящим его же подмножеством, иллюстрирует свойство, присущее бесконечным множествам. Этот пример показывает, насколько необычна и непостижима бесконечность.
Простой, но удивительный пример, показывающий необычные свойства бесконечных множеств – это мысленный эксперимент, названный бесконечной гостиницей или гостиницей Гильберта (по имени великого немецкого математика Давида Гильберта, который его описал). Предположим, что после долгого и утомительного перелета вы прибыли в один странный город и, к своему огорчению, обнаружили, что в гостиницах города нет ни одного свободного места. Наконец вы узнаете, что в городе есть гостиница, которая называется «Бесконечной гостиницей», поэтому вы можете пойти туда и попытать счастья. Вы спрашиваете у портье, есть ли в гостинице свободные номера, но он в ответ лишь с сожалением качает головой. «Извините, – говорит он, – у нас действительно бесконечное число номеров, но все они заняты». Вы взвешиваете ответ: удивительно, в гостинице бесконечное число номеров, но они все до одного заняты. Вдруг вам в голову приходит замечательная идея. «Послушайте, – говорите вы, – мне, действительно необходим номер. Вы не можете оказать мне одну любезность?» «Я постараюсь, – отвечает портье». «Отлично, – говорите вы. – Тогда переселите постояльца из первого номера во второй, из второго в третий, из третьего в четвертый и так далее до бесконечности. Сделав это, вы освободите для меня первый номер».
Эта история демонстрирует невероятное свойство бесконечных множеств: вы ставите во взаимно однозначное соответствие все номера, начиная со второго, со всеми номерами, начиная с первого, показав, что в обоих множествах одинаковое количество чисел (это бесконечность низшего порядка – множество целых и рациональных чисел).
Кантор обозначил свои порядки бесконечности, мощности бесконечных множеств, буквой алеф. Вероятно, он прибегнул к этому обозначению, вспомнив о своих еврейских корнях: в Каббале Бога обозначают как бесконечность, а первой буквой слова «бесконечность» в иврите является алеф. Исследования бесконечности, выполненные Кантором, очень напоминают то, что каббалисты делали нематематическими способами в попытке понять свойства бесконечности, чтобы узнать что-то о Боге.
Однако в случае гипотезы континуума математический аппарат не работает: мы не в состоянии доподлинно понять истинные уровни существующей бесконечности и то, в каком отношении находятся эти уровни друг с другом. Возможно, если не работает математический анализ, то стоит прибегнуть к метафизическим рассуждениям. Именно так и поступил Кантор. Всю свою жизнь, преодолевая трудности и невзгоды, он не жалел усилий, чтобы полностью понять бесконечность, и поэтому обратился к духовности, услышав Бога, говорившего ему, что гипотеза континуума верна. Для Кантора Бог был кульминацией всех алефов, уровнем бесконечности столь великим, что он оказался недостижимым (даже с применением операций возведения в степень) ни с какого нижележащего уровня бесконечности. Концепция Бога как наивысшего из возможных уровней бесконечности находится вне пределов наших математических способностей. Так решил Кантор.
Видимо, всякий раз, когда Кантор проводил слишком много времени, пытаясь доказать гипотезу континуума, он в конце концов впадал в депрессию. Блестящий математик, он чувствовал, что должен доказать эту теорему. В Канторе мы видим сочетание трех сущностей: математики, духовности и человеческого разума. Все три сущности были направлены на Вселенную в попытке разгадать ее смысл. Математика оказалась мощнейшим инструментом в анализе и познании реального физического мира. Духовность правит там, где нет места логике, математике и науке. Человеческий разум позволяет обдумать и оценить все, что происходит вокруг нас.
Измученный болезнями Кантор чувствовал, что с помощью математики, ее логических законов и строгого аппарата сможет ответить на вопросы о бесконечности и природе пространства. До этого момента такой подход открыл перед ним настоящий «рай» неожиданных и великих математических открытий. Давид Гильберт говорил о них так: «Никто не сможет теперь изгнать нас из рая, открытого Кантором». На международном конгрессе математиков, состоявшемся в 1900 году, Гильберт представил гипотезу континуума Кантора, как первую из десяти проблем математики (позднее их стало 23), которые, как надеялся Гильберт, будут решены в XX веке. Тем не менее гипотеза континуума по сей день остается недоказанной: мы до сих пор не знаем, из чего состоит пространство и какова его структура в понятиях бесконечных множеств.
