Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
Итак, можно сказать, что схоластическая механика различала два вида движущих сил. Во-первых, это внешняя движущая сила, которая предполагает, что движитель и движимое тело находятся в непосредственном контакте; во-вторых, это внутренняя движущая сила, которая вносится движителем в движимое тело, и затем тело содержит причину своего движения внутри себя. Примером таких внутренних сил является тяжесть (или легкость) — в случае естественных движений и импетус — в случае насильственных.
Теперь обратимся к проблеме скорости в позднесредневековой механике. Модернизируя высказывания Аристотеля, можно сказать, что он считал скорость прямо пропорциональной движущей силе и обратно пропорциональной сопротивлению, т. е. v ~ F/R. Понятие сопротивления было существенно для аристотелевской и схоластической физики, так как именно сопротивление обусловливало тот факт, что движение совершалось не мгновенно, и таким образом делало возможным само движение (мгновенное движение, как мы помним, не есть движение в строгом смысле, а мутация). Под сопротивлением обычно понималось сопротивление среды, и невозможность мгновенного движения часто приводилась Аристотелем как доказательство невозможности существования пустоты.
Модернизация представлений Аристотеля, заключающаяся в написании приведенной выше формулы, состояла, кроме того, и в самом утверждении существования пропорциональной зависимости. На самом деле у Аристотеля мы можем лишь встретить утверждения, что двойная сила продвинет тело на вдвое большее расстояние за то же самое время или же что та же самая сила продвинет вдвое меньшее тело на вдвое большее расстояние при прочих равных условиях. Аналогичные утверждения делались и относительно изменения сопротивления.
Именно схоластические натурфилософы XIV в. придали этим частным утверждениям вид функциональной зависимости, как это мы увидим позднее.
Кроме того, существовала еще и другая проблема: всегда ли этот процесс деления на два движущей силы или удвоения сопротивления допустим? Ведь движение может происходить только в том случае, если движущая сила больше сопротивления, и если процесс манипулирования с двойной или половинной величиной приводит к тому, что это правило нарушается, то очевидно, что рассуждения Аристотеля в таком случае неправомерны. Следовательно, правило Аристотеля нуждалось не только в обобщении, но и в исправлении.
И то и другое было сделано Томасом Брадвардином в его «Трактате о пропорциях», написанном в 1328 г. «Трактат» содержит четыре главы. Первая глава представляет математическое введение, касающееся теории пропорций; во второй рассматриваются различные усовершенствования теории Аристотеля, которые затем отвергаются как неправильные; в третьей излагается собственно теория Брадвардина, и, наконец, в четвертой обсуждаются проблемы вращательного движения.
Брадвардин вначале останавливается на попытках улучшить теорию Аристотеля. Эти попытки состояли, грубо говоря, в том, что первоначальная зависимость заменялась пропорциональностью скорости и разности между движущей силой и сопротивлением, или пропорциональностью отношения этой разности а сопротивления, т. е. v ~ F - R, или v ~ (F - R)/R.
Оба эти варианта делают скорость зависимой от разности двух разнородных количеств (вернее сказать, величин интенсивностей), что было недопустимо уже в аристотелевской и схоластической физике, поэтому Брадвардин отвергает такие предложения. Вместо этого он выдвигает свое предложение, которое заключается в том, что увеличение скорости вдвое соответствует возведению в квадрат отношения силы и сопротивления, утроение скорости — возведению в куб этого отношения и т. д. Соответственно уменьшение скорости в данное число раз ведет к извлечению корня данной степени из первоначального отношения. Пользуясь современной терминологией, чтобы выразить функциональную зависимость Брадвардина между скоростью, движущей силой и сопротивлением, можно сказать, что скорость предполагается пропорциональной логарифму отношения силы и сопротивления, т. е. v ~ log (F/R), ибо функциональное уравнение n∙f(x) = f(xn) имеет решением f(x) = log x.[8]
Решение, найденное Брадвардином, является обобщением и улучшением аристотелевского правила безотносительно к тому, насколько верно оно в смысле современной физики. Действительно, любое движение предполагает, что движущая сила превосходит сопротивление, поэтому первоначальное отношение F/R всегда больше единицы. А раз так, то оно всегда останется большим единицы: и в случае уменьшения, и, естественно, в случае увеличения скорости, ибо любой корень из числа, большего единицы, также больше единицы. Современному читателю это сразу видно из самого вида закона Брадвардина: v ~ logF/R, т. е. логарифм отрицательного числа при положительном основании не имеет смысла, значит, и закон имеет смысл, только когда F > R, а при F = R v = 0, т. е. логарифм единицы равен нулю, и движение при равенстве движущей силы и сопротивления не имеет места.
Итак, Брадвардин определенно улучшил правило Аристотеля в рамках аристотелевской физики, но важно подчеркнуть другой аспект его работы: это была едва ли не первая попытка, пользуясь доступным в то время математическим аппаратом, вывести количественную функциональную зависимость между рассматриваемыми величинами. Именно этот факт имел, вероятно, в виду Ф. Хунд, когда говорил в своей «Истории физических понятий» о «переходе от качественных к количественным характеристикам» в эпоху позднего Средневековья. Майер выразилась еще яснее: «Брадвардин, как и все его современники, полагал, что аристотелевская физическая теория правильна, и он пытался найти формулу, которая была бы применима для всех значений переменных и удовлетворяла бы всем условиям. И он этого добился» {1, с. 75}.
Как это ни странно, но понятие скорости, кажущееся нам интуитивно столь ясным, претерпело на пути к современному представлению значительные видоизменения, и его определение представляло трудности для многих поколений исследователей вплоть до Галилея. Причина этих трудностей коренилась не только в том, что движение рассматривалось в широком смысле слова, но и в том обстоятельстве, что со времен Аристотеля любое отношение имело в глазах философов смысл только тогда, когда в него входили величины одного рода, т. е. путь сравнивался с путем, время — со временем и т. п., поэтому отношение пути ко времени — а именно так мы определяем скорость сегодня — было им абсолютно чуждо. Как замечает В. П. Зубов, «нашу формулу v = s/t древние просто не поняли бы» {2, с. 60}. Единственное место, где Аристотель оперирует с отношением разнородных величин, это там, где он обсуждает зависимость скорости от движущей силы и сопротивления[9]. Традиционно это исключение осталось единственно приемлемым для последующих исследователей, включая Брадвардина.
Единственным путем сколько-нибудь полного, математического анализа понятия скорости в таком случае остается возможность оперирования со скоростью как с отвлеченной величиной, некоторым числом. (При этом вначале подразумевается, что такое число выражает отношение движущей силы к сопротивлению — это число понимается просто как отвлеченная характеристика.) Именно таким образом и поступает Брадвардин. У него скорость выражается величиной, представляющей, как он говорит, интенсивность качества движения. В дальнейшем такой подход позволил рассматривать скорость, взятую не в отношениях, а как таковую. Примером может служить тот факт, что у Хейтесбери уже вводится понятие мгновенной скорости для неравномерного (дифформного) движения. В его трактате «О местном движении» дается следующее определение: «В пространственном дифформном движении в любое мгновение скорость определяется по линии, которую прочертила бы наиболее быстро движущаяся точка, если бы на протяжении она стала бы двигаться униформно (т. е. равномерно. — В. К.) с тем градусом скорости, с которым она движется в это мгновение — какое бы мгновение ни взять» {2, с. 69}. В определении подразумевается, что скорость как интенсивная величина может иметь меру (градус), что, в свою очередь, отражает характерную точку зрения для ученых Оксфордской школы.
Указанные представления являлись частью более широкого учения «об усилении и ослаблении качеств», в котором обсуждались также свойства равномерного (униформного) и равноускоренного (униформно-дифформного) движения. Попытка сопоставить равномерное и неравномерное движения очевидна из приведенного выше определения мгновенной скорости.
Другим результатом подобного рода было знаменитое «мертонское правило», определяющее возможность сопоставления равномерного и равноускоренного движений. В формулировке Суиссета это правило гласит: «Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу, так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой приобретаемой широте, сколько и благодаря ее среднему градусу, если бы тело двигалось все время с этим средним градусом» {2, с. 136}. Терминология Суиссета нуждается в пояснении — под «широтой» калькуляторы понимали интенсивность качества, а «градус», как и выше, есть мера этой интенсивности, значение которой может изменяться от нуля до бесконечности. Поэтому теория усиления и ослабления качеств называлась также учением о «широте форм», где под «формой» подразумевалось некое качество, подлежащее рассмотрению, Имея в виду эти соображения, мертонское правило можно интерпретировать таким образом, что путь, пройденный во время равноускоренного движения, равен пути, проходимому в равномерном движении со средней скоростью.
