Яков Перельман - Занимательный космос. Межпланетные путешествия
Здесь предполагается, конечно, что ракета должна достичь лишь точки равного притяжения, откуда начнется падение на Землю. Зная, что масса М 1 Луны равна M/ 81, где М – масса Земли, имеем (после сокращения на m ):
откуда v = 2,27 км/с – на сто метров меньше, чем скорость, вычисленная без принятия в расчет притяжения Земли. С такой же скоростью должно удариться о лунную почву тело, падающее на Луну из точки равного притяжения, имея Землю позади себя.
Так производится расчет наличной скорости для артиллерийского снаряда, скорости, имеющей максимальное значение на земной поверхности. В случае ракеты скорость на уровне земной поверхности равна нулю и постепенно растет по мере взлета ракеты, пока не прекратится горение заряда. Следовательно, максимальную свою скорость ракета приобретает на некоторой высоте над Землей, где напряжение тяжести, естественно, меньше, чем на уровне моря. Поэтому максимальная скорость, уносящая ракету в межпланетный полет, меньше, чем для пушечного снаряда. Вычислим ее, сделав предпосылку, что ракета летит с ускорением, равным утроенному ускорению земной тяжести.
Обозначим высоту, на которой ракета приобретает максимальную скорость v, через х. Известно, что v2 = 2 · 3 g · x = 6gx.
Потенциальная энергия единицы массы ракеты на уровне × равна, согласно предыдущему:
Потенциальная энергия той же единицы массы на высоте 54,3R (в точке равного притяжения) выражается суммой
Потеря потенциальной энергии при перемещении ракеты с уровня × на уровень 54,3R составляет
и должна, мы знаем, равняться кинетической энергии единицы массы ракеты, т. е. – 1/2v2, или 3 gx. Имеем уравнение
откуда х = 0,2616, R = 0,2616 · 6370 = 1666 км.
Теперь из уравнения v2 = 6gx находим v = 9750 м/с.
Итак, ракета, отвесно направляющаяся к Луне, достигает наибольшей своей скорости – 93/4 км/с – далеко за пределами земной атмосферы. Число секунд t, в течение которого накапливается эта скорость, определяется из уравнения 9750 = 3·9,8 t, откуда t = 321 с. Можно вычислить, что под действием земной тяжести ракета потеряет 321 · 7,76 = 2490 м своей секундной скорости (7,76 – средняя величина ускорения тяжести на протяжении 1666 км от земной поверхности). В общем итоге запас энергии, каким надо снабдить ракету для отвесного полета на Луну, должен отвечать скорости 9750 + 2490 = 12 240 м/с.
Сходным образом можно установить, что при отвесном подъеме ракеты с Луны она приобретает максимальную скорость (2300 м/с) на высоте 90 км, после 76 с подъема. И обратно: падая от точки равного притяжения на лунную поверхность, ракета должна начать замедление полета на высоте 90 км, чтобы при ускорении (отрицательном) 3g свести свою 2300-метровую скорость к нулю.
Вычисляя скорость, с какою тело должно покинуть Землю для удаления в бесконечность, мы принимали, что Земля – единственный центр, притяжение которого тело должно при этом преодолеть. На самом же деле приходится считаться также и с притяжением Солнца. Чтобы учесть это обстоятельство, установим сначала зависимость между скоростью тела на орбите и другими величинами.
Рис. 59. К расчету скорости полета
По второму закону Кеплера, площади, описываемые радиусом-вектором в равные времена, равны. Пусть тело (планета) движется вокруг Солнца по эллипсу с полуосями а и Ь; период обращения Т секунд, секундная скорость V, радиус-вектор г; тогда для точек перигелия и афелия имеем равенство
где левая часть есть выражение (приближенное) для площади, описываемой радиусом-вектором за одну секунду,
a πab — площадь эллипса. Имеем:
Пусть теперь тело (звездолет, планета), движущееся вокруг Солнца по круговой орбите радиуса r, должно перейти в точке А своего пути на эллиптическую орбиту с полуосями а и Ь. Определим, какое для этого необходимо изменение скорости.
Из третьего закона Кеплера следует, что отношение квадрата периода обращения планеты к кубу ее среднего расстояния от Солнца (или большой полуоси) есть величина постоянная; для планет солнечной системы эта постоянная равна (в единицах системы см-г-сек)
откуда
Отсюда имеем скорость v кругового движения около Солнца на расстоянии r:
Обращаясь к эллиптической орбите, имеем прежде всего
Из формулы (5) мы знаем, что скорость vЭ движения по эллиптической орбите в точке А
Так как скорость vK, движения по круговой орбите (см. (6))
то из сопоставления формул (6) и (7) имеем
По этой формуле и вычисляется скорость, какую необходимо сообщить звездолету, чтобы с круговой орбиты он перешел на эллиптическую или удалился в бесконечность. В последнем случае полагаем большую полуось а эллипса равной бесконечности. Имеем:
т. е. для удаления звездолета с круговой орбиты в бесконечность необходимо, чтобы круговая скорость его увеличилась в
раз. Так, для удаления с земной орбиты (соответствующая скорость 29,6 км/с) в бесконечность нужна скорость
т. е. приращение скорости 41,8 – 29,6 = 12,2 км/с.
Теперь мы можем вычислить скорость, какая должна быть сообщена звездолету для преодоления притяжения Земли и Солнца и, следовательно, для свободного удаления с Земли в бесконечность. Чтобы преодолеть притяжение, нужна начальная скорость 11,2 км/с, т. е. работа (живая сила) для каждого килограмма веса звездолета.
Чтобы преодолеть солнечное притяжение, нужна работа (v = 12 200 м/с)
Общая работа для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца равна
Искомая скорость × получается из уравнения:
откуда
Вычислим теперь начальные скорости, необходимые для достижения планет Марса и Венеры. Для Марса
Поэтому из формулы (8) имеем
т. е. нужна добавочная скорость 32,6 – 29,6 = 3 км/с.
Искомая скорость для преодоления совокупного притяжения Земли и Солнца вычисляется, как сейчас было показано:
Таким же образом определяем, что для достижения Венеры нужна начальная скорость, не меньшая
Рис. 60. Маршрут перелета с Земли (7) на Венеру ( V)
Продолжительность перелетов
Перелет на Венеру. Продолжительность этого перелета, при условии минимальной затраты горючего, определится, если будет известен период обращения воображаемой планеты по эллипсу TV (рис. 60). Если S — Солнце, то ST= 150 × 106 км, SV= 108 × 106 км; среднее расстояние воображаемой планеты от Солнца равно 1/2(150 + 108) × 106 = 129 × 106 км. По третьему закону Кеплера,
где x – продолжительность обращения воображаемой планеты, а 225 суток – продолжительность обращения Венеры;
Значит, полет в один конец займет 147 суток.
Перелет на Марс. Время перелета определяется из пропорции:
откуда
у = 519 сут.
Значит, перелет в один конец продлится 259 суток.5. Внеземная станция
Для относящихся сюда расчетов воспользуемся рис. 54. Круг радиуса г пусть изображает земной шар, а эллипс – тот путь, по которому звездолет из точки А земной поверхности (экватора) долетает до круговой орбиты искусственного спутника.
Прежде всего вычислим, каков должен быть радиус круговой орбиты (не изображенной на чертеже) этого спутника, чтобы время его обращения равнялось земным суткам. Применим третий закон Кеплера, зная, что Луна обходит Землю в 27,3 суток на расстоянии 60,3 земных радиусов от центра Земли:
откуда
Итак, внеземная станция должна находиться в расстоянии 6,66 земного радиуса от центра Земли, чтобы период обращения равнялся 24 часам.
Скорость, которую нужно сообщить на Земле звездолету, чтобы он достиг орбиты такого искусственного спутника, есть скорость в точке А эллипса (рис. 59). Вычислим ее по формуле (8):
Здесь vK – скорость свободного кругового обращения небесного тела около центра Земли на расстоянии одного земного радиуса, т. е. 7,92 км/с. Следовательно, искомая скорость v Aотлета
vA = 7,92 × 1,32 = 10,5 км/с [50] .
С какой скоростью звездолет достигнет орбиты искусственного спутника? Другими словами: какова скорость в точке В эллипса, противолежащей точке А? Находим ее, пользуясь вторым законом Кеплера; так как площади, описываемые радиусами-векторами в одну секунду, равны, то
