Иван Ефишов - Таинственные страницы. Занимательная криптография
f1 = 1, f2 = 1, f3 = 2, f4 = 3, f5 = 5, f6 = 8…., f12 = 144….
Первые два числа в этой последовательности заданы и равны единице, то есть f1 = 1, f2 = 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Например, f6 = f5 + f4 (или 8 = 5 + 3). Счет можно продолжить. Так, например, двенадцатое число Фибоначчи равно f12 = 144.
Числами Фибоначчи можно описать как корзинку подсолнуха, так и расположение спиральных рукавов Галактики.
Отметим, что в своем труде Леонардо Фибоначчи, который по делам торговли не раз оказывался в арабском Алжире, рассмотрел впервые в европейской математике арабскую систему счисления. Привычная нам десятичная позиционная система, которую все мы изучаем в школе, в свое время стала крупнейшим прорывом в математике. Не будь ее, нам пришлось бы до сих пор пользоваться римской нотацией, столь неудобной при вычислениях.
Плавно перейдем к другой задаче по кодированию и передаче информации, где также возникают вездесущие числа Фибоначчи. Но предварим ее небольшим двойным линейным кроссвордом.
По верхнему ряду рисунков кроссворд разгадывается следующим образом: «парк, окно, сок», по нижнему ряду – «пар, кок, носок».
Как видим, сообщение «паркокносок» можно прочесть двумя способами. В данном случае информацию, состоящую из одиннадцати букв, вы легко дешифровали, используя подсказки-картинки. Но у криптоаналитика подсказок, как правило, нет.
Рассмотрим аналогичную задачу{9}, связанную с передачей информации, также состоящей из одиннадцати символов, но не сопровождающейся дополнительными подсказками.
Вот ее условие. Некоторый алфавит состоит из шести букв, которые для передачи по телеграфу кодируются одним или двумя знаками следующим образом:
•, –, • •, –, • –, – •.
При передаче некоего слова не сделали промежутков, отделяющих букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка точек и тире, состоящая из одиннадцати знаков.
Сколькими способами можно прочесть переданное слово?
Сделаем задачу более наглядной. Предположим, что вам передали следующее слово:
• • – • – • – •
Попробуйте для начала разобраться с этим частным случаем.
Задача полностью аналогична той, которую вы разгадывали в линейном кроссворде. Но там вы отделяли друг от друга слова, а здесь придется отделить закодированные буквы в слове. Известно, что при передаче телеграмм или радиограмм применяется азбука Морзе, в которой, например, буква А всегда кодируется двумя знаками • –, тогда как буква Е – это одна точка •, а буква Т – просто тире – . Таким образом, получив сообщение из двух знаков • – (в котором преднамеренно пропущен пробел), вы можете его декодировать либо как букву А, либо как две буквы ЕТ.
Теперь попробуйте применить подобный подход для слова из одиннадцати знаков. Не забудьте, что наш этюд называется «Числа Фибоначчи»!
Попробуйте сделать это самостоятельно, потратьте на задачу час, два, три… Столько, сколько вам понадобится. Но не забегайте вперед, чтобы просто прочитать ответ. Задача не так сложна: при ее решении вам не придется воспользоваться ни одной математической формулой!
Подсказка: ответ задачи – двенадцатое число Фибоначчи.
Решим эту задачу подробно – шаг за шагом. Итак, слово длиной в одиннадцать знаков уже задано. Предположим, что сначала нам дана последовательность из 1 знака, затем из 2, 3…., 11 знаков. Каждый знак, как вы помните, – это либо точка, либо тире.
Первый шаг. Вначале имеем слово длиной в один знак: *, где * обозначает либо точку, либо тире.
Очевидно, слово у нас прочитается единственным образом. Когда конкретное сообщение из одного знака у вас перед глазами, то вы увидите либо • либо –.
Второй шаг. Теперь задано слово длиной уже в два знака: **.
(*)(*), (**) – два способа декодирования. Других комбинаций попросту нет. Здесь круглыми скобками выделены отдельные буквы (однозначные либо двузначные) в полученном нами слове.
Третий шаг. Имеем слово длиной в три знака: ***.
(*)(*)(*), (*)(**), (**)(*) – уже три способа декодирования (будем располагать последовательность из букв в лексикографическом[2] порядке их длины). Как мы помним, буквы из трех знаков (***) по условию нашей задачи не существует.
Четвертый шаг. Имеем слово длиной в четыре знака: ****.
(*)(*)(*)(*), (*)(*)(**), (*)(**)(*), (**)(*)(*), (**)(**) – вот так сюрприз! У нас теперь не четыре, как можно было бы ожидать, а целых пять способов декодирования.
Пятый шаг. Имеем слово длиной в пять знаков: *****.
(*)(*)(*)(*)(*), (*)(*)(*)(**), (*)(*)(**)(*), (*)(**)(*)(*), (**)(*)(*)(*), (*)(**)(**), (**)(*)(**), (**)(**)(*) – восемь вариантов декодирования.
Можно продолжать в том же духе. Но попытаемся угадать закономерность, возникающую в ходе решения задачи.
Выпишем количество способов декодирования, полученных на каждом нашем шаге.
Первый шаг – 1 способ.
Второй шаг – 2 способа.
Третий шаг – 3 способа.
Четвертый шаг – 5 способов.
Пятый шаг – 8 способов.
И т. д…
Теперь хорошо видно, что справа у нас стоят числа Фибоначчи:
f2 = 1, f3 = 2, f4 = 3, f5 = 5, f6 = 8….
Так как при решении задачи на первом шаге мы получили второе число Фибоначчи f2 = 1, на втором шаге – третье число f3 = 2, то, следовательно, правильным ответом будет двенадцатое число Фибоначчи f12 = 144, так как полученное слово состоит из одиннадцати знаков.
Какая элегантная и красивая задача! И вполне по силам любому. Надеюсь, вы получили море удовольствия при ее самостоятельном решении и не подглядывали в ответ.
Этюд V
Суеверный писец
Широко использовалась тайнопись и на Руси. Переписчики древних текстов (как правило, монахи) обычно в конце рукописи зашифровывали свое имя. «Употребление тайнописи вызывается здесь традицией «смирения», ради которого пишущий, хотя и желает оставить по себе память, находит нескромным назвать себя открыто»{10}. Возможно, такая скрытность была вызвана боязнью дурного глаза{11}.
В начале рукописи, найденной в Вологде и относящейся к 1643 году, писец сделал следующую приписку, в которой зашифровал свое имя:
Этот вид тайнописи назывался «мудрая литорея» и основывался на замене буквы соответствующим ей числом в кириллической системе счисления.
Дело в том, что вплоть до начала XVIII века на Руси достаточно было поставить знак «титло» над буквой, чтобы превратить ее в число. Например, первая буква кириллицы «аз» () превращалась в единицу (), третья[3] буква «веди» () – в два () и т. д. С одиннадцатой буквы «и», числовое значение которой равнялось десяти (), начинался отсчет десятков. Сотни обозначались с буквы «рцы» () и т. д.
Затем полученная с помощью литореи числовая последовательность преобразовывалась посредством простых арифметических действий.
По сути, литорея – шифр простой замены, который не составляет труда дешифровать.
Попробуем угадать имя суеверного (или скромного) писца. Десять «и» в конце имени при сложении дадут сто, что соответствует букве «рцы» (). Таким образом, получили окончание имени «оръ». А что с первой буквой имени? Имеем пять букв «рцы», то есть пять раз по сто, или пятьсот. Переберем последовательно буквы кириллицы: «рцы» – 100, «слово» () – 200, «твердо» () – 300, «ук» () – 400, «ферт» () – 500. Следовательно, первая буква в имени «Ф». Здесь нетрудно уже и догадаться, что писца звали Федор.
Этюд VI
Шифр Бэкона
В своем труде «О достоинстве и преумножении наук»[4]{12}, написанном на латыни, английский философ, историк и политик Фрэнсис Бэкон (1561–1626) размышляет в числе прочего об искусстве шифрования: «Существует довольно много видов шифра: простые шифры; шифры, смешанные со знаками, ничего не обозначающими; шифры, изображающие по две буквы в одном знаке; шифры круговые; шифры с ключом; шифры словесные и т. д. Шифры должны обладать тремя достоинствами: они должны быть удобными, не требующими многих усилий для их написания; они должны быть надежны и ни в коем случае не быть доступны дешифровке; и, наконец, если это возможно, они не должны вызывать подозрения. Ведь если письма попадут в руки тех, кто обладает властью над тем, кто пишет это письмо, или над тем, кому оно адресовано, то, несмотря на надежность шифра и невозможность его прочесть, может начаться расследование соответствующего дела, если только шифр не будет таким, что не вызовет никакого подозрения или же ничего не даст при его исследовании».
