Владимир Кирсанов - Научная революция XVII века
Итак, необходимо было определить движение самой Земли вокруг Солнца. «Это было бы просто невозможно сделать, если бы, кроме Солнца, Земли и неподвижных звезд, не существовало бы других планет. Если бы последних не было, то из опытов можно было бы определить только годичное направление Солнце — Земля (т. е. видимое движение Солнца относительно неподвижных звезд). Можно было бы установить, что это направление всегда лежит в неизменной по отношению к неподвижным звездам плоскости, по крайней мере с достигаемой тогда точностью наблюдений, проводимых без применения телескопа. Можно было также определить и каким образом прямая Солнце — Земля вращается вокруг Солнца. Было установлено, что угловая скорость этого движения в течение года меняется по определенному закону. Но этого было недостаточно, так как оставался неизвестным закон годичного изменения расстояния Солнце — Земля. Только после установления этого закона можно было найти истинную орбиту Земли и способ ее прохождения» {10, IV, с. 122}.
Решение Кеплером этой задачи Альберт Эйнштейн (из статьи которого о Кеплере взяты эти строки) считает одним из крупнейших достижений науки, поистине заслуживающим восхищение. Кеплер воспользовался Марсом в качестве «своеобразного триангуляционного пункта», с помощью которого оказалось возможным определить орбиту Земли. Действительно, предположим, что Марс занимает некоторое неподвижное положение М в плоскости земной орбиты. Тогда легко определить направление SM (Солнце — Марс) относительно неподвижных звезд. Для этого нужно лишь отметить то положение, когда Земля, Солнце и Марс лежат на одной прямой, что несомненно произойдет в некоторый момент времени. В другой момент времени Земля уже не будет лежать на прямой SM, а будет находиться в некоторой точке T1 своей орбиты. Для этого момента также можно определить направление ST1 и T1M относительно неподвижных звезд. Тогда в треугольнике SMT1 будут известны все углы и одна сторона MS неизменна— ее величину можно выбрать произвольно, и, следовательно, в выбранном масштабе можно получить расстояние T1M (Марс — Земля). Эту процедуру можно повторить для любого момента времени, получив достаточное число точек для определения земной орбиты.
Однако, как мы знаем, Марс не является неподвижным, но движется вокруг Солнца. И тем не менее Кеплер сумел использовать описанную схему, найдя гениально простое решение. Известно, что Марс обращается вокруг Солнца за вполне определенное время, его период равен 687 суткам, поэтому если за начало отсчета выбрать момент, когда Марс, Солнце и Земля лежат на одной прямой, то следующая точка наблюдения должна отстоять по времени от первой на 687 суток. За это время Марс вернется в свое первоначальное положение, а Земля займет некоторое другое положение, отличное от первого. Следующее положение Земли определится временем, равным двум периодам Марса, и т. д.
Поступая таким образом, Кеплер смог определить движение Земли. Но не следует думать, что Кеплер получил в результате эллиптическую орбиту, хотя такое впечатление может сложиться при чтении многих популярных статей и книг о Кеплере. На самом деле вследствие очень малого эксцентриситета земной орбиты Кеплер не смог установить, что орбитой Земли является эллипс, и по-прежнему считал, что она представляет собой окружность. Тем не менее он был в состоянии с достаточно хорошей точностью определить скорость Земли на орбите в зависимости от ее местонахождения на ней. В частности, он показал, что скорость движения Земли неодинакова для разных частей орбиты, поэтому теорию движения Земли следует строить аналогично тому, как это делается для других планет.
До исследований Кеплера была повсеместно принята та точка зрения, что Земля в отличие от других планет движется равномерно по орбите;, в то время как для других планет Птолемеем было введено понятие экванта — точки, из которой неравномерное движение планеты кажется равномерным. Кеплер показал, что движение Земли также находится в согласии с гипотезой экванта, являясь, по сути, неравномерным. Он предположил, что орбита Земли должна быть эксцентрической (по отношению к Солнцу) окружностью, центр которой делит пополам линию, соединяющую Солнце с центром равноуглового движения (эквантом). Более того, он показал, что вблизи апсид[3] время, затрачиваемое Землей на прохождение равных дуг орбиты, пропорционально расстоянию от Солнца. Затем Кеплер без колебаний распространил эту закономерность на всю орбиту.
Запомним эту первую гипотезу Кеплера на пути к созданию закона площадей: время пропорционально расстоянию от Солнца. Чтобы эта гипотеза в его собственных глазах выглядела правдоподобной, Кеплер должен был наполнить ее неким физическим содержанием. Согласно его представлениям, источником движения планет является Солнце, которое, вращаясь, испускает потек особых частиц (species immateriata), которые, сталкиваясь с планетой, движут ее по окружности. Однако поток таких частиц может обусловить лишь движение по такой окружности, у которой Солнце располагается в центре. Чтобы объяснить движение планеты по окружности, эксцентрической по отношению к Солнцу, Кеплер наделяет планету собственной способностью взаимодействия с потоком (species immateriata), которая дает ей возможность то удаляться, то приближаться к Солнцу. Действие этой способности, или силы («интеллигенции»), планеты аналогично действию руля у лодки: в зависимости от поворота руля лодка может плыть под различным углом к течению реки.
Кеплер пытался детально объяснить механизм действия собственной силы планеты с помощью модели, использующей движение по эпициклу и деференту (такая модель, как мы указывали ранее, эквивалентна модели эксцентрической окружности), но немедленно столкнулся с проблемой, решить которую был не в состоянии: как сила может двигать планету (и при том неравномерно!) вокруг центра, существующего лишь в воображении? Кеплеру было очевидно, что модель Птолемея не может здесь быть путем к объяснению, а другого пути пока он не видел. Отложив на время детали физического объяснения, он удовлетворился тем, что принял, что движение планет обусловлено двумя силами — силой, исходящей от Солнца посредством действия species immateriata, которая движет планету по окружности с Солнцем в центре, и собственной силой планеты, которая корректирует первоначальное движение таким образом, что планета начинает двигаться по окружности, эксцентрической по отношению к Солнцу.
Удовлетворившись на время этим вариантом физического объяснения, Кеплер обратился к проверке своей первой гипотезы (время пропорционально расстоянию), распространенной на всю орбиту Земли, путем сравнения расчетных и наблюденных значений истинной аномалии.[4] Кеплеру было чуждо понятие мгновенной скорости, и в соответствующих местах он всегда говорит о времени, требуемом для прохождения данной дуги, точно так же: время для него всегда представлялось не непрерывно текущей координатой, а последовательностью конечных временных промежутков (в полном соответствии с традицией средневековой физики).
К выводу закона расстояний К теореме о мере суммы расстоянийПоскольку время пропорционально расстоянию, то любой промежуток времени, согласно Кеплеру, будет измеряться суммой всех расстояний, содержащихся в секторе соответствующей дуги. Затем рассуждения Кеплера можно представить следующим образом. Пусть окружность разделена на 360 равных частей, так что каждому элементарному углу Δβi (эксцентрической аномалии), равному π/180, соответствует расстояние ri от Земли до Солнца. Тогда время, потраченное планетой на перемещение β от афелия до любой точки G, относится ко времени полуоборота как сумма расстояний, содержащихся в эксцентрическом секторе GAC, к сумме расстояний, содержащихся в половине эллипса, т. е.
(радиус круга принимается за единицу), откуда
Замечательно, что это уравнение допускает следующую интегральную интерпретацию:
где r — расстояние от Земли до Солнца, β — эксцентрическая аномалия (измеренная от афелия), e — эксцентриситет и с — константа, равная
определяемая из условия: при β = π t = π.
Конечно, Кеплер не был в состоянии вычислить получающийся интеграл, но интересно то, что он все-таки связывал величины своих сумм с площадью фигуры, ограниченной конхоидой.
Процедура отыскания t для данной дуги оказалась, как можно видеть из полученного уравнения, весьма трудоемкой, ибо для этого необходимо было подставить в него значения сразу всех расстояний, и поэтому Кеплер стал искать другой путь оценки суммы расстояний. Естественно, что ему пришло в голову оценивать сумму расстояний, содержащихся в секторе эксцентрика, по его площади. Но при этом он отчетливо понимал, что площадь эксцентрического сектора не может быть точной мерой рассматриваемой суммы. В доказательство он приводил следующее рассуждение. Пусть дан сектор BmСА, соединим С с В и рассмотрим треугольник ABC. В нем сумма сторон АВ+АС всегда больше стороны ВС. Но суммы всех линий, аналогичных ВС, будут иметь мерой площадь круга, в то время как сумма всех прямых, аналогичных АВ и АС, представляющая полную сумму расстояний, будет больше первой. Поэтому площади эксцентрических секторов представляют всего лишь приближенную меру суммы расстояний.
