Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты
Продемонстрировав истинность уравнения (1), проверим уравнение (2):
√a + √b ≠ √a
√b ≠ 0
b ≠ 0
Другими словами, согласно уравнению (2) основание равнобедренного треугольника не может иметь нулевую длину. Это действительно так, поскольку в противном случае у нас был бы треугольник всего с двумя сторонами, и они наложились бы друг на друга, а значит, мы получили бы треугольник только с одной стороной!
Таким образом, мы можем быть уверены, что сумма квадратных корней любых двух сторон равнобедренного треугольника никогда не будет равна квадратному корню оставшейся стороны. Это не такое уж глубокомысленное открытие, но тем не менее оно позволяет присвоить данному варианту гипотезы Страшилы статус теоремы.
* * *Гипотеза Симпсона оказалась не чем иным, как гипотезой Страшилы, которая в любом случае ложная. Однако для семейства Симпсонов должно стать утешением то, что несколько важных (и верных) математических концепций носят их имя.
Например, парадокс Симпсона считается одним из самых непостижимых в математике. Он был изучен и популяризирован Эдвардом Симпсоном, который начал интересоваться статистикой в период работы в Блетчли-Парке, секретной штаб-квартире британского шифровального подразделения времен Второй мировой войны.
Одна из наиболее ярких иллюстраций парадокса Симпсона касается закона США о гражданских правах 1964 года – исторического документа, направленного на решение проблемы дискриминации. В частности, этот парадокс возникает в ходе тщательного анализа данных о результатах голосования республиканцев и демократов по поводу принятия закона в палате представителей США.
Демократы северных штатов США отдали за закон 94 процента голосов, тогда как республиканцы – всего 85 процентов. Следовательно, в северных штатах США за принятие закона проголосовало больше демократов, чем республиканцев.
В южных штатах за данный закон демократы отдали 7 процентов голосов, тогда как республиканцы – 0 процентов. То есть на юге США также проголосовало больше демократов, чем республиканцев.
Таким образом, напрашивается очевидный вывод: демократы продемонстрировали более активную поддержку Закона о гражданских правах, чем республиканцы. Однако если объединить данные по южным и северным штатам, получится, что за принятие закона проголосовали 80 процентов республиканцев и 61 процент демократов.
Другими словами, я утверждаю, что на севере и юге в отдельности демократы отдали больше голосов в поддержку закона, чем республиканцы, но в совокупности республиканцы опережают демократов! Как бы абсурдно это ни звучало, это бесспорный факт. В этом и состоит парадокс Симпсона.
Для того чтобы понять смысл данного парадокса, целесообразно проанализировать не проценты, а фактическое количество голосов. Демократы северных штатов отдали в поддержку закона 145 из 154 голосов (94 процента), тогда как республиканцы – 138 из 162 голосов (85 процентов). В южных штатов картина такая: демократы – 7 из 94 голосов (7 процентов), республиканцы – ноль из 10 голосов (0 процентов). Как уже было сказано, поддержка закона демократами на первый взгляд кажется более сильной, чем республиканцами, причем как на севере, так и на юге. Тем не менее в масштабах всей страны тенденция меняется на противоположную, поскольку за принятие закона проголосовали 152 из 248 демократов (61 процент) и 138 из 172 республиканцев (80 процентов).
Так как же нам объяснить этот пример парадокса Симпсона? Здесь есть четыре момента, которые проливают свет на загадку парадокса. Во-первых, сравнивая результаты голосования республиканцев и демократов, мы должны анализировать всю совокупность данных (в целом по стране). Это позволит прийти к заключению, что республиканцы поддержали Закон о гражданских правах более активно, чем демократы. Таким и должен быть окончательный вывод.
Во-вторых, хотя наша задача – проанализировать разницу между результатами голосования республиканцев и демократов, реально поражают различия между представителями северных и южных штатов независимо от того, к какой политической партии они принадлежат. В северных штатах США закон получил примерно 90-процентную поддержку, тогда как в южных она составила всего 7 процентов. Когда мы фокусируемся на одной переменной (например, демократы в сравнении с республиканцами), уделяя меньше внимания более важной переменной (например, север в сравнении с югом), то ее часто называют скрытой переменной.
В-третьих, во многих ситуациях проценты действительно имеет смысл использовать для сравнения, но в данном случае, начав с анализа одних только процентов, мы не приняли во внимание фактическое количество голосов, из-за чего не смогли оценить значимость определенных результатов. Например, 0 процентов голосов в пользу принятия закона, отданных республиканцами южных штатов, кажутся заслуживающими осуждения, но ведь южные штаты представлены всего 10 республиканцами; и если бы хоть один из них проголосовал за принятие закона, то поддержка южных республиканцев возросла бы с 0 до 10 процентов и превзошла бы поддержку демократов, составившую всего 7 процентов.
И последний, самый важный фрагмент этих данных – результаты голосования южных демократов. Ключевой момент здесь состоит в том, что в южных штатах поддержка закона была гораздо меньше, чем в северных, и южные штаты избирали преимущественно демократов, слабая поддержка закона которыми снизила средний показатель для всех представителей Демократической партии. Именно этим объясняется разворот тенденции в случае анализа всей совокупности данных.
Показательно, что результаты голосования за принятие Закона о гражданских правах 1964 года не относятся к числу редких статистических странностей. Подобный разворот тенденции в процессе интерпретации данных, который называют парадоксом Симпсона, создает путаницу во многих ситуациях, от спортивной статистики до медицинских данных.
Прежде чем закончить эту главу, хочу обратить ваше внимание на то, что в мире математики есть и другие Симпсоны. Например, имя Симпсон увековечено в так называемом правиле Симпсона – методе математического анализа, позволяющем рассчитать площадь под любой кривой. Этот метод назван по имени британского математика Томаса Симпсона (1710–1761), который в возрасте пятнадцати лет стал преподавателем математики в английском городе Нанитон. Восемь лет спустя, по данным историка Никколо Гуиччардини, он совершил одну из тех ошибок, которая может случиться с каждым из нас, и был «вынужден бежать в 1733 году в Дерби после того, как он или его помощник напугал девушку, одевшись как дьявол во время астрологического сеанса».
Безусловно, есть еще и теорема Карлсона-Симпсона, не требующая разъяснений; достаточно упомянуть о том, что она содержит принципы раскрашивания, о которых идет речь в теореме Хейлса-Джюитта, и используется в доказательстве Фюрстенберга-Кацнельсона. Но я уверен, что мне нет необходимости рассказывать вам об этом.
И наконец, не стоит забывать и о теореме Барта[40].
ЭКЗАМЕН III ЭКЗАМЕН НА УРОВНЕ СТАРШИХ КУРСОВ УНИВЕРСИТЕТАШутка 1
Вопрос: Почему программисты путают Хеллоуин с Рождеством?
Ответ: Потому что oct. 31 = dec. 25. (Восьмеричное (octal) число 31 равно десятичному (decimal) числу 25.)
2 балла
Шутка 2
Если Телепузики – это продукт времени и денег, тогда:
Телепузики = время × деньги, но время = деньги
⇒ Телепузики = деньги × деньги
⇒ Телепузики = деньги²
Деньги – корень всего зла, следовательно, деньги = √зла, а значит, деньги² = зло
⇒ Телепузики = зло
(Англ. product означает «продукт», а также «произведение».)
4 балла
Шутка 3
Вопрос: Насколько трудно считать в двоичной системе счисления?
Ответ: Легко: 01 10 11.[41]
2 балла
Шутка 4
Вопрос: Почему не стоит смешивать алкоголь и матанализ?
Ответ: Потому что не следует пить и брать производную. (Англ. derive («брать производную») созвучно с drive – «вести автомобиль».)
2 балла
Шутка 5
Студент: «Что вы больше всего любите в математике?»
Профессор: «Теорию узлов».
Студент: Да-да, я тоже.
(Англ. knot theory («теория узлов») созвучно с not theory – «не теория».)
2 балла
Шутка 6
Когда после потопа ковчег в конце концов причаливает к берегу, Ной выпускает всех животных и говорит им: «Идите и размножайтесь».
