Мартин Гарднер - Есть идея!
Не менее известна еще одна хорошая задача на относительное движение. Девушка садится в последний вагон поезда. Обнаружив, что все места в вагоне заняты, она оставляет в тамбуре тяжелый чемодан и в тот самый момент, когда за окном проплывает фабрика детских игрушек «Зайки из байки», отправляется на поиск свободного места, идя размеренным шагом, и через 5 мин доходит до первого вагона. Убедившись, что свободных мест нигде нет, девушка поворачивается и идет назад с той же скоростью. В тот момент, когда она возвращается к чемодану, за окном мелькает магазин бакалейных товаров «Супы, крупы и ступы», находящийся от фабрики «Зайки из байки» на расстоянии 5 км. С какой скоростью идет поезд?
Решение этой задачи аналогично решению задачи о шляпке Элен, унесенной ветром: знать, с какой скоростью идет девушка по вагонам и какое расстояние ей приходится пройти, совсем не нужно. Путь туда и обратно она проделывает за 10 мин. Следовательно, ее чемодан проезжает 5 км за 10 мин. Значит, поезд идет со скоростью 0,5 км/мин, или 30 км/ч.
А вот малоизвестная задача на относительное движение, способная поставить в тупик даже сильных математиков. Юноша и девушка участвуют в забеге на 100 м. К тому моменту, когда девушка пересекает линию финиша, юноша успевают пробежать 95 м, и девушка выигрывает забег с преимуществом в 5 м.
В другом забеге на ту же дистанцию девушка, чтобы уравнять шансы на победу, берет старт в 5 м позади стартовой черты. Кто выиграет второй забег, если оба спортсмена бегут с такой же скоростью, как и в первом забеге?
Если вы думаете, что оба участника забега пересекли линию финиша одновременно, то мы настоятельно рекомендуем поразмыслить над задачей еще немного. Может быть, вы все-таки догадаетесь, как правильно решить эту задачу? (Указание: где девушка догонит юношу?)
Еще одна забавная задачка рассказывает о божьей коровке, отравленной какими-то химикалиями и утратившей способность ориентироваться в пространстве. Божья коровка находится на одном конце метровой рейки и хочет доползти до другого конца. Каждую секунду она проползает 3 см вперед и 2 см назад. За сколько времени она доползет до другого конца рейки? (Те, кто думает, что это произойдет через 100 с, ошибаются!)
Финансовые проблемы
Друзья уже почти добрались до хижины дядюшки Генри, когда Элен предложила Бобу следующую задачу-головоломку.
Элен. Что, по-твоему, дороже: копилка, наполненная пятидолларовыми золотыми монетами, или та же копилка, наполненная десятидолларовыми золотыми монетами?
Боб немного помедлил, но ответил правильно и в свою очередь задал Элен задачу.
Боб. У одного шотландца 44 бумажных доллара и 10 карманов. Может ли он разложить деньги по карманам так, чтобы число долларовых купюр во всех карманах было различно?
Принцип ДирихлеВ копилке, наполненной пятидолларовыми золотыми монетами, золота столько же, сколько в копилке с десятидолларовыми золотыми монетами, поэтому обе копилки содержат золота на одну и ту же сумму.
Задача о шотландце, раскладывающем по 10 карманам 44 бумажных доллара, гораздо труднее. Выясним, что произойдет, если мы разложим по карманам минимальное число купюр. Даже если мы оставим первый карман пустым (положив в него чисто символически 0 долларов), а в каждый из следующих карманов положим на 1 доллар больше, чем в предыдущий, то всего нам понадобится 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 долларов, что больше тех 44 долларов, которые были у шотландца. А стоит лишь нам изъять хотя бы один доллар из какого-нибудь кармана, как в двух карманах долларовых купюр окажется поровну.
Основную идею такого рода рассуждений математики называют принципом Дирихле. Мы называли его также принципом «птичка в клетке». Суть его кратко можно сформулировать так: трех птичек невозможно рассадить по двум клеткам так, чтобы в каждой клетке оказалось по птичке. А вот еще один пример занимательной задачи, в решении которой используется принцип Дирихле. Предположим, что в городе не более 200 000 жителей. Можно ли утверждать, что по крайней мере у двух из них число волос на голове одинаково?
Такое утверждение может показаться невероятным, но принцип Дирихле убеждает нас в том, что ответ на этот вопрос должен быть утвердительным. Судите сами. Число волос на голове у человека не превышает 100 000. Если среди жителей города нет двух людей с одинаковым числом волос на голове, то один из них может быть совершенно лысым, у другого может расти на голове 1 волос, у третьего 2 волоса и т. д. Но как только мы дойдем до 100 001-го человека, как число волос у него на голове непременно окажется таким же, как у кого-то из жителей города. А так как население города составляет около 200 000 человек, то среди его жителей найдется около 100 000 таких, у которых число волос на голове будет совпадать с числом волос на голове у кого-то другого!
Часы дядюшки Генри
Едва Элен успела решить предложенную Бобом задачку, как они дошли до хижины дядюшки Генри. Хижину дядюшка построил своими руками, и в ней не было ни электричества, ни телефона, ни радио, ни телевизора.
Дядюшка Генри сразу обратился к ним с вопросом.
Генри. Который сейчас час?
Элен. У меня часов вообще не было, а часы Боба мы потеряли. А разве у вас нет стенных часов?
Генри. Часы-то есть, да вот беда: вчера вечером я забыл завести их. Вы пока побудьте тут, а я схожу в город, узнаю, который час, и заодно раздобуду чего-нибудь съестного.
Дядюшка Генри отправился в соседний городок и полтора часа провел там в бакалейном магазине.
Вернувшись домой, дядюшка Генри сразу же перевел стрелки часов.
Элен. Дядюшка, вы уверены, что часы теперь показывают правильное время? Ведь вы не можете знать, сколько времени пробыли в пути, если не знаете, сколько прошли я с какой скоростью.
Генри. Ни к чему все это, Элен! Расстояние от моей хижины до городка никто не мерил, да и скорость, с которой я хожу, тоже. Знаю лишь, что туда и обратно я шел одной и той же дорогой, одним и тем же шагом. Этого достаточно, чтобы правильно поставить часы. Я так всегда делаю.
Предположим, что дядюшка Генри завел часы перед тем, как выйти из дома, и часы в бакалейном магазине показывают точное время.
Каким образом дядюшка Генри ухитряется узнавать точное время по возвращении домой?
Проверьте ваши часыЗадача решается просто, если догадаться, что перед выходом из дома дядюшка Генри мог завести свои остановившиеся часы и по ним определить, сколько времени его не было дома. Поставить правильно стрелки часов дядюшка Генри, разумеется, не мог, так как не знал точное время, но ничто не мешало ему запомнить, сколько было на часах, когда он уходил из дома.
Вернувшись, дядюшка Генри взглянул на часы и узнал, сколько времени ушло у него на дорогу туда и обратно и на визит в бакалейный магазин. По часам, висевшим в магазине, дядюшка Генри узнал, сколько времени он там пробыл, и вычел это время из общей продолжительности своего похода в город. Тем самым дядюшка Генри узнал, сколько времени заняла у него дорога туда и обратно. Поскольку дядюшка Генри ходит с постоянной скоростью, то на дорогу от городка до дома времени ушло вдвое меньше. Прибавив время, которое ушло на обратную дорогу, к точному времени своего выхода из магазина, которое он установил по висевшим там часам, дядюшка Генри узнал точное время своего возвращения домой и смог перевести стрелки своих часов так, что те стали показывать точное время.
Коль скоро мы заговорили о стрелках часов, то нельзя не упомянуть об одном каверзном вопросе, на который девять людей из десяти отвечают неправильно. Сколько раз от полудня до полуночи часовая стрелка совпадает с минутной? Большинство людей отвечают, что стрелки совпадают 11 раз, хотя в действительности стрелки совпадают 10 раз. Желающие могут убедиться в этом, переводя стрелки на своих часах.
Этот несколько удивительный факт позволяет легко и просто решить задачу, которая кажется неразрешимой без использования алгебраических уравнений. Часы имеют секундную стрелку, соосную с часовой и минутной стрелками. В полдень все 3 стрелки сливаются в одну. Успевают ли все три стрелки совпасть еще раз, прежде чем наступит полночь?
Выясним сначала, много ли на окружности циферблата найдется точек, в которых часовая стрелка совпадает с минутной. Казалось бы, что таких точек 12, но, как мы уже знаем, в промежуток с 12 часов дня до 12 часов ночи минутная стрелка совпадает с часовой только 10 раз. Поскольку в полдень и в полночь часовая стрелка также совпадает с минутной, то это означает, что всего на окружности циферблата имеется 11 различных точек, в которых часовая стрелка совпадает с минутной. Как показывают аналогичные рассуждения, секундная стрелка совпадает с минутной в 59 различных точках на окружности циферблата. Следовательно, точки совпадения минутной стрелки с часовой разделены И равными промежутками времени, а точки совпадения минутной стрелки с секундной разделены 59 равными промежутками времени.
