Саймон Сингх - Симпсоны и их математические секреты
За многие столетия в разных культурах сформировались свои варианты этой игры, от индонезийского «слон, человек, уховертка» до «НЛО, микроб, корова», созданного любителями научной фантастики. В последней версии НЛО расчленяет корову, корова поедает микробы, а микробы заражают НЛО.
Хотя каждая культура имеет свои элементы игры, общие правила остаются неизменными. При их наличии можно использовать логику математической теории игр, чтобы определить лучшую стратегию игры. Это было продемонстрировано в эпизоде «Фронт» (The Front, сезон 4, эпизод 19; 1993 год), когда Барт и Лиза играют в КНБ, чтобы решить, чье имя следует указать первым в их совместном сценарии к «Шоу Щекотки и Царапки». Если взглянуть на игру КНБ с точки зрения Лизы, то ее лучшая стратегия зависит от ряда факторов. Например от того, что Лиза знает о сопернике – новичок он или профессионал – и что соперник знает о Лизе, а также какова цель: выиграть или избежать поражения?
Если бы Лиза играла с чемпионом мира, она могла бы воспользоваться стратегией случайного хода, поскольку даже чемпион мира не мог бы предсказать, что она выберет: камень, ножницы или бумагу. Это обеспечило бы Лизе равные шансы на выигрыш, проигрыш или ничью. Однако Лиза играет с братом, а он не чемпион мира по КНБ, поэтому она предпочитает стратегию, основанную на собственном опыте: Барт всегда выбирает камень. В итоге Лиза выбрасывает бумагу, чтобы победить камень Барта. Как и следовало ожидать, ее план срабатывает. Плохая привычка Барта согласуется с результатами исследования, проведенного Всемирным обществом КНБ, которые гласят, что камень – в целом самый популярный знак, особенно среди мальчиков.
Применение правильной стратегии игры, основанной на теории игр, сыграло в свое время ключевую роль, когда японская компания Maspro Denkoh выставила в 2005 году на аукцион свою коллекцию произведений искусства. Для того чтобы решить, с каким аукционным домом заключить многомиллионный контракт, с Sotheby’s или Christie’s, в Maspro Denkoh устроили между их представителями битву по КНБ. Международный директор отдела импрессионизма и современного искусства Christie’s Николас Маклин отнесся к этому настолько серьезно, что попросил совета у своих одиннадцатилетних дочерей-двойняшек. Опыт двойняшек подтверждали результаты исследования Всемирного общества КНБ, поскольку девочки тоже считали, что камень – самый распространенный ход. Более того, они обратили внимание, что продвинутые игроки знают об этом и выбирают в качестве своего хода бумагу. Интуиция подсказывала Маклину, что в Sotheby’s остановятся именно на этой продвинутой стратегии, поэтому посоветовал боссам в Christie’s сделать еще более тонкий ход, выбросив ножницы. Представители Sotheby’s действительно выбрали бумагу, поэтому Christie’s выиграли.
Еще один уровень математических тонкостей возникает, когда мы придаем игре КНБ дальнейший импульс, включив в нее больше вариантов. Прежде всего необходимо подчеркнуть, что любая новая версия КНБ должна иметь нечетное количество вариантов (N). Это единственный способ сбалансировать игру, так как каждый вариант выигрывает и проигрывает равному количеству других вариантов: (N – 1)/2. Следовательно, не существует такой версии КНБ, в которой было бы четыре варианта хода, но есть версия с пятью вариантами, придуманная программистом Сэмом Кассои и ставшая популярной после появления в восьмой серии второго сезона телесериала «Теория большого взрыва» (The Big Bang Theory, 2008 год), под названием «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок» (сокращенно КНБЯСп). Вот круговая иерархия и жесты для игры «камень, ножницы, бумага, ящерица, Спок».
По мере увеличения количества вариантов вероятность ничьей снижается на 1/N. Следовательно, вероятность ничьей в КНБ составляет 1/3, а в КНБЯСп – 1/5. Если кто-то хочет свести вероятность ничьей к минимуму, то самой большой и лучшей версией КНБ будет созданная художником-аниматором Дэвидом Лавлейсом КНБ-101. Она содержит 101 жест и 5050 возможных вариантов ходов, которые однозначно приведут к выигрышу. Например, трясина засасывает грифа, гриф съедает принцессу, принцесса усмиряет дракона, дракон поджигает робота и т. д. Вероятность ничьей составляет 1/101, что меньше одного процента.
Пожалуй, самое интересное математическое событие, произошедшее благодаря изучению игры КНБ, – это изобретение так называемых нетранзитивных игральных костей, сразу же вызвавших к себе повышенный интерес, поскольку на гранях каждой из них обозначены другие цифры:
Мы с вами можем выбрать по одной игральной кости и сыграть ими друг против друга. Выигрывает тот, чья кость покажет большее число. Так как вы думаете, какая кость лучшая?
В приведенных ниже таблицах показано, что происходит с тремя возможными парами костей: (А против Б), (Б против В), (В против А). Из первой таблицы следует, что кость А лучше, чем кость Б, поскольку она выигрывает в 20 из 36 возможных вариантов развития событий. Другими словами, кость А в среднем выигрывает в 56 процентах случаев.
А как насчет пары «кость Б против кости В»? Вторая таблица показывает, что кость Б лучше, так как она выигрывает в 56 процентах случаев.
В реальной жизни мы привыкли к транзитивным отношениям, которые означают, что если А лучше Б, а Б лучше В, то А должно быть лучше В. Тем не менее, бросив кость А против кости В, мы обнаружим, что кость В лучше, потому что она выигрывает в 56 процентах случаев, как показано в третьей таблице. Именно поэтому такие кости названы нетранзитивными: они не подчиняются обычному правилу транзитивности, так же как и ходы в КНБ. Как уже отмечалось выше, правила КНБ подчиняются нетрадиционной круговой иерархии, а не простой иерархии сверху вниз.
Каждая таблица показывает все возможные варианты развития событий, когда две игральные кости выбрасываются друг против друга. В первой таблице, отображающей ситуацию «А против Б», можно увидеть, что верхний левый квадрат отмечен как А и окрашен в светло-серый цвет, поскольку кость А выигрывает, если на ней выпадает число 3, а на кости Б – число 2. В свою очередь нижний правый квадрат отмечен как Б и имеет темно-серый цвет, так как кость Б выигрывает, если на ней выпадает число 9, а на кости А – число 7. С учетом всех возможных комбинаций можно сделать вывод, что кость А выигрывает в среднем в 56 процентах случаев в игре против кости Б.
Нетранзитивные отношения абсурдны и противоречат здравому смыслу, но именно поэтому они и приводят в восторг математиков, будь то авторы «Симпсонов», университетские профессора… или даже самый успешный инвестор в мире, а именно Уоррен Баффет, чистая стоимость активов которого оценивается примерно в 50 миллиардов долларов. В альбоме выпускников Школы Вудро Вильсона 1947 года под фотографией Баффета стоит весьма дальновидная подпись: «Любит математику; будущий фондовый брокер».
Баффет большой поклонник нетранзитивных игральных костей и часто предлагает людям сыграть с ним партию. Он без всяких объяснений вручает сопернику три нетранзитивные кости и просит первым сделать выбор. Сопернику кажется, будто это ставит его в более выгодное положение, поскольку у него есть шанс выбрать «лучшую» кость. Разумеется, лучшей кости просто не существует, и Баффет сознательно уступает первый ход, чтобы иметь возможность выбрать кость, более сильную по сравнению с той, на которую укажет соперник. Это не гарантирует Баффету победу, но существенно повышает ее вероятность.
Когда Уоррен Баффет решил провернуть этот трюк с Биллом Гейтсом, основатель Microsoft сразу же заподозрил неладное. Он достаточно долго изучал кости, а затем вежливо предложил Баффету сделать выбор первым.
Глава 9
До бесконечности и дальше
В эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год) рассказывается о турнире по мини-гольфу, в финале которого Барт Симпсон играет против Тодда Фландерса, сына соседа Неда Фландерса. Ставки в игре очень высоки, поскольку отца проигравшего ждет незавидная участь: ему придется косить газон победителя в платье своей жены.
Во время напряженной перепалки Гомер и Нед, для того чтобы укрепить свои позиции, апеллировали к бесконечности:
Гомер. Завтра в это время ты наденешь высокие каблуки!
Нед. Нет, ты наденешь.
Гомер. Нет.
Нед. Наденешь.
Гомер: Нет.
Нед. Наденешь.
Гомер. Нет до бесконечности!
