Мартин Гарднер - Есть идея!
Звездчатый граф можно полностью «раскрыть» подобно графам в двух первых задачах о перестановке шахматных коней, его удается развернуть в окружность. После того как это сделано, семь монет нетрудно расположить на окружности и проанализировать, как они могут двигаться. Справиться с этой задачей можно многими способами. Одна из наиболее простых выигрышных стратегий состоит в том, чтобы делать любой ход первой монетой, а все следующие монеты ставить и передвигать всегда так, чтобы по окончании хода они заняли вершину, которую занимала в исходном положении предыдущая монета.
Предложите сыграть в эту игру своим друзьям. Лишь очень немногие из них смогут расставить все семь монет, даже если вы один раз быстро продемонстрируете им, как следует играть.
Невиданный меч
Присмотритесь повнимательнее к этой картинке. Что художник нарисовал неправильно?
Взгляните на меч в руке рыцаря: его невозможно вложить в ножны.
Эти два меча (если только они не имеют утолщений) можно вложить в ножны соответствующей формы. Можете ли вы придумать еще какую-нибудь форму для меча и парных ему ножен?
Вам пришла в голову мысль перейти от плоских кривых к пространственным? Оказывается, помимо двух традиционных форм мечей, вкладывающихся в ножны, тем же свойством обладают только мечи, выкованные в форме винтовой линии.
Незаменимая криваяВинтовая линия играет важную роль в современной науке, — особенно в биологии и физике элементарных частиц. Молекулы ДНК имеют форму винтовой линии. В отличие от своих одно- и двумерных двоюродных сестер — прямых и окружностей — винтовая линия обладает «закрученностью», то есть может быть правой и левой. Прямая и окружность неотличимы от своих зеркальных отражений, но отличить винтовую линию от ее зеркального отражения не составляет ни малейшего труда. В зеркале винтовая линия, по выражению Алисы из Зазеркалья (Льюис Кэрролл), «идет наоборот».
Существует множество примеров винтовых линий в природе и в повседневной жизни. Винтовая линия по традиции считается правой, если она закручивается по часовой стрелке по мере удаления от вас. Винты, болты и гайки, как правило, имеют правую нарезку. Винтовые лестницы, стебли сахарного тростника, пружины, волокна в канатах и кабелях и стружки могут закручиваться как вправо, так и влево.
К числу примеров встречающихся в природе винтовых линий относятся рога многих животных, раковины морских моллюсков, гигантский зуб нарвала, ушная раковина человека, пуповина. В мире растений винтовая линия встречается в строении стеблей, побегов, усиков, семян, цветов, шишек, листьев и т. д. Взбираясь на вершину дерева или спускаясь с нее, белка описывает винтовую линию. Вылетая из пещеры, летучие мыши также движутся по винтовым линиям. Винтовые линии, навитые на конус, можно без труда обнаружить в таких атмосферных явлениях, как вихри или смерчи. Вода, стекая в раковине, также закручивается в воронку, сотканную из винтовых линий. Много других примеров винтовых линий вы найдете в книге М. Гарднера «Этот правый, левый мир»[3].
Правильная винтовая линия — это кривая, навитая на круговой цилиндр под постоянным углом к образующим (напомним, что образующими называются прямые на поверхности цилиндра, параллельные его оси). Пусть ϑ — угол, под которым винтовая линия пересекает образующие цилиндра. При ϑ = 0° винтовая линия, как нетрудно видеть, вырождается в прямую, а при ϑ = 90° — в окружность.
Аналитически в этом можно удостовериться, если записать параметрические уравнения винтовой линии и проварьировать входящий в них угол ϑ от 0° до 90°. И прямая, и окружность — предельные формы более общей пространственной кривой, получившей название винтовой линии. Правильная винтовая линия — единственная пространственная кривая постоянной кривизны. Этим и объясняется, почему мечи, вкладывающиеся в ножны, можно изготовить только в форме правильной винтовой линии (что выглядело бы несколько необычно) и двух ее предельных случаев — прямой и окружности.
Проекция винтовой линии на плоскость, перпендикулярную ее оси, имеет форму окружности. Спроецировав винтовую линию на плоскость, параллельную оси, мы получим синусоиду. В этом нетрудно убедиться, если снова воспользоваться параметрическими уравнениями кривой. Многие свойства синусоиды можно изучать по ее близкой родственнице — винтовой линии.
В этой связи мы хотим рассказать одну забавную историю-задачу, допускающую (при надлежащем подходе) очень простое решение. Внутри цилиндрической башни высотой 100 м ходит лифт. Снаружи башни имеется винтовая лестница, образующая с вертикалью постоянный угол ϑ = 60°. Диаметр башни 13 м.
Однажды мистер и миссис Пицца поднялись на лифте на смотровую площадку, расположенную на вершине башни. Их сын Томато Пицца предпочел идти наверх пешком. Когда он добрался до смотровой площадки, вид у него был не блестящий.
— Не мудрено, что ты устал, сынок, — заметил мистер Пицца. — Ведь тебе пришлось проделать вчетверо больший путь, чем нам, и все пешком.
— Ты ошибаешься, папа, — ответил Том. — Я прошел лишь вдвое больший путь, чем вы проехали.
Кто прав: Том или его отец?
Кое-кто склонен думать, будто для того, чтобы вычислить длину винтовой лестницы, необходимо знать диаметр башни. В действительности информация о диаметре башни совершенно лишняя!
Дело в том, что винтовую лестницу можно развернуть в гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 30° и высотой 100 м, а гипотенуза такого треугольника вдвое больше высоты (катета, лежащего против угла 30°), Следовательно, прав был Том.
Убедиться в этом вы можете, развернув какую-нибудь картонную трубку. Возможно, исход эксперимента несколько удивит вас: вы увидите, что длина шва (винтовой линии, как бы навитой на трубку) не зависит от диаметра цилиндра, в который скручен прямоугольный треугольник.
Пари на полюсе
Знаменитый игрок Дэн, по прозвищу Ставлю Доллар, сидел в баре со своим другом Диком, по профессии пилотом.
Дэн. Дик, ставлю доллар, что ты не сможешь решить простой задачки. Самолет пролетает 100 км, держа курс на юг, затем 100 км на восток и 100 км на север, после чего оказывается в исходной точке. Откуда он вылетел?
Дик. Принимаю пари, Дэн. Задачка твоя давно известна. Самолет вылетел с Северного полюса.
Дэн. Правильно. Держи доллар. Ставлю еще доллар, что ты ни за что не догадаешься, откуда еще мог вылететь самолет.
Дик погрузился в размышления.
Дик. Другой точки, кроме Северного полюса, нет и быть не может, и я берусь доказать это. Предположим, что самолет вылетает из точки, расположенной между Северным полюсом и экватором.
Дик. Ясно, что в этом случае конечная точка маршрута не может совпадать с исходной. Если же самолет вылетает из точки, расположенной на экваторе, то конечная точка маршрута оказывается примерно в 100 км от исходной точки.
Дик. Если же самолет вылетает из точки, расположенной в южном полушарии, то конечная точка будет отстоять от исходной более чем на 100 км.
Дэн. Может, ты хочешь поспорить на 2 доллара, что самолет не мог вылететь ниоткуда, кроме Северного полюса?
Дик принял пари и проиграл. Почему?
Предположим, что самолет стартовал из точки, расположенной на параллели А, отстоящей на расстояние 116 км от Южного полюса, и пролетел к югу 100 км.
Пролетев 100 км на восток, он совершит полный оборот вокруг Южного полюса. Пролетев затем 100 км на север, он непременно вернется в исходную точку.
Дик. Ты прав, вот твои 2 доллара.
Дэн. Ставлю еще доллар, что, по-твоему, я не смогу указать других мест на земном шаре, вылетев откуда и пролетев сначала 100 км на юг, затем 100 км на восток и 100 км на север, самолет сможет вернуться в исходную точку. Под «другими местами» я понимаю точки, не лежащие на параллели А и не совпадающие с Северным полюсом.
Дик. Тогда ставлю 50 долларов, что таких точек на земном шаре нет.
Бедный Дик снова проиграл. Какую важную идею он упустил из виду?
Откуда вылетать?Заключая второе пари, Дик упустил из виду весьма важное обстоятельство: точка, откуда вылетает самолет, может быть выбрана так близко от Южного полюса, что, пролетев 100 км на восток, он опишет вокруг полюса не один оборот, как в предыдущем решении, а два полных оборота. Так возникает новая параллель, все точки которой служат решениями исходной задачи. Аналогичным образом самолет может вылететь из любой точки еще меньшей окружности и, держа курс на восток, совершить три, четыре и т. д. оборота вокруг полюса. При любом целом положительном n можно указать соответствующую параллель, вылетев из любой точки которой и держа курс на восток, самолет совершит n оборотов вокруг полюса. Следовательно, точки, из которых может вылететь самолет, заполняют бесконечно много параллелей, стягивающихся к полюсу,
