Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Эксперименты с точками играют ключевую роль и в исследованиях числовой когнитивности взрослых. В классическом опыте испытуемому показывают точки на экране и спрашивают, сколько он их видит. В случае одной, двух или трех точек ответ всегда следует практически немедленно. Когда же точек четыре, ответ занимает существенно больше времени, и еще больше — если точек пять.
И что же? — спросите вы. Возможно, этим скорее всего объясняется, почему в ряде культур числительные для 1, 2 и 3 содержат одну, две и три линии, тогда как число 4 не представляется четырьмя линиями. Когда имеется три или меньшее число линии, мы можем немедленно сказать, сколько их, но, когда их четыре, нашему мозгу задается слишком серьезная задача. Китайские иероглифы для чисел от 1 до 4 имеют вид , , и . Древние индийские числительные выглядели как , , и . (Если соединить здесь кое-какие линии, то будет видно, как они превращаются в современные 1, 2, 3 и 4.)
На самом деле не ясно, каково число линий, которые мы можем зафиксировать мгновенно, — три или четыре? У римлян в действительности были два возможных способа написания четверки — IIII и IV. Зрительно намного быстрее распознается IV, но на циферблатах часов — быть может, по эстетическим причинам — имеется тенденция использовать IIII. Без сомнения, число линий, точек или саблезубых тигров, которое мы можем распознать быстро, уверенно и точно, — не более четырех.
При том что у нас есть точное ощущение чисел 1, 2 и 3, за пределами числа 4 наши способности ослабевают и суждения о числах становятся приблизительными. Попробуйте, например, быстро определить, сколько точек здесь изображено:
Это невозможно. (Не считая того случая, когда вы — аутист с незаурядными умственными способностями, как персонаж Дастина Хоффмана в фильме «Человек дождя», который мог бы через долю секунды сказать «семьдесят пять».) Все, что нам доступно, — это оценка, и она вполне может оказаться неточной.
Исследователи протестировали, насколько далеко простирается наше интуитивное восприятие чисел. Добровольцам показывали картинки с различным числом точек и спрашивали, на какой картинке точек больше. Оказалось, что умение распознавать точки подчиняется регулярным закономерностям. Например, легче выявить различие между группой из 80 точек и группой из 100 точек, чем между группами из 81 и 82 точек. Аналогичным образом, легче провести различие между группами из 20 и 40 точек, чем между группами из 80 и 100 точек. Кроме того, ученых на самом деле очень удивляет, сколь строго наши способности к сравнению следуют математическим законам, таким как принцип мультипликативности. В своей книге «Чувство числа» французский специалист по когнитивным наукам Станислас Деэн приводит пример человека, который может отличить группу из 10 точек от группы из 13 точек с 90-процентной точностью. Если же число точек в первой группе удвоить, так что их станет 20, то сколько точек надо включить во вторую группу, чтобы этот человек по-прежнему различал их с 90-процентной точностью? Ответ: 26, то есть в точности удвоенное значение исходного числа во второй группе.
Животные также обладают способностью сравнивать группы точек. Хотя результаты у них далеко не такие высокие, как у нас, их умениями управляют, по-видимому, те же математические законы. Это довольно нетривиальная вещь. Люди — единственные, кто обладает прекрасно развитой системой счета. Наша жизнь заполнена числами. И тем не менее, при всех наших математических талантах, когда дело доходит до восприятия и оценки больших чисел, наш мозг функционирует в точности как мозги наших пернатых и мохнатых друзей.
* * *Интуитивные человеческие представления о величинах непрерывно развивались в течение миллионов лет, и в конце концов в жизни людей появились числа. Нет возможности в точности узнать, как это произошло, но разумно допустить, что числа возникли из желания отслеживать количество самых разных вещей, таких как луна, горы, хищники или удары в барабан. Сначала, по-видимому, использовались наглядные символы, к примеру пальцы или засечки на деревяшке, находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с самими объектами, подлежащими отслеживанию, — две засечки или два пальца для двух мамонтов, три засечки или три пальца — для трех и т. д. Позднее появились слова, выражавшие идеи «двух зарубок» или «трех пальцев». По мере вовлечения все новых и новых объектов, за количеством которых надо было следить, словарный запас расширялся и появлялись новые символы для чисел, так что в конце концов — если перескочить прямо к нашему времени — мы получили полностью развитую систему точных чисел и теперь можем ни в чем себе не отказывать, если хотим что-либо посчитать. Наши способности оперировать точными числами, например возможность подсчитать, что на приведенной выше картинке имеется в точности 75 точек, как нельзя более тесно связаны с более фундаментальной способностью воспринимать подобные величины приблизительно. Мы выбираем, какой стратегии придерживаться, в зависимости от обстоятельств: в супермаркете, например, пользуемся нашими знаниями о точных числах, когда смотрим на цену продуктов. Но, решая, в какую кассу самая короткая очередь, мы используем наше интуитивное, оценочное восприятие. Мы не пересчитываем всех людей в каждой очереди — просто смотрим на имеющиеся очереди и оцениваем, в какой из них меньше людей.
На самом деле приближенный подход к числам мы используем постоянно, даже когда употребляем «точную» терминологию. Спросите людей, сколько времени они добираются работы, и чаще всего в ответе будет указан «диапазон», например, «тридцать пять — сорок минут». Как-то я заметил, что часто не в состоянии ответить на вопрос о величине чего-либо, используя только одно число. «Сколько людей было на вечеринке?» — «Двадцать-тридцать». — «Сколько времени вы там провели?» — «Три с половиной — четыре часа». — «Сколько бокалов коктейля выпили?» — «Четыре-пять, а может, и десять». Раньше я полагал, что подобные ответы просто означают, что я колеблюсь, но теперь далеко не так в этом уверен и скорее склонен думать, что таким образом я обращаюсь к своему внутреннему представлению о числе: интуитивному, животному стремлению оперировать приближениями.
Коль скоро приближенное восприятие чисел существенно для выживания, можно было бы подумать, что все люди в этом отношении должны обладать примерно одинаковыми способностями. В 2008 году психологи из Университета Джонса Хопкинса и Института Кеннеди Кригера исследовали этот вопрос на группе 14-летних подростков. В течение 0,2 секунды им показывали на экране группы из желтых и синих точек, а затем спрашивали, каких точек было больше — синих или желтых. Результаты потрясли исследователей, поскольку продемонстрировали неожиданно широкий разброс.
Некоторым испытуемым было легко зафиксировать разницу между девятью синими точками и десятью желтыми, в то же время способности других не сильно отличались от способностей младенцев — они едва были в состоянии отметить, что пять желтых точек — это больше, чем три синих.
Еще более озадачивающие результаты обнаружились, когда успехи подростков по сравниванию чисел разноцветных точек сопоставили с их оценками по математике, полученными начиная с детского сада. До того исследователи полагали, что интуитивные способности различать количество предметов не оказывают значительного влияния на то, насколько успешно данный ученик выполняет задания по решению уравнений и построению треугольников. Однако в данном исследовании выяснилось наличие сильной корреляции между способностями к оценке количества точек и успехами в формальной математике. Чем лучше ученику дается приблизительное восприятие чисел, тем выше, как оказалось, его школьные результаты. Этот результат может иметь важные последствия для развития методов образования. Если склонность к оценочному восприятию напрямую связана с математическими способностями, то тогда занятия математикой должны в меньшей степени состоять из таблицы умножения, а в большей — из отработки навыков сравнивания наборов точек.
* * *Вскоре после того, как Станислас Деэн в 1997 году опубликовал свою книгу «Чувство числа», он встретился с Пьером Пика, который тогда как раз вернулся из поездки к мундуруку. Познакомившись, они решили сотрудничать. Деэн придумывал эксперименты, которые Пика смог бы осуществить в Амазонии. Цель одного из них был очень простой: узнать, что именно индейцы понимают под словами, с помощью которых они выражают числа. Снова отправившись в тропические леса, Пика там собрал группу добровольных испытуемых. Он показывал им точки на экране и просил сказать вслух, сколько точек они видят.
