Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

(A.12)

При интегрировании, как можно представить, показатель увеличивается на единицу:

(A.13)

Забавы ради можно убедиться в этом: сначала взять производную, а потом найти от нее интеграл. Получится исходная функция.

Но есть здесь одна проблема: при a = –1 в выражении (A.13) появляется деление на ноль. Действительно, для этого случая предусмотрена отдельная формула:

(A.14)

Вертикальные черточки — это знак модуля: если значение x положительно, оно остается как есть, если же отрицательно — умножается на –1, то есть становится положительным. Функция ln x — натуральный логарифм. О них мы поговорим в следующем разделе.

Экспоненты и логарифмы

Теперь рассмотрим экспоненциальную функцию, то есть основанием является постоянная, а переменная выступает в роли показателя степени: f(x) =ax. Все очень просто. График этой функции (для а = 2) будет иметь вид:

Функция, обратная к ax, называется логарифмом (по основанию а), то есть:

(A.15)

Обычно экспонента означает быстрый рост, а логарифм, напротив, медленный рост с возрастанием x. При x = 1 логарифм всегда равен нулю, тогда как loga(a) = 1. При очень малых значениях x логарифм стремится к —∞, что объяснимо, ведь loga(x) — это «основание, которое нужно возвести в степень a, чтобы получить x», а значит, чтобы получить очень маленькое значение x, нам нужно возвести его в очень большую отрицательную степень.

В мире экспонент и логарифмов есть особое число — число Эйлера:

e = 2,71828… (A.16)

В дробной части числа e бесконечное число цифр, которые никогда не образуют повторяющихся групп. Точно так же, как в числе π = 3,14159… Это так называемые иррациональные числа, которые нельзя представить как частное двух целых чисел. Есть много способов определить число e, но, пожалуй, самый лучший из них таков: функция ex — единственная непостоянная функция, которая равна собственной производной:

(A.17)

При других основаниях производная экспоненты равна:

(A.18)

Здесь снова появляется натуральный логарифм. Теперь мы можем сказать, что он равен логарифму по основанию e:

ln(x) = loge(x). (A.19)

Мы уже видели натуральный логарифм в выражении (A.14) — формуле интеграла от функции 1/x. Если посмотреть на выражение (A.18) и вспомнить, что loga(a) = 1 при любых a, можно заметить, что при a = e неудобный множитель ln(a) исчезает, и мы получаем красивую формулу (A.17). Вот почему большинство физиков по возможности используют e в качестве основания логарифма.

Формула интеграла от логарифма так же проста:

(A.20)

Производная логарифма:

(A.21)

Интеграл от него:

(A.22)

Для тренировки попробуйте посмотреть, как изменятся эти формулы при a = e, когда ln(a) = ln e = 1.

Тригонометрические функции

И наконец, мы рассмотрим еще один набор часто используемых функций: тригонометрические функции, а именно синус и косинус. Их аргументы, как правило, представляют собой углы, а не просто реальные числа, и чтобы подчеркнуть это, мы будем использовать букву θ вместо x. Кроме того, важно сказать, что все углы мы будем измерять в радианах, а не в градусах. Сто восемьдесят градусов соответствуют π радиан. Несложно выполнить и обратное преобразование.

Мы обсуждали тригонометрические функции в главе 3, поэтому здесь мы сразу перейдем к их интересным свойствам. Теорема Пифагора показывает нам знаменитое соотношение между синусом и косинусом:

(sin θ)2 + (cos θ)2 = 1. (A.23)

Также по теореме Пифагора мы можем определить модуль (длину) вектора

(A.24)

Тогда скалярное произведение двух векторов мы можем выразить двумя равнозначными способами: через компоненты и при помощи косинуса угла между векторами:

(A.25)

Синус и косинус, что любопытно, являются производными друг друга:

(A.26)

(A.27)

Главное, не перепутать, где ставить минус. Запомнить это несложно: график cos θ начинается с единицы и направлен вниз. Значит, его производная для небольших углов будет отрицательна, что означает — sin θ. Интегралы находятся аналогичным образом. Единственное отличие — минус появляется в другом месте (что и логично, ведь интеграл — обратное действие к взятию производной).

(A.28)

(A.29)

Приложение Б. Связность и кривизна

Обсуждая геометрию (глава 7), мы рассмотрели все понятия, нужные для понимания концепции геодезических линий и уравнения Эйнштейна, не сказав при этом ни слова о том, как вывести их из какой-то произвольной метрики. Заполним пробелы. Представим себя в четырехмерном пространстве-времени и перейдем с латинских букв на греческие. Впрочем, все формулы будут работать и в обычном пространстве, и при любом количестве измерений.

Когда в главе 8 мы выводили уравнение Эйнштейна, нам потребовался скаляр кривизны Риччи, который можно получить при помощи «обратной метрики». Давайте обсудим, что это такое. Для начала введем чрезвычайно полезный тензор — дельту Кронекера, у которой есть один верхний и один нижний индекс. В четырех измерениях он выглядит следующим образом:

(Б.1)

В матричном представлении дельта Кронекера представляет собой единичную матрицу — аналог единицы в стране матриц: при умножении любой матрицы на единичную мы получаем исходную матрицу.

С учетом этого можно представить обратную метрику как тензор, который нужно умножить на исходную метрику, чтобы получить дельту Кронекера. Метрический тензор gµν представляет собой симметричный тензор с двумя нижними индексами, а значит, обратная метрика будет симметричным тензором с двумя верхними и соответствовать следующему условию:

gµλgλν = δµν. (Б.2)

Какое прекрасное зрелище! Взгляните на индексы. В формулах с тензорами они бывают двух типов: немые и свободные. Немые индексы всегда встречаются дважды: один раз вверху и один раз внизу, как λ в выражении (Б.2). Сама буква значения не имеет, важно лишь, чтобы она была и в верхней, и в нижней позиции. (Суммировать только по верхним или только по нижним импульсам нельзя.) Свободные индексы, напротив, встречаются только один раз, как µ и ν в выражении (Б.2). Мы можем выбрать любые буквы, но крайне важно, чтобы они были в каждом слагаемом (то есть произведении элементов тензоров). Именно так происходит в выражении (Б.2): верхний индекс µ и нижний индекс ν — свободные индексы, которые есть и в левой, и в правой части. Попытка сложить тензоры с несовпадающими свободными индексами ни к чему хорошему не приведет.