Josep Carrera - Трехмерный мир. Евклид. Геометрия
К тому моменту, когда Евклид стал знаменитым, многочисленные мыслители уже внесли важный вклад в развитие математики и подготовили почву для расцвета геометрии, основой которого также стали труды современников Евклида — Архимеда и Аполлония.
ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИЕ ТЕКСТЫ, ДОШЕДШИЕ ДО НАШИХ ДНЕЙ
В следующей таблице приведены результаты анализа древнегреческих математических текстов по предметам и эпохам. Примерно половина из них посвящена геометрии, на втором и третьем месте стоят астрономия и механика соответственно. Появляется также интерес к прикладной математике. Справедливо ли полагать, что чем удаленнее от нас во времени эпоха, тем меньше текстов до нас дошло? В таком случае текстов эллинистического периода должно быть больше всего. От доплатоновской и доаристотелевской эпох до нас дошли только отрывки работы Евдема по истории математики и сочинений Автолика Питанского. К сожалению, труд Евдема был утерян, и мы знаем о нем лишь частично и косвенно, из цитирующих его авторов, живших на несколько веков позже.
Дисциплина Арифметика 3 Геометрия 34 Астрономия 15 Оптика 2 Гармония (музыка) 5 Механика 10 Математическая география 1 Геодезия 2 Логистика («Задача о быках» Архимеда) а» Другие 3 Итого 75 (76) Распределение по периодам Эллинистический период (300-30 до н. э.) 21 Римский период (30 до н. э. - 300) 24 Поздний период (300-550) 20 Неизвестная датировка 10 (11)
Источник: Рамон Масиа, «Корпус древнегреческой математики с введением».
ДО ЕВКЛИДА
В своем «Комментарии» Прокл перечисляет достижения, сделанные в геометрии до «Начал». Без всякого сомнения, этот список составлен не беспристрастно (см. таблицу на стр. 32- 33): особое внимание в нем уделено работе Академии, которую Прокл возглавлял, в ущерб аристотелевскому Ликею. Текст состоит из 80 строк, и приводить его здесь полностью было бы излишне. Мы процитируем некоторые отрывки, где говорится об открытиях каждого, а также упомянем, какими знаниями они должны были располагать для того, чтобы правильно их доказать, как это делается в «Началах». Прокл пишет:
«Но поскольку приходится рассматривать начала искусств и наук применительно к данному периоду, мы говорим, что согласно свидетельству наибольшего числа исследователей геометрия впервые открыта у египтян и возникла она от измерения земельных участков, [...] как точное знание о числе возникло у финикийцев благодаря торговле и обмену. [...] Фалес, посетивший Египет, перенес в Элладу этот вид научного рассмотрения. [...] После них Пифагор перевел любовь к геометрической мудрости в разряд общеобразовательных дисциплин. [...] За ними в геометрии прославились Гиппократ Хиосский, открывший квадрируемые луночки, и Феодор Киренский, [...] Платон, стараниями которого геометрия — как и остальные науки — получила величайшее развитие. [...] Евдокс Книдский был... дружен с окружением Платона».
Математики, которые, по мнению Прокла, являются предшественниками Евклида Имя Цитата из Прокла Сведения из разных книг «Начал», которые предположительно были им известны Фалес Милетский Первым перенес в Элладу эту теорию. Многое открыл сам, а для многого указал путь последователям, представив одно более общим способом, другое — более наглядным. Определение 17 из книги 1, предложения 5,15, 26 и, возможно, 32. Предложение 12 из книги III. Пифагор Преобразовал доктрину в разряд общеобразовательных дисциплин. Рассмотрел принципы геометрии с самого начала. Исследовал теоремы умозрительно, открыл иррациональные величины и строение космических тел. Книга 1: определения 1, 3 и 6; общее понятие 5; предложения 2,17, 32, 36, 37, 45 и 47. Книга II: предложения 14 и 20. Книга III: предложения 11 и 14. Книга IV: предложения 11,12 и 15. Книга VI: предложения 25, 28, 29 и 31. Книга VII: определения 3, 4, 5,11 и 13. Энопид Касался многих геометрических вопросов и многим дал наилучшее решение с использованием линейки и циркуля. Книга 1: постулаты 1, 2 и 3, предложения 12 и 23. Гиппократ Открыл квадрируемые луночки. Написал свои «Начала». Использовал метод сведения в задаче об удвоении куба. Книга 1: предложения 9,10,11, 12,18,19, 20, 23, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 45 и 47. Книга II: предложения 6,12,13 и 14. Книга III: определение 11; предложения 3, 20, 21, 22, 26, 27, 28, 29, 30 и 31. Книга IV: предложения 5, 9,15. Книга VI: предложения 19 и 20. Книга VII: предложение 2. Книга XIII: предложение 12. Феодор Знаменитый геометр. Результаты книги II или 1, предложение 47. Платон Математические науки получили его стараниями величайшее развитие. Его математические рассуждения пробуждают восторг в философах всех времен. Ледамант, Архит и Теэтет Жили в одно время с Платоном. Благодаря им появились новые теоремы и геометрия стала более научной. Результаты книг X и XIII. Леонт Составил свои «Начала» и нашел условия, при каких некоторые задачи могут быть разрешены и при каких нет. Евдокс Увеличил число так называемых общих теорем и, воспользовавшись результатами Платона о сечениях, разработал множество их видов. Книга V:определения 4 и 5 и общие предложения. Книга X: предложения 1 и 2. Книга XII: предложения 5,6, 7 и 10. Менехм и Динострат Первый был учеником Евдокса, второй известен как его брат. Сделали геометрию еще более совершенной. Филипп из Менде Работал под руководством Платона. С ним геометрия достигла зрелости.
Сочинение Прокла написано под явным влиянием «Истории геометрии» Евдема Родосского и неоплатонизма. В нем не указаны имена астрономов — последователей Евдокса, не упоминаются перипатетики и сам Аристотель, а также Аристей Старший, который, возможно, был отцом учения о конических сечениях и геометрических местах. В нем нет Гиппаса из Метапонта и Филолая, нет софистов Антифонта, Брисона и Гиппия Элидского, нет атомистов Парменида, Зенона и Демокрита и даже Автолика Питанского, наконец, в комментариях не сказано ни слова об ученых-арифметиках. И все же этот текст заслуживает пристального внимания.
Фалесу и Пифагору различные авторы приписывают одни и те же достижения, а в случае с Гиппократом мы опираемся на свидетельство римлянина Симпликия, в свою очередь ссылающегося на «Историю геометрии» Евдема.
ГЛАВА 2
Структура «Начал»
Не меньшее значение, чем содержание, имеет структура «Начал»: Евклид отталкивается от краткого списка гипотез и переходит к дедуктивному доказательству многочисленных предложений. Такой подход сообщает этому произведению основательность, кажущуюся непогрешимой. Однако этот крепкий фундамент евклидового здания состоит в том числе и из кирпичиков общих представлений о математике, восходящих к философии Платона и Аристотеля.
«Начала» являются прямым наследием философии Платона и Аристотеля. По Платону, материальные объекты также являются идеальными, то есть существуют в мире идей. Аристотель возражал против этого, и можно утверждать, что текст Евклида написан под влиянием Аристотеля. И все же платоновская философия математики особо изучалась в Академии, о чем свидетельствует надпись над входом: «Да не войдет сюда не знающий геометрии».
Мы же ограничимся комментарием к аналогии разделенной линии, о которой Платон пишет в шестой книге «Государства» (см. схему на следующей странице). Существуют три воплощения предмета «кровать»: «кровать, созданная Богом», «кровать, сделанная плотником» и «кровать, нарисованная художником». «Бог, — говорит Платон, — желая быть истинным создателем истинно существующей кровати, [...] создал ее по природе своей единственной». Плотник же делает копии. А художник копирует плотника, но не «настоящую кровать».
