Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Решение Шварцшильда

Шварцшильд пытался найти аналог закона обратных квадратов Ньютона, который действует в Солнечной системе. В общей теории относительности этот процесс сводится к решению уравнения Эйнштейна для метрики пустого пространства вокруг изолированного сферического тела, такого как Солнце. Именно геодезические метрики позволяют нам судить о планетных орбитах, отклонении света и других следствиях общей теории относительности. Возможно, было бы достаточно лишь показать решение Шварцшильда во всей его красе, после чего приступить к обсуждению выводов, которые можно сделать на его основе. И все-таки гораздо интереснее пройти весь путь вслед за Шварцшильдом, проследить его основные вехи, продемонстрировать, как физики-теоретики решают схожие проблемы.

Мы знаем, что метрика плоского пространства-времени Минковского в декартовых координатах (t, x, y, z) имеет вид:

(9.1)

Как и раньше, мы опускаем нулевые внедиагональные элементы, но помним о них.

В метрике искривленного пространства-времени некоторые (или, возможно, все) элементы gµν будут функциями некоторых (или, возможно, всех) координат. Похоже, что скоро все станет ужасно сложным. Но нам поможет тот факт, что интересная нам физическая система (пространство вне сферического тела) должна быть сферически симметричной. В практическом смысле нам следует ожидать, что метрика будет зависеть от расстояния от начала координат,

Поэтому прежде всего нам следует перейти из декартовой системы координат (x, y, z) к сферической (r, θ, φ). Мы уже знаем метрику плоского пространства Евклида в этих координатах: выражение (7.12). Несложно перейти от него к метрике пространства-времени Минковского с координатами (t, r, θ, φ):

(9.2)

Мы просто заменили пространственную часть метрики новой, зависящей от сферических координат. Обратите внимание: мы все еще говорим о плоском пространстве-времени Минковского, в котором нет гравитации. Мы просто привели метрику к виду, с которого нам удобно начать решение задачи.

В сферической системе координат нам нужно выяснить лишь то, как метрика зависит от радиальной координаты r, так как зависимость от угловых координат (θ, φ) четко определяется сферической симметрией. Выходит, что метрика вообще не будет зависеть от φ, а θ будет влиять на нее через множитель (sin θ)2 в правом нижнем элементе gφφ. Есть и другие упрощения. Одно из них заключается в том, что мы ищем статическое решение, то есть считаем пространство-время полностью неизменным во времени. Поэтому элементы метрики не будут зависеть от t. Также для простоты мы пока что не будем использовать внедиагональные элементы: пусть они остаются нулевыми.

Вас могут озадачить все эти догадки. Такой подход действительно кажется ненаучным, но речь ведь идет о решении уравнения, так что попытка предугадать результат вполне законна. Мы стремимся найти не все решения уравнения Эйнштейна, а лишь одно из них, описывающее конкретный случай. В конце концов, если догадки позволят нам отыскать подходящие тензоры Римана и Риччи, любые ухищрения, к которым мы прибегнем для этого, перестанут иметь значение.

И наконец, внимательно глядя на выражение (9.2), подумаем о том, что говорят нам коэффициенты r2. Они показывают, что физические расстояния в угловых направлениях пропорциональны квадрату радиуса. И в этом скрыта хитрая особенность общей теории относительности: выбор системы координат и поиск метрики в ней — не две задачи, которые мы решаем одну за другой, а два параллельных процесса. Координаты не имеют никакого смысла, пока его не придаст им метрика, тогда как ее элементы имеют смысл лишь в какой-то системе координат.

Следовательно, мы можем просто заявить, что «r2» есть, по определению, «величина, входящая в состав угловых элементов gθθ и gφφ метрического тензора», а r, в свою очередь, есть такое число, при котором площадь произвольной сферы равна A = 4πr2, а длина произвольной окружности — C = 2πr. При этом нам не потребуется решать задачу в общем виде, то есть считать элементы метрики какими-то произвольными функциями. Мы сразу будем полагать, что gθθ = r2, а gφφ = r2(sinθ)2, как уже и значится в выражении (9.2). Кроме того, в статических, сферически симметричных условиях r будет иметь какое-то фиксированное значение [28].

В итоге мы получаем метрику следующей формы:

(9.3)

Неплохо. Хитроумные, но чисто интуитивные догадки привели нас к довольно простой метрике, в которой неизвестны всего две функции одной переменной: A(r) и B(r).

Увы, хитроумие нам больше ничем не поможет. С этого момента нам, а фактически Шварцшильду, придется смириться с судьбой и вычислить сначала тензор Римана, а затем тензор Риччи. Здесь мы опустим всю эту математику, направив интересующихся к приложению Б, в котором описаны все нужные инструменты. Всем остальным просто сообщаю, что найти все члены левой части уравнения Эйнштейна возможно. Полученные выражения будут зависеть от A(r) и B(r), а также их производных по r.

Теперь нужно определить, что происходит в правой части уравнения Эйнштейна, то есть подумать о тензоре энергии-импульса. И здесь нас ждет хорошая новость: мы ищем метрику пространства-времени вне обладающего гравитацией тела, а это значит, что пространство пусто, а Tµν = 0. По-настоящему сложные вещи творятся внутри этого тела, но в нашем случае пространство-время лишь искривляется рядом с ним.

Шварцшильд проделал все эти расчеты, которые показались ему несложными (что и неудивительно для человека с таким высоким уровнем интеллекта). И вот как в итоге выглядят функции A(r) и B(r):

(9.4)

Другими словами, полная метрика Шварцшильда имеет вид:

(9.5)

Или в форме линейного элемента:

(9.6)

Великолепно, не правда ли? Мы получили точное решение уравнения Эйнштейна для пустого сферически симметричного пространства. Более того, путем искусных математических построений можно показать, что то, к чему мы пришли наполовину путем догадок, на самом деле единственно возможная метрика, при которой уравнение Эйнштейна выполняется в данных условиях. Вы можете возразить: а как же метрика Минковского? Ведь это еще одно возможное решение. Действительно, это так. Но метрика Минковского лишь частный случай решения Шварцшильда: достаточно подставить M = 0 в выражение (9.5) или (9.6).

Несколько слов о константах в формуле Шварцшильда. G — это, конечно же, гравитационная постоянная Ньютона, а M — масса объекта, гравитацию которого мы рассматриваем. Но если подойти к вопросу педантично, можно увидеть, что М не обязано быть массой, поскольку метрика (9.5) соответствует уравнению Эйнштейна при любых М. Но понимая это, мы можем решить, что M будет массой, и подтвердить свой выбор путем сравнения с ньютоновским пределом или аналогичными вещами. И в данном случае все действительно так. Однако нам следует помнить о том, что решения, принятые в силу их очевидности, обычно зависят от наших теоретических предпосылок и могут измениться при обновлении теорий, положенных в их основу.