Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Геодезические линии

В начале главы 3 мы думали, как провести прямую линию между двумя деревьями. Можно натянуть между ними веревку, а можно просто идти от одного к другому. В обоих случаях мы получим одну и ту же прямую. Все то же самое можно проделать и на любом искривленном многообразии в геометрии Римана, хотя построенная линия вряд ли будет прямой. К примеру, на сфере мы получим большой круг или его дугу.

Линия между двумя точками, при движении по которой мы проходим минимальное расстояние (или затрачиваем максимум собственного времени, если речь идет о пространстве-времени), называется геодезической. Такие линии описываются формулами (см. приложение Б), которые можно вывести примерно так же, как делалось в главе 3 при обсуждении принципа наименьшего действия. Тогда мы говорили о пространстве путей, по которым может пройти частица, связывали с каждым из них какое-то количество действия и находили такой, на котором оно минимально (а производная действия в пространстве путей равна нулю). При поиске геодезических линий мы будем действовать точно так же, но вместо действия будем минимизировать длину кривой.

Геодезическая линия — это не только кратчайший путь: она во всех отношениях ведет себя, как прямая. Например, при движении по ней работает параллельный перенос вектора. Рассмотрим траекторию, которая представляет собой последовательность точек с параметром, позволяющим определить местоположение вдоль нее. Например, мы можем использовать формулу xi(t), где xi — координаты в соответствующем количестве измерений (сколько бы их ни было), а t — параметр, определенный вдоль траектории. (Часто таким параметром действительно служит время, но здесь буква t лишь удобное обозначение.) Тогда можно определить вектор скорости vi = dxi/dt, который направлен по касательной к траектории по ходу движения. Его длина показывает, как быстро мы перемещаемся.

А что значит «сохранять направление движения»? Это когда положение вектора скорости относительно траектории не изменяется, то есть осуществляется параллельный перенос этого вектора. Поэтому можно дать еще одно определение геодезической линии: это путь, при движении по которому вектор скорости остается параллельным начальному вектору скорости. Выходит, что параллельный перенос вектора связан с метрическим тензором: кривые, на которых возможен параллельный перенос, имеют минимальную длину.

Кривизна

Итак, к чему мы пришли? Метрический тензор — самая базовая геометрическая структура многообразия. Он позволяет определять длины траекторий, находить площади и объемы многомерных областей пространства и вычислять скалярные произведения векторов. Он говорит нам, как выполнять параллельный перенос векторов вдоль кривой: мы выяснили, что для этого нужны геодезические линии — кратчайшие пути между точками. Именно параллельный перенос позволит нам сложить последнюю часть головоломки: полностью кривизну пространства.

Сфера и гиперболическая плоскость — это самые простые искривленные многообразия, кривизна которых одинакова во всех точках и направлениях. Для более сложных случаев хотелось бы придумать способ надежно определять кривизну в любой точке многообразия. Мы уже поняли, что метрика не слишком подходит для этой цели, поскольку зависит от выбранной системы координат и при одной и той же геометрии может быть проще или сложнее. Нужная нам величина (возможно, тензор) должна однозначно показывать кривизну пространства и принимать нулевое значение при ее отсутствии.

При параллельном переносе вектора по двум разным траекториям итоговый вектор не совпадает с исходным. Мы уже видели это на примере сферы, когда переносили вектор с экватора на полюс. Аналогичным образом, если начать движение с полюса, дойти до экватора, переместиться вдоль него, а затем вернуться на полюс, направление вектора также изменится. Это очень важный момент: параллельный перенос по замкнутому контуру, как правило, не позволяет сохранить исходный вектор. По крайней мере в искривленных пространствах.

Мы можем использовать это наблюдение для оценки кривизны: на плоских множествах при параллельном переносе по замкнутому контуру вектор сохраняет направление, на искривленных — отклоняется на какой-то угол.

Однако проблема в том, что замкнутых контуров очень много и описать поведение векторов на них едва ли реально. Поэтому мы должны выбрать какой-то ограниченный набор характерных контуров, которые несложно описать в численном виде.

И здесь нам на помощь придет уже ставший привычным прием: мы будем мыслить бесконечно малыми величинами и применять высшую математику. Такой подход к изучению пространств с произвольной кривизной называется дифференциальной геометрией.

Представим себе два вектора,

и , исходящие из одной точки p. Начиная из этой точки, сместимся на бесконечно малое расстояние в направлении , а затем на бесконечно малое расстояние в направлении . (Технически мы перемещаемся на расстояние, пропорциональное длине этих векторов.) После этого мы вернемся в исходную точку, сначала сместившись в направлении, обратном , а затем в направлении, обратном . Таким образом мы получили бесконечно малый замкнутый контур, который имеет форму параллелограмма [23].

Чтобы определить такой контур, не требуется много данных: нужны всего два вектора и точка. Чтобы измерить кривизну, возьмем еще один, третий вектор

, который также исходит из начальной точки. В результате параллельного переноса по контуру мы получим новый вектор . На плоском многообразии старый и новый векторы совпадут: , на искривленном же будут немного отличаться друг от друга. Поэтому мы можем найти их разность:

(7.20)

Именно так мы будем определять кривизну в любой точке произвольного многообразия. Построив контур при помощи двух векторов и выполнив параллельный перенос третьего вектора, мы получим итоговый вектор, который покажет нам, как сильно искривлено пространство. На почти плоских множествах он будет очень мал, на сильно искривленных — относительно велик.

Иными словами, мы получили отображение множества из трех векторов

на четвертый вектор, . Мы уже знаем, что такие отображения называются тензорами. В данном случае перед нами тензор кривизны Римана: на его вход поступают два вектора, определяющие контур, и вектор для параллельного переноса, на выходе образуется четвертый вектор, который показывает кривизну на этом контуре.

Можно подумать, что вычислять изменение вектора, циркулирующего по контуру в каждой точке пространства, — громоздкая и сложная задача. Но нам на помощь приходит «магия» тензоров. Представим все вектора в виде их компонентов: Ui, Vi и т. д. Число компонентов i равно размерности исследуемого многообразия.