Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной - Кэрролл Шон

Отличительной особенностью геометрии Евклида является система аксиом. Мы принимаем набор постулатов — аксиом, — которые служат логической основой для доказательства теорем, то есть утверждений типа «если эти аксиомы верны, то верен и вот этот вывод». Соглашаясь с такой логической основой (хотя, разумеется, это не обязательно; например, у философов есть к ней вопросы), мы считаем теоремы доказанными.

Такой подход сильно отличается от принятого в других науках, эмпиричных и склонных к фальсификациям, в которых любая теория может оказаться неверной, сколько бы доказательств не было приведено в ее подтверждение. Ученые выдвигают гипотезы о свойствах нашего мира и проверяют их по фактическим данным. От результатов проверки зависит то, как принимаются эти гипотезы. Нельзя быть до конца уверенными в том, что они верны, поскольку в будущем могут быть собраны новые данные, которые все опровергнут. Но в геометрии, да и в целом во всей математике и логике, все очень четко: если верны аксиомы, будут верны и теоремы [19].

По большей части аксиомы Евклида — это разумно звучащие утверждения, которые имеют смысл как основы для геометрии. Взять, например, «между любыми двумя точками можно провести прямую» или «все прямые углы равны». Но есть одна, которая всегда выделялась на фоне других. Это так называемый пятый постулат Евклида — аксиома параллельности. Если построить на плоскости две изначально параллельные прямые, например проведя их через концы какого-то отрезка под прямым углом к нему, эти прямые всегда будут отстоять друг от друга на одинаковое расстояние. (На самом деле Евклид сформулировал свой постулат так: «И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых [углов], то, продолженные неограниченно, эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых».)

С учетом наших представлений о плоскостях все это кажется очень разумным. (Математики видят плоскости, уходящие в бесконечность во всех направлениях, обычные люди могут вообразить себе стол или лист бумаги.) Однако нельзя отрицать, что эта аксиома выглядит несколько неуклюже по сравнению с другими. В течение многих лет геометры думали, что можно доказать аксиому параллельности, используя другие постулаты Евклида, то есть перевести ее в разряд теорем. Когда я проходил геометрию в старших классах, учитель шутил над нами, предлагая дополнительные баллы тем, кто справится с этой задачей. Однако никто из нас так и не преуспел.

Неевклидова геометрия

Я не хочу так шутить. Доказать аксиому о параллельности другими аксиомами Евклида не представляется возможным. Мы знаем это, поскольку заменив этот постулат другим и добавив его к остальным аксиомам, можно получить новый, альтернативный, но полностью состоятельный вариант геометрии.

Такие геометрии по понятным причинам логично названы неевклидовыми.

Легко представить себе этот «другой» постулат. Если Евклид утверждает, что две изначально параллельные прямые не пересекаются, значит, нам нужно сказать, что это не так. И здесь есть два варианта: прямые могут сходиться или же расходиться.

Не беспокойтесь о том, что настоящие параллельные прямые линии ведут себя по-другому. Мы слишком сильно привыкли к учению Евклида о геометрии плоскостей и аналогичных объектов. Плоскости плоские, у них нет кривизны. Альтернативные аксиомы будут работать в иных двумерных пространствах, где кривизна есть.

Это совсем не означает, что неевклидовы геометрии полностью абстрактны и гипотетичны. Ведь существуют двумерные формы, отличные от плоскостей. Например, можно задаться вопросом: что будет с параллельными прямыми на сфере? (При этом нас интересует только поверхность сферы, а не то, что у нее внутри.)

Возможно, вы спросите о том, как можно нарисовать прямую на сфере? Ведь то, что на сфере можно провести, не будет прямой. Пока что просто подумайте о больших кругах или их фрагментах. Большой круг — это замкнутая кривая, которая образуется при пересечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр. Например, это экватор или меридианы (но не параллели!). Однако мы можем представить себе большие круги, наклоненные под любым углом.

Итак, рассмотрим отрезок экватора и две прямые, идущие из его концов на север под прямым углом. Пусть они будут как можно более прямыми, то есть большими кругами. Как к этому ни относись, они встретятся: в данном случае на северном полюсе.

При переходе от плоскости к сфере меняются и другие любимые нами свойства геометрии Евклида. Рассмотрим окружность с радиусом r и центром на северном полюсе. Как видно из рисунка, длина этой окружности будет меньше 2πr, а площадь круга, который она ограничивает, — больше πr2. (Если радиус дойдет до южного полюса, то периметр будет равен нулю.) К тому же сумма внутренних углов треугольника, как правило, больше 180°. Например, можно построить треугольник с тремя прямыми углами, соединив отрезки длиной по четверти длины трех больших кругов. Евклид, должно быть, переворачивается в могиле.

Бывают ли расходящиеся параллельные прямые? Конечно. Нарисовать их немного сложнее. Для этого нужно взять поверхность в форме седла или картофельного чипса.

На таких поверхностях свойства окружностей и треугольников снова меняются, но в противоположную сторону: длина окружности радиусом r будет меньше 2πr, площадь круга — больше πr2, а сумма углов треугольника — меньше 180°.

В обоих случаях можно заметить важное правило, которое упрощает нам жизнь: любые геометрические свойства двумерного пространства одинаковы во всех его точках и направлениях. Если мы проведем параллельные прямые из концов отрезка определенной длины, они будут сходиться либо расходиться со скоростью, независимой от его местоположения и ориентации. Технически это связано с тем, что мы рассматриваем геометрию постоянной, а не переменной кривизны. Но, разумеется, мы скоро откажемся от таких упрощений — удобной посадочной площадки на карусель, которая начнет кружить нас с бешеной скоростью.

При постоянной кривизне поверхности возможно всего три варианта геометрии двумерного пространства — в них параллельные прямые остаются параллельными, сходятся или расходятся:

• Остаются параллельными: геометрия Евклида, нулевая кривизна.

• Сходятся: сферическая (или эллиптическая) геометрия, положительная кривизна.

• Расходятся: гиперболическая геометрия, отрицательная кривизна.

Взгляд снаружи и взгляд изнутри

Впервые о неевклидовой геометрии заговорили только в начале XIX века, через две тысячи лет после Евклида. Основные идеи гиперболической геометрии независимо друг от друга высказали Николай Иванович Лобачевский в России и Янош Бойяи в Венгрии. Может показаться странным, что гиперболическая геометрия появилась раньше сферической и что на это потребовалось столько времени. Неужели так сложно нарисовать геометрические фигуры на сфере?

Обе странности частично объясняют друг друга. Конечно, все знали о сферах, рисовали на них окружности и углы. Однако никто не думал о том, что нужно изобретать для этого целую новую геометрию. Двухмерная сферическая поверхность как совокупность всех точек, удаленных от центра на расстояние R, считалась органичной частью трехмерной геометрии Евклида, которая превосходно описывала все свойства сферы.