Jose Santonja - Физика учит новый язык. Лейбниц. Анализ бесконечно малых.
Если соединить две триграммы всеми возможными способами, получаются 64 возможные гексаграммы, образованные шестью линиями. Хотя Буве думал, что это было создание самого Фу Си, именно китайский философ Шао Юн (1011-1077) придал гексаграммам вид, напоминающий двоичную систему На следующем рисунке мы можем увидеть некоторые из гексаграмм. Хотя китайцы не знали нуля, если рассматривать пунктирную линию как нуль, а непрерывную — как единицу, мы можем увидеть первые зашифрованные двоичные числа.
Так можно обозначить двоичные числа от 0 до 63. Достаточно назначить гексаграмме двоичный код и превратить его в десятичное число. Например, гексаграмма на следующем рисунке обозначала бы число:
101001(2= 1·25 + 0·24+1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·2° = 32 + 8+1 =41.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАПИСЬ
Обычно мы воспринимаем вещи, которые знаем с детства, так, словно они были всегда. Кажется, что интернет, мобильные телефоны, компьютеры и телевидение существуют уже давным- давно, хотя многие из нас жили еще в те времена, когда их еще не изобрели. С символами, используемыми в науке, происходит то же самое. Мы привыкли писать и совершать операции с числами и функциями, используя символы, которые, кажется, были всегда. При этом, например, арабские цифры, сопровождающие нас в повседневной жизни, более "новые" для нашей культуры, нежели римские.
В XVI и XVII веках одной из сложностей для обмена результатами исследований или понимания разработок других ученых было именно отсутствие четкой и унифицированной записи.
Символы + и - для операций сложения и вычитания начали применяться только в XV веке в Германии. После этого еще довольно долго в некоторых странах, например в Испании, продолжали работать с символами ~р и ~т (начальные от plus и minus). Использование знака х для умножения приписывается Отреду, изобретателю логарифмической линейки.
Черта для обозначения деления считается арабским изобретением, а Фибоначчи (ок. 1170 — ок. 1250) распространил его по Европе. Любопытно, что только в XIX веке английский математик Огастес де Морган (1806-1871) начал использовать вариант α/b, исходя из интересов книгопечатания, поскольку в изданиях выражение
a/b
занимает три строчки, в то время как предыдущее — только одну.
Ньютон был первым, кто применил степени для представления дробей и корней. Так, он использовал а-1 для обозначения
1/a
и а3/5 — для 5√а3. Символ √ для корней — как деформация буквы r — начал использоваться в XVI веке.
Англичанин Роберт Рекорд (1510-1558) первым ввел символ =, поскольку считал, что нет ничего более равного, чем две параллельные линии. Однако потребовался почти век, чтобы этот знак приняли в качестве распространенного символа. Декарт, например, пользовался символом ∞ (у его символа раскрытие было слева). Символы < и > для обозначения меньшего и большего появились только в начале XVII века благодаря англичанину Томасу Хэрриоту (1560-1621).
Другим важным элементом вычисления было понятие функции. Французу Николаю Орезмскому приписывают авторство примитивного понятия функции, которую он определял так: "Все, что варьирует, вне зависимости от того, можно ли это измерить, можно вообразить в виде непрерывной величины, представленной отрезком". Именно Декарт начал работать с данным понятием как с отношением между двумя переменными, которое можно представить в виде кривой. С него, кстати, пошла традиция пользовался первыми буквами алфавита для обозначения констант и последними — для переменных, как мы это делаем и сегодня.
Первое ясное представление о функциональном отношении появилось благодаря шотландцу Джеймсу Грегори, который указывал, что переменная зависит от нескольких выражений, если ее можно получить из них с помощью любой вообразимой операции.
ЗАПИСЬ ЛЕЙБНИЦА
Лейбниц очень осторожно относился к выбранной записи и посвящал много времени ее совершенствованию. Он был первым, кто начал использовать точку (·) для обозначения действия умножения, поскольку символ х можно перепутать с переменной.
Лейбниц также был первым, кто стал использовать символ : для деления — из тех же соображений, которыми позже руководствовался Морган. Он писал:
"а, деленное на b, обычно обозначают
a/b
однако очень часто предпочтительно избегать этого и продолжать в том же абзаце, воспользовавшись вставкой двух точек; то есть
а : b обозначает а, деленное на b".
Швейцарец Иоганн Генрих Ран за несколько лет до этого применил знак для обозначения деления. Данный символ прижился в Англии и используется в англо-саксонских странах, в то время как в большинстве других стран принято обозначение Лейбница.
Лейбниц также был первым человеком, употреблявшим слово функция в своих работах, хотя это еще было не то же самое понятие, которое подразумеваем мы. Именно Иоганн Бернулли первым использовал это слово и дал ему конкретное определение: "Функция переменной определяется как величина, состоящая неким образом из переменной и констант"; под "неким образом" предполагается как "алгебраически", так и "трансцендентно". Кроме того, он был первым, кто использовал слова константа, переменная и параметр.
Лейбниц начал пользоваться аббревиатурой omn для вычисления интеграла. Это слово применял Кавальери, оно происходит от латинского omnia lineas (все линии), поскольку площадь интеграла складывается из множества линий, являющихся неделимыми. В рукописи 1675 года Лейбниц решил заменить omn символом, который мы используем сегодня: ∫. Однако впервые слово интеграл ввел Якоб Бернулли — в первой статье, где был представлен его анализ (напечатана в "Актах ученых" в 1690 году).
Лейбниц выяснил, что omn увеличивает свое значение, поскольку происходит сложение, а обратная ей операция — нахождение производной — должна вести к уменьшению. Можно сказать, что отп суммировались, а обратная операция вычиталась, поэтому для обозначения разности во второй операции ученый использовал символ d. Изначально Лейбниц ставил d в знаменателе. Он писал: "Это получается обратным вычислением. Предположим, что ∫l = уа. То есть
l = yα/d.
тогда точно так же, как ∫ растет, d уменьшается в размерах". Позже Лейбниц уже помещал d в числитель.
В первой статье об анализе 1684 года уже присутствовал символ d для обозначения дифференцирования, а во второй статье 1686 года появился символ ∫ и даже dx внутри интеграла.
НОВЫЙ ГЕРЦОГ
С тех пор как в 1676 году Лейбниц стал советником дома Брауншвейг-Люнебург при ганноверском дворе, он тратил много сил на службу герцогу во всем. Ученый предлагал много проектов тем, кто, как он считал, могли ими заинтересоваться. Он пользовался свободой и поддержкой в занятиях, которые казались ему интересными. Кроме того, поездки, связанные с выполнением поручений герцога, позволяли Лейбницу общаться с учеными, техниками, теологами и философами из разных стран.
В июне 1698 года после затяжной болезни умер Эрнст Август, за время правления которого герцогство Брауншвейг- Люнебург стало курфюршеством. Герцога сменил его сын Георг Людвиг, позже ставший королем Великобритании Георгом I. Отношения Лейбница с новым покровителем не были столь теплыми, как с его отцом и дядей. Наоборот, они были натянутыми до такой степени, что когда Георг переехал в Англию, он не позволил Лейбницу отправиться с ним, вынудив его остаться на континенте.
ГЛАВА 4
Гений не только в математике
В XVII веке еще существовали виртуозы, которые разрабатывали великие идеи как в теории, так и на практике, обладая очень широким кругом интересов. Одним из таких ярких примеров является Лейбниц, пионер геологии и палеонтологии — наук, которые только зарождались. Кроме того, он вложил весь свой гений в механику, особенно в динамику, изучая силы, влияющие на движение.
Курфюрст Эрнст Август скончался 23 июня 1698 года, и к власти пришел его сын Георг Людвиг. Лейбниц сохранил свою должность, и хотя вначале казалось, что ничего не изменилось, постепенно стало ясно: отношения с новым курфюрстом у ученого не сложились. Георг Людвиг никогда не поддерживал разнонаправленную деятельность Лейбница.
Основной работой ученого по-прежнему было написание истории правящей династии герцогства Брауншвейг-Люнебург, но даже спустя восемь лет ощутимых результатов все еще не было. Хотя Лейбниц постоянно сообщал о том, какие места он посетил и какие действия предпринял, курфюрст всегда оставался недоволен. В письме своей матери Софии герцог жаловался на то, что он никогда не знает, где находится Лейбниц, и что тот всегда говорит о каких-то несуществующих книгах, над которыми работает.
В 1698 и 1700 годах Лейбниц издал два тома не публиковавшихся ранее немецких исторических хроник под названием Accessaries historicae. Он также опубликовал первое собрание документов из герцогской библиотеки.
