Антонио Дуран - Истина в пределе. Анализ бесконечно малых
Принцип достаточного основания, в свою очередь, гласит, что «ни одно явление не может оказаться истинным или действительным, ни одно утверждение — справедливым без достаточного основания, почему именно дело обстоит так, а не иначе». Здесь основание понимается как повод, а не как логическая необходимость. Принцип достаточного основания позволил распутать клубок причин и прийти к первопричине и источнику предустановленной гармонии — к Богу. (Лейбниц имел склонность к поиску более или менее логичных доказательств существования Бога.)
Согласованность и универсальность философских взглядов Лейбница снова обнаруживается в применении принципа непрерывности к переселению народов. Лейбниц рассуждал так: если мы признаем, что человеческий язык развивается непрерывно, то любое отсутствие непрерывности будет соответствовать очередному этапу миграции населения.
ЛЕЙБНИЦ И БРАКВ вопросах любви, как и во многих других, Лейбниц не отличался столь пуританским характером, как Ньютон. Известно, что в возрасте 50 лет он подумывал о браке, но его избранница размышляла дольше положенного времени, и Лейбниц утратил интерес к супружеству. Эту историю рассказывал Фонтенель, хотя впервые о ней поведал Экхарт — секретарь и первый биограф Лейбница. Позднее многие математики при случае в шутливой форме вспоминали об этой истории. Например, Лагранж писал Д’Аламберу: «Не знаю, верно ли я провел расчеты или нет, скорее, я не рассчитывал ничего, иначе уподобился бы Лейбницу, который размышлял об этом слишком много и никак не мог решиться. Как бы то ни было, признаюсь вам, что никогда не испытывал желания жениться и никогда не сделал бы этого, если бы меня не заставили обстоятельства».
Похороны Лейбница
Похороны Лейбница, умершего 14 ноября 1716 года, также отличались от похорон Ньютона. Возможно, это было вызвано непростыми отношениями Лейбница с Георгом Брауншвейгским, которые ухудшились после смерти в 1705 году его сестры Софии Шарлотты, тогдашней королевы Пруссии, и после смерти матери герцога в 1714 году.
Лейбниц возвратился в Ганновер в середине того же года, проведя более полутора лет в Вене, когда Георг унаследовал британский престол. Лейбниц хотел последовать за своим покровителем в Англию — именно в тот период спор с Ньютоном о первенстве был как никогда ожесточенным. Поэтому Лейбницу хотелось находиться в стране, где его считали врагом, будучи членом королевского двора (чего опасались сторонники Ньютона), и он несколько раз пытался получить в Англии должность историографа.
Хотя Лейбниц в 1700 году блестяще провел дело о праве герцога Брауншвейгского на английский престол, Георг I не хотел, чтобы его придворный историк отвлекался на споры об анализе бесконечно малых, оставив без внимания составление королевской родословной. Поэтому он повелел Лейбницу остаться в Ганновере, что было для него равносильно изгнанию, и практически заключил его под домашний арест, запретив ему в 1715 году длительные поездки и лишив жалования за два с половиной года, поскольку Лейбниц слишком долго находился в Вене. Король был непреклонен: он повелел Лейбницу завершить родословную его династии, носившую название Anuales Imperti Occidentis Brunsvicensis. Этот труд так и не был доведен до конца и, как признавался Лейбниц, был для него сродни сизифовому труду.
Лейбниц был похоронен без почестей, под песнопения, исполненные детским хором, в кругу ближайших родственников и друзей. На похоронах не появился ни один из членов королевского двора, хотя в те самые дни король со своей свитой были на охоте в соседнем поместье. Больше полувека его могила простояла без надписи. Об этом не позаботился ни единственный племянник ученого, который получил от него в наследство хорошее состояние, ни Брауншвейгская династия, которой он верой и правдой служил много лет.
Глава 5.
Спор о первенстве
В этой главе мы расскажем о долгом и неприятном споре между Ньютоном и Лейбницем, а также их сторонниками о том, кто же первым открыл анализ бесконечно малых.
Следует вкратце рассказать, чем отличались варианты математического анализа, предложенные Лейбницем и Ньютоном. Так мы лучше сможем оценить, насколько концептуальными были различия между ними.
Начиная с 1666 года Ньютон рассматривал кривые (флюенты) как результат движения точки. Тогда же он сформулировал понятие флюксии — производной по времени. Отметим, что флюксия флюента в данный момент времени (иными словами, мгновенная скорость) — это число. Он разработал алгоритмы вычисления флюксий, эквивалентные современным правилам нахождения производной для сумм, разностей, произведений и дробей, а также показал, что для расчета площади области, ограниченной кривой, достаточно вычислить флюент флюксии. Говоря современным языком, это означает, что нужно найти первообразную функции и применить основную теорему анализа. Именно здесь используются степенные ряды: в соответствии с нынешней терминологией, для расчета флюента флюксии последняя раскладывается в степенной ряд, после чего выполняется почленное интегрирование по правилу нахождения интеграла степенной функции.
Лейбниц, напротив, рассматривал кривые как ломаные линии из прямых отрезков бесконечно малой длины, а касательные — как продолжения этих отрезков. Он полагал, что геометрия кривой, описанная формулой, которой задается кривая, определяет дифференциалы аргумента и функции. Он также «определил» понятия дифференциала и интеграла, точнее говоря, описал их особенности, в отличие от Ньютона, который рассматривал дифференциал функции как бесконечно малую величину. Он доказал, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями, то есть доказал основную теорему анализа и описал процесс вычисления дифференциалов (сформулировал правила вычисления производных), а также вычислил производные элементарных функций. Производные элементарных функций Лейбниц описал в намного более символическом виде, чем Ньютон: Лейбниц отдавал предпочтение свернутым выражениям, а не разложениям в ряд.
Важной особенностью методов Лейбница является то, что он всегда разделял открытие разложения в степенной ряд и открытие анализа бесконечно малых. Открытие разложения в степенной ряд он неизменно приписывал Ньютону, в то время как вокруг анализа бесконечно малых развернулась нешуточная борьба. Лейбниц считал, что первенство принадлежит ему, и полагал, что Ньютон совершил свое открытие, используя письма Лейбница, написанные им в ответ на Epistolae prior и Epistolae posterior. Ньютон же настаивал на том, что оба открытия неразделимы, и утверждал, что Лейбниц, узнав от него о способе разложения в ряд, был обязан ему открытием дифференциального исчисления.
Взаимное признание заслуг, пусть и не вполне искреннее
Хотя Ньютон первым открыл и описал свой вариант математического анализа, на 10 лет опередив Лейбница, последний опубликовал свои результаты раньше. В первой своей статье, опубликованной в 1684 году, Лейбниц не упоминает Ньютона, но говорит о нем во второй статье (1686 год): «Дабы не казалось, что я приписываю себе излишне много либо недооцениваю остальных, следует упомянуть в нескольких словах о том, что моей формуле я особенно обязан прославленным математикам нашего века в жанре геометрии. <…> Кроме того, светлейший математик Николас Меркатор из Гольштейна был первым, насколько мне известно, кто нашел квадратуру с помощью бесконечного ряда. Независимо от него это открытие совершил, а также улучшил его геометр величайшего дарования Исаак Ньютон, который, если бы дал нам ознакомиться с его мыслями, которые, насколько я понимаю, он имеет, то открыл бы нам новые пути к удивительным открытиям и научным трудам».
Ньютон упомянул Лейбница при первой же возможности. Эта возможность представилась ему в 1687 году, при публикации первого издания «Начал». Как известно, в «Началах» Ньютон предпочел использовать язык геометрии, подобно древним грекам. В кульминационные моменты спора он часто указывал, что использовал анализ флюксий для вывода значительной доли результатов, изложенных в «Началах», однако затем изложил их на языке геометрии.
Возможно, дело и правда обстояло так, как указывает Ньютон, но этому нет документальных подтверждений. Как неоднократно указывает Уайтсайд, рукописи, где, по словам Ньютона, с помощью анализа флюксий выводятся результаты, изложенные в «Началах», так и не были найдены. Тем не менее Вестфолл пишет: «Проблема, связанная с «Началами», заключается не в том, чтобы найти доказательства, полученные другим способом, а в том, чтобы обнаружить признаки математического анализа, скрытые за завесой геометрии».
Анализ флюксий Ньютона вообще не упоминается в «Началах», за исключением леммы II книги II, что мы уже указывали в главе 3. В этой лемме Ньютон вкратце излагает современные правила вычисления производной. Он приводит примечание к этой лемме, где цитирует Лейбница и явно заявляет права на создание математического анализа. Так Ньютон отреагировал на первую публикацию Лейбница, посвященную анализу бесконечно малых. Это примечание звучит следующим образом: «В письмах, которыми около десяти лет тому назад я обменивался с весьма искусным математиком Г.Г. Лейбницем, я ему сообщал, что я обладаю методою для определения максимумов и минимумов, проведения касательных и решения тому подобных вопросов, одинаково приложимою как для членов рациональных, так и для иррациональных, причем я ее скрыл, переставив буквы следующего предложения: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa» («Когда задано уравнение, содержащее любое число переменных количеств, найти флюксии, и наоборот»). Знаменитейший муж отвечал мне, что он также напал на такую методу, и сообщил мне свою методу, которая оказалась едва отличающейся от моей, и то только терминами и начертанием формул. Основа обоих метод содержится в этой лемме». Ньютон написал это примечание с целью заявить право первенства на открытие анализа, однако так как ранее он не публиковал ничего по этому вопросу, в отличие от Лейбница, а письма, которыми обменивались Ньютон и Лейбниц, были известны лишь узкому кругу его друзей, примечание было понято как знак того, что Ньютон признает за Лейбницем право первенства.
