Ричард Манкевич - История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных
В исходном рассуждении он не использует основание системы счисления: вместо этого он делит числовую ось до 107, получая части, которые дают вполне удовлетворительный результат для большинства вычислений. Затем он определил отношение: N = 107 (0,9 999 999) L, где L — логарифм N. При этом логарифм 107 = 0, логарифм 9 999 999 = 1. Промежуточные значения варьируются от 0 до 1. В его таблицах описаны скорее логарифмы тригонометрических функций, чем натуральных чисел, что отражает раздражавшие его проблемы с утомительными вычислениями, необходимыми в астрономии и навигации. Одним из больших поклонников Непера был Генри Бриггс, первый савильянский профессор геометрии в Оксфорде (иначе говоря, первый профессор Савильянской кафедры геометрии, учрежденной в Оксфордском университете в 1619 году). Они оба пришли к выводу, что можно построить более практичную таблицу, задав соответствие log 1 = 0 и log 10 = 1. Но в 1617 году Непер умер, и именно Бриггсу выпало составить первую таблицу логарифмов с основанием 10, которая служит основой для той таблицы, что мы знаем теперь. Эта таблица была составлена для чисел от 1 до 1000; в 1624 году Бриггс расширил ее до 100 000. Оба набора логарифмов были вычислены до 14 десятичных знаков. Преимущество наличия фиксированного основания заключалось в том, что удаление из вычислений множителя 107 продемонстрировало фундаментальное правило логарифмов — логарифм произведения двух чисел равен сумме отдельных логарифмов. Сегодняшние калькуляторы сделали ненужными таблицы логарифмов, тригонометрических функций и обратных чисел, равно как и логарифмические линейки, но в то время таблицы Бриггса считались замечательным бытовым прибором, существенно ускоряющим и облегчающим вычисления. Штурманы на кораблях, которые должны были постоянно высчитывать синусы и косинусы, увидели, что привычная для них задача умножения двух семизначных чисел сократилась до обращения к логарифмам, выполнения одного сложения, а затем повторного обращения к таблице, где обратный логарифм даст необходимый ответ. Прежде, когда вычисление могло занять целый час, полученный ответ на целый час отличался от положения корабля в настоящий момент. Теперь вычисления сократились всего до нескольких минут.
Фрэнсис Бэкон (1561–1626) не был ни математиком, ни ученым и все же, как и Платон, имел огромное влияние на философию науки. Во времена господства королевы Елизаветы он был членом палаты общин и одним из советников королевы, хотя без соответствующих полномочий. Его карьера резко пошла в гору после вступления на престол короля Якова I. Он последовательно занимал ряд весьма влиятельных постов. Самым значительным его карьерным достижением было получение в 1618 году поста лорд-канцлера. Во времена, когда покровительство и раздача постов своим людям были совершенно обычным явлением, кажется странным, что в 1621 году Бэкона привлекли к ответственности за взяточничество. Несмотря на это, Яков I продолжал платить ему пенсию, и отставка, похоже, больше ударила по гордости Бэкона, чем по его карману. Его публикации инициировали процесс, благодаря которому натурфилософия стала важной темой как для правительства, так и для Короны. Его труды «О достоинстве и приумножении наук» (1605) и «Великое восстановление наук. Новый Органон» (1620) были посвящены Якову I и служили призывом к королю стать покровителем науки. Труды Бэкона повлияли на более поздних ученых вроде Ньютона и Галлея, которым приписывается честь быть английским краеугольным камнем научной революции, духовной основой создания Королевского общества. Его положение также означало, что наука получила мощного защитника с политическим и финансовым влиянием. Знание было силой, и наука стала цениться как двигатель к дальнейшему процветанию, ко Всеобщему Благу, представление о котором Бэкон ввел в своем труде «Новый органон». Взгляды Бэкона на математику были чрезмерно прагматичными — он считал математику языком науки и инструментом, находящимся в ее распоряжении. Но он также обладал достаточной скромностью и предвидением, предсказав, что математика — не статичная дисциплина и наверняка будут возникать новые ветви этой науки. Использование математики торговцами, навигаторами и учеными считалось зримой помощью для создания большего богатства нации. Развитие математики больше не было заботой всего лишь нескольких ученых, это был набат, который услышали практически все.
Если начинать знакомить дитя с числами с той
минуты, когда оно лишь пробует лепетать,
это, возможно, не обогатит государство, отдельного
человека или ребенка,
но послужит пополнению копилки мудрости всего
человечества.
Числа есть повсюду — от важнейших деяний
до мелких дел,
Так что тот, у кого нет навыков счета, может быть
уподоблен животному:
Ведь что может быть более скотоподобным,
чем нежелание людей
Изучать искусство, которое должно помочь им
намного превзойти всех остальных тварей.
Неумение считать отбрасывает человека к его
изначальному состоянию.
Умение считать — это (почти) все, что отделяет
человека от животного,
Каждому мужчине необходимо научиться считать.
Нужно постичь это искусство,
Если ты решил стать военным или тебя ждут
при дворе,
На службе или в деревне, где ты обитаешь, или
если ты решил
посвятить дни своей жизни физике, философии либо
изучению законов,
будь уверен, что без этого искусства ты никогда
не сможешь добиться успеха.
Я не сказал еще об астрономии, а также о геометрии,
космографии, географии и многом другом,
О музыке с ее приятными мелодиями, то есть
обо всем, что, не изучив искусство счета,
Ты никогда не сможешь постичь ни полностью,
ни даже частично.
Не зная чисел, ты не сможешь также быть аудитором
или сделать правильные наблюдения,
Произвести правильные подсчеты.
Если ты хочешь быть торговцем, не расставайся
с этой книгой,
И ты найдешь в ней необходимые тебе правила,
любые, какие только пожелаешь.
Если ты всего лишь ремесленник, даже тогда ты
найдешь здесь такие вещи,
Которые сослужат тебе добрую службу и обогатят
твой разум.
Даже если ты пастух, тебе будет довольно трудно
Выполнять свои обязанности без помощи чисел.
Чтобы перечислить все выгоды, которые числа
приносят человеку,
здесь пришлось бы потратить очень много места,
намного больше, чем я могу сделать.
Вот почему я говорю только одно и отбрасываю все
остальное:
без этого искусства человек — не человек,
а каменный валун.
11. Бракосочетание алгебры и геометрии
Начиная со времен древней Греции математика была раздроблена на две основных ветви — геометрию и арифметику. Первая оперировала размерами, вторая — числами. Но между ними никогда не существовало полного разрыва — мы видели, как в разных культурах одна ветвь порой развивалась быстрее и активнее, чем другая, в зависимости от конкретных нужд и обстоятельств. Развитие алгебры и ее взаимоотношений с геометрией можно проиллюстрировать с помощью истории решения кубического уравнения, которое сегодня записывается так: ах3 + bx2 + сх + d = 0.
Слово «аль-джабр» («восстановление») взято из заглавия алгебраического трактата ал-Хорезми «Ал-китаб ал мухтасар фи хисаб ал-джабр ва-л-мукабала» («Книга о восполнении и противопоставлении») (см. Главу 7), именно от него происходит название дисциплины «алгебра».
В книге ал-Хорезми отсутствуют формулы — он объяснял решения уравнений риторическим способом. Степеням неизвестных значений он давал названия, такие, как «shay» («вещь») для х, «mal» («богатство») для х2 и «ka'b» («куб») для х3. Названия степеней никто не утвердил навечно, и в своей «Книге аббака», написанной в 1202 году (см. Главу 10), Фибоначчи для обозначения степеней использовал как заимствования из арабского языка, так и некоторые собственные изобретения. Мы ведь, например, называем радикал квадратным корнем, а х3 — кубом. «Книга аббака» — очень важная работа, познакомившая Европу с индо-арабскими цифрами: в ней были описаны девять индийских цифр и «zephirum», или ноль.
