Алекс Беллос - Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики
Пристрастие Майкла к авангардным основаниям не ограничилось числом 12. Он побаловался немного с числом 8 — его он иногда использует, когда мастерит что-нибудь по дому. «Я использую основания как инструменты», — говорит он. Он экспериментирует и увеличивая основания — так он добрался до основания 60. Эта задача потребовала от него изобретения 50 новых символов в дополнение к тем 10 цифрам, что уже имеются. Здесь он не ставил перед собой задач практических. По его словам, работа в системе с основанием 60 — это как подъем на высокую гору. «Я не в состоянии там жить. Слишком большая группировка получается. Внизу, в долине, числа группируются по десять, и там я могу дышать. Но при подъеме на гору мне открывается впечатляющий вид». Он составил таблицу делителей по основанию 60 — что называется еще шестидесятеричной системой — и зачарованный глядел на открывающиеся там закономерности. «Определенно там скрывается красота», — сказал он мне.
Хотя использование основания 60 может показаться плодом нездорового воображения, шестидесятеричная система имеет солидную историческую родословную. Это и в самом деле самая древняя из известных нам основных систем счисления.
* * *Простейшие обозначения для чисел — это насечки или зарубки. В различных формах они использовались по всему миру. Инки вели счет, завязывая узелки на веревке, а обитатели пещер наносили метки на скальные стены. С момента изобретения деревянной мебели столбики кровати размечаются — по крайней мере, метафорически — насечками. Полагают, что самый древний из открытых «математических артефактов» — найденная в пещере в Свазиленде счетная палочка, сделанная из берцовой кости бабуина, ее возраст насчитывает 35 000 лет. На этой палочке, называемой «костью из Лебомбо», нацарапаны 29 линий, вероятно обозначавших лунный цикл.
Как мы видели в предыдущей главе, люди способны очень быстро заметить различие между одним предметом и двумя, между двумя и тремя, но после четырех это становится трудней. То же касается и насечек. Во всякой системе организации насечек, которая претендует на удобство в использовании, насечки требуется группировать. В Соединенных Штатах принято сначала ставить четыре вертикальные линии, а затем пятой перечеркивать их по диагонали — получаются так называемые «five-bar gate» — «ворота из пяти перекладин». В Южной Америке предпочитают другой стиль, когда первые четыре линии образуют квадрат, а пятая представляет собой диагональ в этом квадрате. Японцы, китайцы и корейцы используют более изощренный метод, собирая черточка за черточкой иероглиф , означающий «правильно» или «верно». (Когда вы в следующий раз будете в суши-баре, попросите официанта показать, как он считает выбранные вами тарелочки.)
Около 8000 года до н. э. наши предки начали использовать небольшие кусочки глины с нанесенными на них отметками для оценки количества различных предметов. Таким способом записывалось, например, число продаваемых или покупаемых овец. Различные кусочки глины соответствовали различным объектам или различному количеству объектов. В результате стало возможным пересчитывать овец без необходимого участия их самих, что значительно упростило торговлю. Этот момент и знаменует рождение того, что мы теперь понимаем под числами.
В четвертом тысячелетии до н. э. в Шумере, древнем государстве, находившемся на территории современного Ирака, эта система символов превратилась в систему записи — на незатвердевшей глине заостренной палочкой из тростника делались специальные отметки. Числа сначала записывались как кружки или овалы, подобные форме ногтей. Около 2700 года до н. э. у палочки для письма появился плоский край, и отметки стали выглядеть примерно как следы, оставленные птичьими лапками, причем отметки различной формы соответствовали различным числам. Возникшее таким образом письмо, названное клинописью, ознаменовало начало долгой истории западных систем письма. И тут просто напрашивается занятная мысль: а ведь вся писменность (и литература), в конце концов, оказалась побочным продуктом развития системы численных обозначений!
В клинописи имелись символы только для чисел 1, 10, 60 и 3600, а это означает, что система представляла собой смесь систем с основанием 60 и с основанием 10, ведь основные клинописные символы соответствуют числам 1, 10, 60 и 60 × 60. Почему шумеры группировали числа в шестидесятки? Сегодня это одна из величайших неразгаданных тайн в истории арифметики. Высказывались предположения, что такая система явилась результатом слияния двух более ранних систем — с основаниями 5 и 12, — хотя никаких твердых свидетельств тому найдено не было.
Вавилоняне, совершившие колоссальный вклад в развитие математики и астрономии, приняли шумерскую шестидесятеричную систему. Вслед за ними египтяне, а потом и греки положили вавилонскую систему в основу измерения времени — именно по этой причине и поныне в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. Мы настолько привыкли выражать время по основанию 60, что никогда не задаемся вопросом, почему так делаем, хотя в действительности объяснить это нелегко. В революционной Франции, впрочем, нашлись такие, которые страстно возжелали устранить все то, что не укладывалось в десятичную систему. В 1793 году, когда Национальный Конвент учредил метрическую систему мер и весов, была также сделана попытка перейти на метрическое время. Был подписан декрет, устанавливающий, что каждый день следует делить на десять часов, каждый час — на 100 минут, а каждую минуту — на 100 секунд[6]. Как несложно посчитать, в сутках тем самым оказалось 100 000 секунд — вместо обычных 86 400 (что есть 60 × 60 × 24). Революционная секунда при этом имела продолжительность несколько меньшую, чем обычная. В 1794 году десятичное время стало обязательным, и тогда же стали выпускать часы с циферблатом, на котором были указаны цифры от одного до десяти. Однако большинство населения нашло новую систему сбивающей с толка, и спустя лишь немногим более полугода от нее пришлось отказаться. Помимо просто непривычности революционного времени сыграл свою роль и тот факт, что час из 100 минут не так удобен, как час из 60 минут, потому что у 100 не так много делителей, как у 60. Число 100 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25 и 50, а 60 — на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30.
Провалился и другой проект по децимализации времени, имевший место в более близкую к нам эпоху. В 1998 году швейцарская компания «Swatch» предложила «Swatch Internet Time», где сутки были разделены на 1000 частей, названных «битами» (продолжительностью 1 минута 26,4 секунды). Компания выпустила специальные часы, выражавшие «революционный взгляд на время». Они продавались около года, после чего стыдливо исчезли из магазинов и каталогов.
По правде говоря, французы и швейцарцы — не единственные из западных наций, кто еще не так давно пытался использовать для счета довольно нелепые процедуры. Счетные палочки с насечками, морально устаревшие уже в те времена, когда первый шумерский писец создал свою первую клинописную табличку, использовались в Великобритании как средство денежного обращения вплоть до 1826 года. Банк Англии[7] выпускал «откалиброванные» счетные палочки (так называемые «бирки»), денежная стоимость которых определялась на основании нанесенных на них насечек. Документ, составленный в 1186 году лордом-казначеем епископом Ричардом Фицнилом, устанавливал следующие денежные эквиваленты для бирок:
Фунты стерлингов £ 1000 ширина ладони £ 100 ширина большого пальца £ 20 ширина мизинца £ 1 ширина разбухшего ячменного зернаПроцедура, которую применяло Казначейство, на самом деле состояла в том, что палочку разламывали на две части, называемые stock («ствол») и foil («остаток»). На каждой половине оставались насечки, которые соответствовали сумме сделки или долга. «Ствол» оставался заемщику, а «остаток», который служил долговой распиской, — должнику. Если кто-то одалживал деньги Банку Англии, то ему давали «ствол» с насечками, обозначавшими количество данных в долг денег, — чем и объясняется происхождение терминов «stockholder» (владелец акций) и «stockbroker» (биржевой маклер), — банк же оставлял у себя «остаток», на котором также имелись соответствующие насечки. Два куска бирки складывались, чтобы проверить сумму долга.
Подобная практика сошла на нет без малого два столетия назад. В 1834 году Казначейство решило сжечь старые, уже никому не нужные деревянные бирки в печи под Вестминстерским дворцом — тем самым, где размещается британский парламент. Однако огонь вышел из-под контроля. Чарльз Диккенс писал: «От печи, в которую загрузили слишком много этих нелепых палок, огонь перекинулся на деревянную обшивку; от обшивки — на здание палаты общин; в результате оба правительственных здания сгорели дотла». Различные финансовые махинации нередко оказывают влияние на работу правительств, но только деревянные бирки разрушили парламент до основания. Когда дворец отстроили заново, там воздвигли новую башню с часами — Биг-Бен, — быстро ставшую главной достопримечательностью Лондона.
