Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
(x1 x2 x3); (x2 x3 x1); (x3 x1 x2);
затем опять получается то же самое. А если переставить две шашки, ну, скажем, x2 и x2, то получатся еще три случая:
(x2 x1 x3); (x1 x3 x2); (x3 x2 x1);
а потом снова то же.
- Шесть, - согласился Мнимий, - спору нет. Но вам пришлось однажды что-то менять в первом расположении. Это как надо понимать?
- 452 -
- Это как бы два круга Дразнилки; первый можно назвать четным кругом, а второй - нечетным, потому что в первом случае одна шашка постоянно обходит две шашки, как и полагается в Дразнилке, а во втором сначала обходят одну шашку, и порядок меняется. Перейти от одного круга к другому, не вынимая одной шашки из коробочки, нельзя.
При перестановках каждый раз первая шашка попадает в конец направо.
- Вес верно, - подтвердил Мнимий. - Итак, два круга, причем один в другой непосредственно не переходят..
- Да, и если отразить какую-нибудь перестановку первого (четного) круга в зеркале, то выйдет перестановка второго круга (нечетного).
- Хорошо, - подхватил Мнимий, - это важное замечание.
Мы можем отметить, что названные вами два круга Дразнилки-Малого зеркально симметричны.
- Похоже, что так, - неуверенно произнес Илюша.
- Мы встретились с явлением, которое называют симмеmрией. Вы ведь знаете, что такое преобразование? - спросил Мнимий.
- Да, конечно, - отвечал Илюша, - например, подобие. Потом еще умножение на комплексный вектор, как мы уже в прошлой схолии рассматривали, подобие и поворот... А еще у нас дома есть подставка для чайника. Она раздвижная - может быть квадратом, а потянешь за уголки, получается ромб. Папа говорит, что это преобразование...
- А по-твоему, это что? - спросил Радикс. - Из квадрата - ромб, и обратно. Чем не преобразование? Такие преобразования называются аффинным и. Если бы на квадрате был нарисован круг, что бы ты из него получил при аффинном преобразовании?
- Может быть, эллипс? - неуверенно ответил Илюша.
- А почему бы и нет?
- Я - "за"! - отвечал храбрый Илья.
- Присоединяюсь, - заключил Радикс.
- Так вот, - снова начал Мнимий, - чтобы ответить на вопрос, что такое симметрия, необходимо и ее тоже рассматривать как некоторое преобразование. У нас, например, есть равнобедренный треугольник; пусть его основание не равно одной из его сторон, значит, он симметричен относительно своей высоты; при повороте на 180° вокруг высоты он совместится сам с собой. Разумеется, мы не принимаем в расчет, какой стороной он к нам повернут. Равносторонний треугольник симметричен не только относительно высоты, но относительно каждой из своих высот (они же медианы и биссектрисы).
Аналогично мы рассуждаем и о телах...
- 453 -
- Бабочка симметрична!
- Ну конечно! это уже касается тела в пространстве.
Одним словом, явление симметрии - вещь понятная. Здесь преобразование - во всех наших случаях - сводится к повороту, но самым "процессом поворота" мы но интересуемся (этим делом механика занимается), а смотрим только на то, что из этого поворота получилось. Кроме поворота, еще возможно зеркальное отображение - симметрия относительно плоскости (с настоящим зеркалом) либо относительно прямой (как для сопряженных комплексных векторов) и параллельный перенос в плоскости или вместе со всей плоскостью. Это все геометрическая симметрия. Но возможна еще и симметрия в алгебраическом смысле, симметрия многочленов.
Вот как раз в этом-то случае к нам и приходит на помощь понятие перестановки, с помощью которой мы можем уяснить и записать алгебраическую симметрию. Хотя, конечно, на первый взгляд перестановки непосредственно симметрией и не обладают, но, например, мы обнаружили, что все шесть перестановок из трех элементов разделяются на две части (по три), связанные между собой зеркальной симметрией. Если мы теперь возьмем формулы Виеты, известные нам по квадратному уравнению, но которые легко написать и для кубического уравнения, начиная с того, что свободный член всегда равен произведению всех корней, то...
- Значит, - перебил мальчик, - мы получим для уравнения:
х3 + ах2 + bх + с = 0,
если начать с такой записи уравнения:
(x - x1) (х - х2) (х - х3)=0,
такие выражения для его коэффициентов через его корни:
c = x1x2x3
b = x1x2 + x1x3 + x2x3
- а = х1 + x2 + х3.
Знаки меняются.
- Так-с... Так вот, именно эти выражения Виеты обладают очень важным свойством: они не меняются, если переставлять в них корни. Проверьте!
- Насчет а и с, конечно, верно, потому что это сумма и произведение. А как быть с b? Если поменять местами икс-первый и икс-третий?.. Верно! То же самое получается.
- 454 -
- Поэтому математики называют эти функции корней из формул Виеты симметрическими функциями. Для алгебраических уравнений любых степеней они строятся по одному и тому же правилу, которое вы уже указали А у кубического уравнения есть еще одно общее свойство с Дразнилкой Малым. Когда мы разбирали пример Рафаэля Бомбелли, вы ведь заметили, что кубические корни, им полученные, суть сопряженные комплексные числа, то есть величины неравные, хотя и геометрически зеркально симметричные. Свойство это заключается в том, что существует такая функция корней кубического уравнения, которая при всех перестановках может принять только два значения - это и будут подкоренные величины кубических корней в Кардановой формуле.
- Вроде, как два круга разной четности у Дразнилкн Малого? - осторожно спросил Илюша.
- Похоже, но не больше... Эта функция, найденная Лагранжем, такова:
(х1 + αх2 + α2х3).
Она может принимать только два значения, поэтому появляется возможность приравнять их двум корням квадратного уравнения, что и позволяет нам построить Карданову формулу, то есть найти решение кубического уравнения. Вот как примерно через два века была выяснена сущность Кардановой формулы.
Вслед за этим Лагранж рассмотрел и решение уравнения четвертой степени, которое приводится не к квадратному уравнению, а к кубическому, однако теперь это уже не страшно!
- А уж с четвертой степенью, наверно, ужасно трудно... - заметил Илюша.
- Да, не так просто! Но Лагранж и для этого уравнения нашел решение. Он вообще старался найти самый смысл решения, так сказать, ключ к этой удивительной загадке.
И ему многое удалось. Он даже предполагал, что именно в перестановках весь секрет этих сложнейших дел и прячется.
А потом оказалось, что это верно! Но все-таки даже и этой тонкой догадки еще было мало. Ученые бились над уравнением пятой степени, и Лагранжу с этой загадочной пятой степенью тоже ничего не удалось сделать. Он даже с горя начал поговаривать, что вообще с математикой дела плохи... Так что вы можете убедиться, что не только в средней школе с математикой огорчения случаются!
- Удивительные все-таки перестановки! Такие, мне казалось, простые...
- 455 -
- Сами математики долгое время не знали, какие в них таятся удивительные секреты, - отвечал Радикс, - и до чего полезные секреты! Физики, которые ныне занимаются строением атома, перестановкам уделяют много внимания. Алгебра теперь занимается главным образом математическими операциями и их соотношениями. Когда-то араб ал-Хорезми поругивал греческие геометрические "премудрости", расхваливая свою алгебру, которая помогает решать житейские арифметические задачи, а в разные отвлеченности, не интересные для торговой практики, не лезет. И оказалось в дальнейшем, что он жестоко ошибся! Как раз в алгебре-то и зародились самые отвлеченные разделы нашей науки. Благодаря этому развитию математика помогла физике осилить задачи, которые раньше казались совершенно недоступными.
- А как же все-таки получилось с уравнением пятой степени?
- Сейчас я разъясню, - отвечал Мнимий - Я снова прошу внимания! Здесь есть один важный и трудный пункт... Тут вот в чем дело: Лагранж, человек редкой наблюдательности и проницательности, когда стал изучать симметрические функции, довольно скоро заметил, что знать только одни симметрические функции еще не достаточно для того, чтобы решить кубическое уравнение. И что в формуле Кардана незаметно запрятан еще какой-то важный секрет, без которого смысл ее все-таки еще остается темен. В чем же тут дело?
Самый трудный пункт здесь в том, что самые симметрические функции не позволяют еще отличить один корень от другого, и надо найти еще одну несимметрическую функцию корней, которая, в случае квадратного уравнения, принимает всегда одно-единственное значение (а для кубического уравнения- ровно два и не больше). Приглядитесь сами к решению квадратного уравнения. Там мы получаем две функции симметрические:
x1 + x2 = -p; x1x2 = q.
Но что с ними делать? Ведь чтобы разделить эти два корня, надо опять решать то же самое уравнение? Выходит, что мы мучались-мучались, а все равно не сдвинулись с места!
