Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
1, x, x2, x3, 4 ... xn
- 428 -
где ясно, что каждый член является средней геометрической между двумя своими соседями справа и слева, как например:
х2 = √(х • x3 )
а четыре последовательных члена связаны двойной непрерывной пропорцией:
1 : х = х : х2 = х2 : х3,
которой и пользуется Гиппократ. Теперь возвращаюсь к построению: циркуль дает одну среднюю пропорциональную, которую мы разбирали в Схолии Пятнадцатой, тогда как два прямых угла действуют словно два объединившихся циркуля, они дают нам разом две средних, как это ясно из другого чертежа. Прямой угол мы всегда можем себе представить опирающимся на диаметр некоторой окружности, не так ли?.. А если у нас имеются два прямых угла, причем их всегда можно сдвигать и раздвигать так, что эти диаметры воображаемых окружностей могут изменяться (и при этом независимо друг от друга), то мы получаем особый прибор вроде двоякого циркуля, который может дать нам сразу две средние пропорциональные, те самые, которые требуются для пропорции Гиппократа.
Принцип прибора Платона.
- 429 -
- По-моему, - сказал Илья, внимательно осмотрев чертежи Радикса, - как будто все правильно. Какой интересный этот способ двух прямых углов! И если а = 1, то икс и будет корнем кубическим из двух. Все верно.
- Прекрасно! - похвалил Мнимий. - Итак, после этого поучительного примера я могу продолжать свой рассказ. Алгебра дала ученым формулу (а формула - это ведь и есть самое значительное завоевание алгебры!) для решения любого квадратного уравнения. В шестнадцатом веке ученые заинтересовались алгебраическим решением кубического уравнения, о котором еще в начале того же века Лука Пачиоли, итальянец, говорил, что эта задача столь же непосильна для науки, как и квадратура круга. Конечно, надо все-таки принимать во внимание, что наука, развиваясь, ставит себе все более и более сложные задачи, а для их разрешения, понятно, требуются все более сложные способы. Вот с одной такой необычайной сложностью ученые и столкнулись в шестнадцатом веке. Понадобилось без малого триста лет, чтобы разгрызть этот орешек! О нем-то и будет идти речь. Задачка была особенная. Древние почти ничего здесь не сделали, европейцам все пришлось изучать и рассматривать заново. Арабы тоже брались за этот вопрос, старательно изучали частные случаи, многое изучили и придумали, но по части именно алгебраической у них не получилось. Пачиоли прямо говорил, что решение таких уравнений невозможно, ибо они "диспропорциональны", то есть невыразимы с помощью пропорций, что, разумеется, неосновательно, как это ясно из Гиппократова решения задачи о двоекубии. Как неосновательны были и сетования Пачиоли насчет квадратуры круга, но Архимед тогда еще очень был мало известен... И, наконец, в городе Болонье в шестнадцатом веке напали на алгебраическое решение. Оно...
- А какое это было решение?
- А вот сейчас его продемонстрируем. Сперва надо сказать еще несколько слов об одном особом способе решать квадратные уравнения, вам хорошо известные. Вы знаете способ, который построен на выделении точного квадрата. Но можно действовать еще и по-иному. Выходит не хуже. Если уравнение представлено в двучленной форме, то есть вот так:
xn = a
то решить его нетрудно (разумеется, мы полагаем, что а больше нуля, то есть положительное число), какова бы ни была его степень. Надо только извлечь корень данной степени, а это вопрос разрешимый...
- 430 -
- С логарифмами... - подсказал Илюша.
- Точно, - отвечал Мнимий, - именно с логарифмами.
Следовательно, если мы сумеем данное уравнение привести к такому виду, ыы уже никаких особых препятствий не встретим. Уравнение первой степени приводится к двучленному виду проще простого: сделай приведение, перенеси известные в одну сторону, неизвестные в другую - и готово. Посмотрим теперь, как этого достигнуть с квадратным уравнением, которое нам тоже хорошо знакомо. Любое квадратное уравнение можно представить в таком виде:
х2 + рх + q = 0,
ибо, если коэффициент при х2 не равен единице, делим вес уравнение на этот коэффициент - и дело в шляпе! Как быть далее? А что, если уничтожить второй член уравнения с иксом в первой степени? Тогда останется икс в квадрате и свободный член, а нам как "раз и надо получить двучленное уравнение.
Введем новую неизвестную, допустив, что наш икс таков:
x = y + h.
- А что такое h? - с удивлением спросил Илюша.
- Пока что h совершенно произвольное число, но мы сейчас выясним точно, в каком виде оно может нам помочь. Подставим в уравнение новое значение икса и сделаем приведение. Это нетрудно! Получаем:
(y + h)2 + p(y + h) + q = 0;
y2 + y(2h + p) + h2 + hp + q = 0.
Теперь становится ясно: чтобы уничтожить второй член уравнения, надо положить, что коэффициент при иксе в первой степени равен нулю, то есть:
2h + р = 0;
h = -p/2
Подставим в полученное уравнение. Получаем:
y2 + y(-2p/2 + p) +p2/4 - p2/2 + q;
после приведения:
y2 = p2/4 - q
- 431 -
по так как х + у = h, то находим и решение:
x = -p/2 ± √(p2/4 - q)
Следовательно, наш этот способ - уничтожить один из членов уравнения - вполне целесообразен. Теперь попробуем разобрать, как было решено впервые алгебраически, или, как говорится, "в радикалах", то есть с помощью извлечения корней необходимой степени, кубическое уравнение. Сделано было это в шестнадцатом веке в Италии учеными города Болоньи Ферро, Тарталья и Кардано. Между двумя последними шел долгий спор о том, кто первый сделал это открытие, но мы в эти ненужные споры забираться не будем, тем более что с современной точки зрения все решение не так уж сложно.
- А все-таки, наверно, трудно... - грустно заметил Илюша.
- Не очень! Конечно, поскольку само кубическое уравнение сложнее квадратного, то весь ход решения похитрей. Но тут дело в том, что выясняются некоторые особые подробности. .. Итак, у нас имеется кубическое уравнение, где коэффициент при старшем члене уже превращен в единицу:
х3 + ах2 + bх + с = 0.
Цель снова будет та же самая: придумать такие преобразования, чтобы превратить данное уравнение в уравнение с меньшим числом членов, ибо, как мы видели на примере квадратного, этот прием упрощает задачу. Сперва мы будем поступать так же, как с квадратным уравнением. Положим снова:
х = у + h
и подставим это в наше уравнение. Получим после небольших переделок
у3 + (3h + а) у2 + (3h2 + 2ah + b) у + h3 + ah2 + bh + с = 0.
Теперь снова постараемся обратить коэффициент второго члена (при игреке в квадрате) в нуль, то есть положим, что
(3h + a) = 0; h = - a/3,
откуда
у3 + (-3a/3 + а) у2 + (3a2/9 - 2a2/3 + b) у + h3 + ah2 + bh + с = 0.
- 432 -
или, сделав приведение:
у3 + (-a2/3 + b) у + (2a3/27 - ab/3 + с) = 0.
Теперь для сокращения письма положим:
(-a2/3 + b) = p; (2a3/27 - ab/3 + с) ] = q
аb и запишем окончательно результат в таком виде:
y3 + py + q = 0.
(Если q = 0, то все просто: y1 = 0, у2,3 = ±√-p)
При q ф 0 результат, как ты видишь, разумеется, несколько менее утешителен, чем в случае квадратного уравнения, ибо у нас не два, а три члена. Но как-никак определенное упрощение достигнуто. Как же теперь быть далее? Ясно, что нужно придумать способ, который дал бы возможность обратить выражение ру в нуль, после чего мы и получим двучленное уравнение, то есть то же самое, что было получено для квадратного.
И вот как раз на этом месте болонцам пришла в голову счастливая мысль сделать еще одну подстановку: положить, что у в последнем уравнении можно представить в виде суммы:
у = u + v.
И опять-таки эти величины ими пока что совершенно произвольные. Мы только одно можем сказать, что сумма их есть корень нашего уравнения, который не равен нулю.
- А почему он не равен нулю?
- Сейчас рассмотрим! Попробуем подставить. Получаем:
(u + v)3 + р (u + v) + q = 0.
Смотрите-ка! Теперь видно, что сумма (u+v) не может быть равна нулю, потому что тогда и число q будет равно нулю, а число q, свободный член уравнения, не равно нулю. Теперь откроем скобки и кое-что сгруппируем:
(u3 + v3) + (u + v) (3uv + p) + q = 0.
Такая форма уравнения уже подает нам некоторые надежды!
- 433 -
Может быть, нам удастся уничтожить второй член? Положить, что u + v = 0, мы, как сказано, не можем, но зато спокойно можем допустить, что
3uv + р = 0;
uv = -p/3
но в таком случае наше уравнение превращается в такое:
u3 + v3 = - q.
Следовательно, мы получили два уравнения. Одно из них дает произведение новых чисел u и v, а другое их сумму. Правда, они в разных степенях, но никто не помешает возвести это произведение тоже в куб. Далее это создаст нам некоторые затруднения, но мы как-нибудь их одолеем. И вот перед нами два уравнения:
u3v3 = - p3/27; u3 + v3 = - q.
