Марио Ливио - φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания
Более всего Пифагор и пифагорейцы прославились тем, что, скорее всего, сыграли важнейшую роль в развитии математики и в ее применении к концепции порядка – будь то порядок музыкальный, космический или даже этический. Каждый ребенок в школе изучает теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. Геометрический смысл этой теоремы (рис. 7, справа) состоит в том, что площадь квадрата, построенного на самой длинной стороне (гипотенузе) прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух коротких сторонах. Иначе говоря, если длина гипотенузы составляет с, то площадь квадрата, который на ней построен, составит с2, а площади квадратов, построенных на двух других сторонах (длиной а и b) равны а2 и b2 соответственно. Значит, теорема Пифагора может быть представлена в таком виде: в каждом прямоугольном треугольнике а2 + b2 = с2. Когда в 1971 году в республике Никарагуа отбирали десять математических формул, изменивших мир, чтобы выпустить серию почтовых марок, теорема Пифагора была напечатана на второй из них. Числа вроде 3, 4 и 5 или, скажем, 7, 24 и 25 составляют пифагоровы тройки: 32 + 42 = 52 (9 + 16 = 25), а 72 + 242 = 252 (49 + 576 = 625). Треугольники с такими длинами сторон будут прямоугольными.
рис. 7
Кроме того, на рис. 7 представлено, пожалуй, самое простое доказательство теоремы Пифагора: с одной стороны, если вычесть из квадрата со стороной а + b площади четырех равных треугольников, получится квадрат, построенный на гипотенузе (в середине). С другой стороны, если вычесть из того же квадрата те же четыре треугольника, расположив их несколько иначе (слева), получится два квадрата, построенных на коротких сторонах. То есть, очевидно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей двух меньших квадратов. В своей книге «Пифагорейская гипотеза», вышедшей в 1940 году (Elisha Scott Loomis. «The Pythagorean Proposition»), математик Элиша Скотт Лумис представил 367 доказательств теоремы Пифагора – в том числе доказательства Леонардо да Винчи и Джеймса Гарфилда, двадцатого президента США.
На самом деле, пифагоровы тройки научились распознавать задолго до Пифагора, хотя теорема Пифагора как «истина», объединяющая все прямоугольные треугольники, еще не была сформулирована. Пятнадцать таких троек перечислены на вавилонской глиняной табличке, относящейся к старовавилонскому периоду (до 1600 г. до н. э.).
Вавилоняне открыли, что пифагоровы тройки можно составлять по простому правилу – «алгоритму». Возьмите любые два целые числа p и q, так чтобы p было больше q. Теперь можно составить пифагорову тройку из чисел p2 – q2; 2 pq; p2 + q2. Пусть, например, q = 1, p = 4. Тогда p2– q2 = 42–12 = 16–1 = 15; 2 pq = 2 × 4 × 1 = 8; p2 + q2 = 42 + 12= 16 + 1 = 17. Набор чисел 15, 8, 17 – это пифагорова тройка, потому что 152 + 82 = 172 (225 + 64 = 289). Вы и сами можете с легкостью показать, что это справедливо для любых целых чисел p и q. (Заинтересованный читатель найдет краткое доказательство в Приложении 1.) Следовательно, пифагоровых троек существует бесконечное множество – этот факт доказал Евклид Александрийский.
Однако в пифагорейском мире закономерности отнюдь не ограничивались одними треугольниками и вообще геометрией. Традиционно Пифагору приписывают открытие гармонических последовательностей музыкальных нот: он обнаружил, что музыкальные интервалы и высота нот соотносятся с относительной длиной вибрирующей струны. Пифагор отметил, что если разделить струну на целое количество равных промежутков, это (до некоторого предела) приводит к гармоническим и красивым (созвучным) музыкальным интервалам. Когда две произвольно выбранные музыкальные ноты звучат одновременно, обычно их сочетание кажется на наш слух грубым (несозвучным). Приятные звуки получаются лишь в отдельных сочетаниях. Пифагор обнаружил, что эти редкие созвучия возникают тогда, когда ноты производят похожие струны, чьи длины соотносятся как первые несколько целых чисел. Унисон достигается, если струны одинаковой длины (соотношение 1:1), октава – когда струны соотносятся как 1:2, квинта – 2:3, кварта – 3:4. Иначе говоря, можно ущипнуть струну и извлечь ноту. Если ущипнуть струну, которая натянута так же, как первая, но длиной вдвое меньше, услышишь ноту, которая выше первой ровно на одну гармоническую октаву. Подобным же образом 6/5 струны до дают ноту ля, 4/3 от нее дают ноту соль, 3/2 – ноту фа и т. д. Эти замечательные открытия, сделанные еще в древности, заложили основу для более глубокого понимания музыкальных интервалов, которое возникло в XVI веке (вышло так, что в разработке музыкальной теории в то время участвовал и Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея). В 1492 году на фронтисписе книги «Theorica Musice» Франкино Гафури поместил чудесный рисунок, изображающий Пифагора, экспериментирующего со звукоизвлечением из различных предметов и устройств – тут и молотки, и струны, и бубенцы, и свирели (рис. 8; справа вверху – библейский Иувал, «отец всех играющих на гуслях и свирели» (Быт. 4:21)).
Рис. 8
Но тут пифагорейцы задумались: если даже музыкальную гармонию можно выразить в числах, вдруг получится математически описать все мироздание? Поэтому они сделали вывод, что все предметы во Вселенной обязаны своими свойствами природе числа. Скажем, астрономические наблюдения показывали, что движение небесных светил также подчинено вполне определенному порядку. Это привело к концепции прекрасной «гармонии сфер» – идее о том, что небесные тела в своем размеренном движении также создают некую гармоническую музыку. Философ Порфирий (ок. 232–304 гг. н. э.), создавший свыше семидесяти трудов по истории, метафизике и литературе, написал также (в рамках четырехтомной «Истории философии») краткое жизнеописание Пифагора – оно так и называется «Жизнь Пифагора». Вот что рассказывает Порфирий: «сам же [Пифагор] умел слышать даже вселенскую гармонию, улавливая созвучия всех сфер и движущихся по ним светил, чего нам не дано слышать по слабости нашей природы» (здесь и далее пер. М. Гаспарова). Перечислив еще несколько выдающихся качеств Пифагора, Порфирий продолжает: «Звуки семи планет, неподвижных звезд и того светила, что напротив нас и называется Противоземлей, он отождествлял с девятью Музами» (Противоземля, согласно пифагорейской теории Вселенной, вращалась напротив Земли по ту сторону огня, образующего центр мироздания). Прошло более двух тысяч лет, и знаменитый астроном Иоганн Кеплер (1571–1630) возродил и переосмыслил концепцию «гармонии сфер». Кеплеру довелось узнать много горя и столкнуться с ужасами войны, и он пришел к выводу, что на самом деле Земля порождает две ноты – ми, что значит «miseria» (лат. «несчастье») и фа, что значит «fames» (лат. «голод»). Вот как писал об этом сам Кеплер: «Земля поет “ми-фа-ми”, так что даже по первому слогу можно догадаться, что в нашем доме верховодят Несчастье и Голод».
Великий Аристотель даже посмеивался над пифагорейской одержимостью математикой. В своем труде «Метафизика» (IV век до н. э.) он писал: «В это же время и раньше так называемые пифагорейцы, занявшись математикой, первые развили ее и, овладев ею, стали считать ее начала началами всего существующего» (пер. А. Кубицкого). Хотя в наши дни некоторые причудливые идеи пифагорейцев и вправду могут показаться забавными, однако нужно понимать, что фундаментальные истины, которые за ними стоят, на самом деле не слишком отличаются от того, что говорил Альберт Эйнштейн (в письмах к Морису Соловину): «Математика – лишь средство выразить законы, управляющие природными явлениями». И в самом деле, законы физики, которые зачастую именуют законами природы, представляют собой всего-навсего математические формулы, описывающие те естественные процессы и явления, которые мы наблюдаем. К примеру, основная мысль общей теории относительности Эйнштейна состоит в том, что гравитация – не загадочная сила притяжения, действующая на расстоянии, а скорее выражение геометрии неразделимо связанных пространства и времени. Позвольте на простом примере пояснить, как геометрическое свойство пространства можно принять за силу притяжения вроде гравитации. Представьте себе, что два человека отправляются из двух разных точек, лежащих на экваторе Земли, точно на север. Это означает, что поначалу они будут двигаться параллельно, а параллельные линии, как нас учат в школе, на плоскости никогда не пересекаются. Однако на северном полюсе путешественники неминуемо встретятся. Если эти люди не знают, что на самом деле путешествуют по изогнутой поверхности сферы, они могут сделать вывод, будто их притянула некая сила: ведь они начали двигаться по параллельным линиям, а потом пришли в одну точку. Получается, что геометрическое искривление пространства может проявляться как сила притяжения. Вероятно, пифагорейцы первыми осознали абстрактную концепцию, состоящую в том, что основные силы во Вселенной можно выразить языком математики.
