Эрик Белл - Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней
То, что Кант воспел евклидову геометрию как единственно верную истину, оказалось неудачным для продвижения его метафизики. Следствием создания неевклидовых геометрий стало разграничение математической и физической геометрий. Каждая из этих геометрий, в том числе геометрия Евклида, когда устранены очевидные недостатки, самосогласованна, и они не конкурируют между собой. Каждая математически «истинна». А которая физически «истинна»? Как оказалось, для научных задач применение нескольких геометрий вполне разумно и достаточно, но иногда отдельная геометрия полезнее всех остальных для решения конкретной задачи. Каждая «истинна», то есть самосогласованна в абстрактном, логическом или математическом смысле, одна из нескольких «истинна» в физическом смысле для определенного набора задач, но, будучи не согласованы между собой, две не могут быть истинны для того же круга задач. Когда во всем этом разобрались, в начале 1900-х годов, отдельные ученые и математики совместили понятие «истины» с применимостью. Но не было никакой необходимости вносить очередную путаницу в область, из которой наконец-то, после почти двух тысяч лет неверного толкования, была исключена путаница.
Было бы интересно познакомиться с нумерологией Канта, особенно по его знаменитой таблице из двенадцати категорий, представленной в виде четырех триад, каждая из которых находится в кардинальных точках. Но мы не будем занимать место для того, чтобы продемонстрировать или обсудить его самые интересные трихотомические ветвления, в которых философ впервые отказался от пифагорейского «деления на два», дихотомии и отважно разделил все на три. Вместо этого перейдем к словам Гаусса (выдающегося математика и современника Канта, уже упомянутого как одного из трех величайших математиков в истории), которыми тот охарактеризовал математическую философию Канта и других любителей математики. Для начала несколько слов о самом Гауссе.
Гауссу (1777–1855) исполнилось двадцать семь лет, когда Кант умер. К тому времени он уже был признан ближайшими соперниками выдающимся математиком в мире. Если Кант и слышал что-нибудь о Гауссе, то не придал этому значения. Оба, математик и философ, были известными домоседами. Самое длинное путешествие Канта составило сорок миль от Кенигсберга, рекорд Гаусса составлял двадцать семь миль от Геттингена, и для каждого из них столь далекое путешествие оказалось единственным приключением. Во всем остальном «величайший философ со времен Платона» и «величайший математик со времен Ньютона» были удивительно не похожи. Здоровяк Гаусс, всю свою жизнь обладавший крепким здоровьем, был законченным ипохондриком. Миниатюрный и хрупкий Кант поддерживал в себе жизнь только благодаря жесткой самодисциплине и постоянной заботе о здоровье. Но они были схожи в боязни собственной смерти. Когда они теряли друзей, то бывший друг вычеркивался из списка живых, и его было запрещено даже упоминать. Гаусс никогда не добивался почитания и, хотя всегда был полностью уверен в своем огромном вкладе в развитие современной математики, никогда не проявлял признаков самолюбования. Кант к старости несколько утомлял окружающих, уверовав в свою первосвященническую безгрешность. Интеллектуальные способности у метафизика ухудшались с возрастом, а у математика оставались все такими же полноценными и мощными вплоть до самого смертного часа. Интерес представляет радикальное отличие Канта и Гаусса. Если сравнение между такими несоизмеримостями, как метафизика и математика, возможно, то допустимо утверждать, что Гаусс лучше разбирался в метафизике, чем Кант – в математике. После окончания университета Кант не имел даже слабого представления о том, что происходит в жизни математики. Гаусс же всю жизнь продолжал прилежно изучать философию. Свободное владение языками позволяло ему не отставать от событий в мире философии не только Германии, но и других стран. Разумеется, он всегда считал себя лишь заинтересованным любителем, не претендуя на сколь-нибудь значимую роль в философии. Но любитель уровня Гаусса вполне может «стоить трех» профессионалов, особенно в философии математики. Пожалуй, в этом случае у Гаусса явное преимущество. Будь он честолюбив, он, а не Лобачевский получил бы титул «Коперника геометрии». Его интерес к фундаментальной геометрии возник еще в возрасте двенадцати лет. Когда умер Кант, Гаусс уже сделал некоторые шаги к неевклидовой геометрии, но нарочно отложил эти исследования, чтобы избежать бесполезных словесных препирательств с фанатиками от математики и профанами от метафизики. Поэтому нет ничего удивительного, что Гаусс не испытывал симпатий к философии математики Канта. Хотя Кант и читал работы Ньютона, а может быть, и из-за того, что он их читал, математические инструменты Канта, применяемые им при изучении проблемы математической истины, были так же стары, как и Евклидовы. С точки зрения математики «Критике» вместо XVIII века следовало появиться в IV веке до н. э.
Кант мог бы чему-нибудь научиться у «Аналитика» Беркли, если бы он не унял чувства, подозрительно напоминающие профессиональную ревность к своему сопернику-идеалисту. Возможно, он ничему не научился бы и у Гаусса, поскольку «принца математиков» никогда сильно не интересовало научить кого-то чему-то. Гаусс ненавидел любые формы наставлений, его шедевры были вполне законченными, но трудно читаемыми. Сравнительно мало людей разбирались в них, а еще меньше постигали всю глубину написанного. В своих опубликованных произведениях Гаусс всегда был взыскательно справедлив или холодно уважителен по отношению к предшественникам или современникам. Но в своих письмах к верным друзьям он бывал по-крестьянски резок. Не слишком грубый пример 1844 года рассказывает нам, что Гаусс действительно думал о математиках-любителях, когда те берутся разъяснить математику, что показывает его точку зрения на одну из кардинальных идей метафизики Канта: «Вы видите все то же самое [математическая некомпетентность] у современных философов (Шеллинга, Гегеля, Нес фон Эзенбека) и их последователей. У вас волосы не встают дыбом от их определений? Почитайте в истории древней философии, что великие люди той эпохи (Платон и другие (я исключаю Аристотеля) приводили в качестве доказательств. Даже у самого Канта зачастую не лучше. С моей точки зрения, его различия между аналитическими и синтетическими суждениями либо тонут от тривиальности, либо ложны».
Что называется, профессиональное знание против мнения любителя. Но и знание, и мнение могут меняться.
Не все идеи Канта о природе математики противостояли прогрессу, каким его понимали в начале XX века. Мы упоминали в предыдущих главах многообразие школ интуиционистов в философии математики, начало которым положил Брауер около 1912 года и которые медленно развивались под влиянием Вейля и др. В связи с математической бесконечностью было отмечено, что Брауер вслед за Кронекером, жившим в 1823–1891 годах, отказался признавать, что предположение либо истинно, либо ложно до тех пор, пока не найдется какой-нибудь способ подтвердить либо то, либо другое. Интуиционисты отрицают закон Аристотеля об исключенном третьем, где подобные средства отсутствуют. Между прочим, это отрицание оставляет за бортом многое из давно признанного «доказательства существования» классической математики, как чистой, так и прикладной. Это, однако, не является предметом сиюминутного интереса. Именно философия интуиционистов приводит нас обратно к Канту и «интуиции» в математике, на которой он настаивал. Сначала Брауер вообразил, что его философия вытекает из философии Канта, но позднее решительно отверг любую связь и заимствование и отрекся от Канта и почти всей его математической метафизики. Поскольку только создатель современного интуиционизма, как никто другой, может сказать, что вдохновило его, несерьезно оспаривать вопрос.
Математика для интуиционистов сродни (интуитивно?) «точной части нашего мышления» и является предшествующей как для логики, так и для философии. Источником математики декларировано «интуитивное предположение, которое представляет существующие математические концепции и подразумевает, что они для нас сразу ясны». Имеет место отрицание факта, что интуиция в любых отношениях мистична, для них она просто «способность рассматривать раздельно конкретные концепции и умозаключения, появляющиеся регулярно в общественном сознании». Интересно слегка дополнить данное отрицание и утверждение тем, что словарь определяет как понятие «мистицизм»: «Доктрина или вера в то, что прямое знание Бога, духовных истин и высшей реальности и так далее доступно через посреднические институты, предвидение или просветление, способом, отличным от обычного чувственного восприятия и логического рассуждения». «Объекты», с которыми имеют дело математики-интуиционисты, содержатся непосредственно в мысли. Напоминает «априорно синтетическую» геометрию Канта, но, в отличие от нее, эти объекты интуиционистов не зависят от опыта и не существуют вне мысли.
