Хоакин Наварро - Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики
И в завершение рассказа — снова о Паскале: его отец не воспринимал увлечение сына математикой всерьез, пока тот не сформулировал самостоятельно утверждения, охватывавшие содержание 32 первых теорем «Начал» Евклида. Мальчику в то время было всего девять лет, и после этого отец уступил просьбам сына.
Ускользающий многоугольник
Вундеркинд Карл Фридрих Гаусс в 19 лет обнаружил, какие многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а какие — нет. В то время Гаусс колебался между лингвистикой и математикой, поскольку к обеим наукам проявил удивительные способности. Раскрыв тайну многоугольников, он понял, что призван стать геометром, и занялся математикой. Гауссу не пришлось сожалеть о выборе: многие годы он оставался бесспорным лидером в своей области.
Найденный им ответ к задаче о многоугольниках был таким: правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки, если выполняется равенство
n = 2kp1p2·…·pm при k >= 0,
где рi — либо единицы, либо различные простые числа Ферма. Осталось объяснить, какие числа называются числами Ферма. Число Fp называется числом Ферма, если имеет вид
Числа Ферма могут быть простыми или составными:
F6 разложил на множители французский математик Фортюне Ландри в 1880 году. Для последующих Fp вплоть до F11 были найдены способы разложения на множители, но больше простых чисел Ферма обнаружить пока не удалось. Неизвестно, существуют ли они.
Из теоремы следует, что возможно построение правильных n-угольников для
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 24 … вплоть до 65537, что соответствует F4.
Здесь мы ненадолго остановимся и укажем, что, по-видимому, существует руководство, описывающее построение правильного 65537-угольника.
В 1894 году немецкий геометр Иоганн Густав Гермес (1846–1912) завершил немыслимое построение, занимающее свыше 200 страниц. Он не смог опубликовать свой труд и передал рукопись Гёттингенскому университету, где она хранится до сих пор и, возможно, будет храниться вечно — ознакомившись с описанием построения, некоторые сомневаются в его правильности. Каким же огромным будет разочарование, если окажется, что Гермес, потратив столько сил (по оценкам британского геометра Гарольда Скотта Макдональда Коксетера, эта работа заняла десять лет), допустил ошибку. Но вряд ли кто-то готов потратить еще десять лет на то, чтобы убедиться в этом.
Настоящий рыцарь
Гаспар Монж (1746–1818) не был рыцарем — он родился и вырос в семье торговцев. Его жизнь была неразрывно связана с Наполеоном Бонапартом — Монж последовал за Наполеоном в Египетский поход и с тех пор не расставался с ним. После смерти Монжа король запретил ученикам Политехнической школы присутствовать на похоронах. Сегодня гроб с телом ученого находится в Пантеоне. Монж был создателем начертательной геометрии и одним из крупнейших специалистов по начертательной и дифференциальной геометрии. О событиях его бурной жизни можно было бы написать целую книгу, но мы изложим всего один эпизод.
В юности Монж вел светский образ жизни. Однажды на приеме он услышал, как один из присутствовавших осыпал проклятиями некую вдову Орбон, которая отвергла его ухаживания. Неудачливый донжуан жаждал мести и обвинял вдову во всех смертных грехах. Галантный Монж не стерпел подобных оскорблений в адрес отсутствовавшей дамы и повздорил с этим господином. Ссора оказалась чрезмерно горячей, и оппоненты даже вызвали друг друга на дуэль, которая, впрочем, не состоялась. Спустя некоторое время Монжа представили одной очаровательной вдове, и он был восхищен ее юностью и красотой. Дама не хотела выходить замуж повторно до тех пор, пока не будут улажены все дела ее покойного мужа. Вы уже, наверное, догадались, что это была не кто иная, как мадам Орбон. Они поженились в 1778 году и, как говорят в сказках, стали жить-поживать и даже добра наживать, так как Наполеон пожаловал Монжу титул графа Пелузского. Современники считали этот брак примером для подражания.
Теорема Наполеона
Возможно, самым безобидным из деяний Наполеона Бонапарта (1769–1821), которое он совершил во время, свободное от принятия законов, покорения империй и планирования битв, было доказательство теорем. Наполеон, математик-любитель, не достиг профессионального уровня только потому, что, как всем известно, занимался несколько другими вещами. Однако он любил окружать себя блестящими математиками и часто беседовал с Фурье, Монжем, Лапласом и многими другими учеными. Возможно, при этом полководец несколько разочаровывал своих генералов, которых интересовало уничтожение противника, а не построения с помощью циркуля и линейки. Рассказывают, что военачальники, присутствовавшие на встречах императора с интеллектуалами, часто засыпали от скуки. Также известно, что Наполеон повелел геометру Лоренцо Маскерони (1750–1800) читать своим маршалам лекции по геометрии.
Приписываемая Наполеону теорема гласит, что если построить на сторонах произвольного треугольника равносторонние треугольники, то их центры определят равносторонний треугольник. Понять эту красивую теорему, которая считается элементарной теоремой геометрии Евклида, поможет рисунок.
Эта теорема, возможно, действительно была предложена в наполеоновскую эпоху, однако ее доказательство, по мнению экспертов, принадлежит не Наполеону. Формулировки этой теоремы с доказательством встречаются у разных авторов, старейшее принадлежит Резерфорду и датируется 1825 годом. Наполеон умер на острове Святой Елены четырьмя годами ранее, так что авторство теоремы вряд ли принадлежит ему. Любопытно, что Резерфорд опубликовал свое доказательство в развлекательном ежегоднике для дам — The Ladies' Diary.
Для теоремы Наполеона в прошлом веке было предложено несколько обобщений: Адриано Барлотти доказал ее уже не для равносторонних треугольников, а для правильных n-угольников.
О ценности вещей
Земли древнего Конго сегодня не вызывают особого интереса. Конго — одна из самых отстающих стран, где не прекращаются всевозможные племенные конфликты.
Эта страна — родина народа бакуба, народа геометров, который известен благодаря своим симметричным узорам. Их можно видеть на поясах и лентах, на масках, платках, на барабанах и даже статуях вождей. Европейцы в начале XX века попытались включить бакуба в список «цивилизованных народов» и, по давнему обычаю, поднесли королю дар — мотоцикл, который был для бакуба настоящим чудом. Однако главное внимание народа привлек не сам мотоцикл, а следы его шин. Бакуба скопировали эти узоры, оставленные протекторами, и король назвал их в свою честь. После такого впору задуматься: чем на самом деле измеряется ценность вещей?
Игры беспокойного разума
Героями кинофильмов стали немногие математики. Наибольшую известность среди них имеет Джон Форбс Нэш, главный герой фильма «Игры разума» (A Beautiful Mind), сошедший с ума в период расцвета творческой деятельности и вновь обретший разум много лет спустя, после вручения Нобелевской премии.
Джон Нэш (род. 1928) был не только нобелевским лауреатом, но и блестящим математиком. Его число Эрдёша равно 4. В книгах по алгебраической геометрии Нэш неизменно упоминается как автор теоремы, носящей его имя, согласно которой всякое риманово многообразие допускает изометрическое вложение в разновидность евклидова пространства. Эта важная теорема была опубликована в журнале «Анналы математики» в 1952 году под заглавием «Вещественные алгебраические многообразия» (Real Algebraic Manifolds). По легенде, настоящим автором статьи был сам редактор журнала, поскольку к тому времени Нэш уже был серьезно болен, и его рукопись напоминала непроходимые джунгли. Поэтому редактор статью переписал, и она была встречена с большим энтузиазмом. Возможно, это всего лишь легенда — симптомы паранойи начали проявляться у Нэша шестью годами позже, в 1958 году, но вообще об этом ученом рассказывают множество историй, которые так и просятся на киноэкран.
Джон Форбс Нэш.
Домохозяйка днем и геометр — ночью
Крайне редко бывает так, что простая домохозяйка в промежутках между варкой макарон и вышиванием демонстрирует всем, что ее мозг работает не хуже, чем у знаменитого сыщика Эркюля Пуаро. Но именно это и произошло с уставшей от домашних дел калифорнийской домохозяйкой Марджори Райс (род. 1923), которая всегда любила математику и головоломки. Сначала она помогала детям решать домашние задания по математике, а в конце концов даже специалистов заставила раскрыть рты от изумления. Как-то в руки Марджори попал номер журнала Scientific American, в котором его знаменитый колумнист Мартин Гарднер (1914–2010) объяснял результаты, полученные Кершнером и касающиеся замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Марджори увлеклась этой задачей и в свободное время за два следующих года нашла четыре принципиально новых замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Одно из ее решений изображено на рисунке.
