Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Сфера имеет во всех своих точках одну и ту же кривизну. Мы говорим, что эта поверхность постоянной положительной кривизны. Ясно, что хотя эллипсоид имеет тоже положительную кривизну, но она отнюдь не постоянна. Однополостный гиперболоид, наоборот, имеет отрицательную, но тоже непостоянную кривизну. Спрашивается: имеются ли поверхности постоянной отрицательной кривизны? Такие поверхности были открыты еще до Бельтрами. Отличительной особенностью поверхностей постоянной кривизны является то, что кусок такой поверхности может скользить по ней самой без разрывов и сжатий, как футляр шара по поверхности шара или кусочек бумаги по гладкой поверхности стола либо цилиндрической колонны. Важнейшее открытие Бельтрами состояло вот в чем: он обнаружил, что треугольники, сторонами которых являются кратчайшие линии на поверхности постоянной отрицательной кривизны, подчиняются "воображаемой" геометрии Лобачевского. Таким образом, выяснилось, что плоская геометрия Лобачевского осуществляется на одной из простейших поверхностей с постоянной отрицательной кривизной (именно такой поверхностью и является псевдосфера), и тогда уже не оставалось больше никаких сомнений в том, что в этой геометрии, как и в геометрии Евклида, нам нечего бояться противоречий.
- 272 -
- Ну, как Илюша? - сочувственно спросил Радикс. - Способен ли ты после этого соображать дальше или нет?
- Сейчас! - ответил Илюша. - Я только еще попробую.
Мальчик взял волшебно-математический аппаратик, измеряющий кривизну, и как только он приложил оловянный листик к поверхности гиперболоида, немедленно стрелка аппаратика пошла от буквы "Е" в другую сторону - это была самая настоящая отрицательная кривизна.
- Ясно? - спросил Коникос.
Илюша кивнул и сказал:
- Трудновато. Но мне кажется, я все-таки кое-что понял.
А теперь я хочу наконец про Архимеда послушать!
- Ну что ж! - раздумчиво промолвил Коникос. - Теперь-то, пожалуй, уж можно... Да, постой-ка! Я вот еще что хотел тебе сказать, чтобы ты не забыл. Дело в том, что наш эллипсоид вращения можно еще сжать сверху вниз так, чтобы его круглое сечение тоже обратилось из круга в эллипс. И тогда из эллипсоида вращения получится трехосный эллипсоид, у которого все три оси но всем трем измерениям, то есть и в длину, и в ширину, и в вышину, разные или по крайней мере могут быть разные. Ясно, что как ни рассекай его по всем этим трем перпендикулярным направлениям, в сечении получишь эллипс. Например, кусочек туалетного мыла, который в просторечии нередко называют обмылочком, обычно как раз и имеет форму трехосного эллипсоида! Или морские камушки, обкатанные морскими волнами...
- Как хорошо, - сказал Илюша, - что все эти ваши математические чудеса так легко встретить! Подумаешь, какое чудо обмылочек, а оказывается, он родственник самим коническим сечениям! (А про себя подумал: "Вот, значит, почему этот козлоногий человечек с флейтами говорил о морских камушках!") Постойте-ка, - продолжал он, - вы мне обещали показать, как делается псевдосфера.
- Совсем из головы вон! - сокрушенно сказал Асимптотос. - А ведь и вправду обещали! Поди-ка, Коникос, поищи-ка, где у нас там трактриса завалилась.
Не прошло и минуты, как Коникос вернулся весьма смущенный и раздосадованный.
- Пропала, скажи на милость! Истинное наказание!
- Ничего, - успокоил Асимптотос. - Подумаешь, какое горе! Возьмем да и новую сделаем.
Коникос принес довольно большую цепь с тяжелыми звеньями, вроде корабельной, и повесил ее за два конца на стену.
Цепь угрюмо повисла, образуя почти дугу, открытую сверху.
- 273 -
- Похоже на параболу, - шепнул Илюша Радиксу.
- Неверно. Впрочем, подобную ошибку в свое время сделал даже сам Галилей, так что тебе и подавно простительно.
Однако все же ты должен запомнить, что это вовсе не парабола, а так называемая цепная линия. Она только на маленьком участке у вершины очень похожа на параболу.
- К этой цепи у нас, - сказал Асимптотос, - прилажена особая ниточка, гибкая, нерастяжимая. Сейчас я ее отделю от цепи. Это особый способ чертить кривые - при помощи такой ниточки. Ты умеешь чертить по линейке, умеешь чертить циркулем, а это еще один способ чертить. Смотри внимательно!
Я отщипну эту ниточку в самой точке вершины цепи, то есть цепной линии, и буду, крепко все время натягивать нить, следить за тем, какую кривую опишет конец нити в той плоскости, в которой находится кривая. Так вот эту кривую, которую опишет конец нити, мы называем эвольвентой данной исходной, начальной кривой. А кривая, с которой надо сматывать нить, чтобы получить некую требуемую кривую, называется эволютой этой последней.
При этих словах Асимптотос отщипнул что-то от цепи в самой нижней ее точке. В руках его оказалась тонкая блестящая нить, которую наш ученый старичок начал как бы сматывать с цепи, все время крепко натягивая нить вниз и направо.
- 274 -
И конец нити послушно начертил новую своеобразную кривую, совершенно непохожую на ценную линию.
- Ну вот тебе и трактриса! - радостно воскликнул Коникос. - Сам Лейбниц дал ей это имя.
- Так что трактриса есть эвольвента цепной линии? - спросил Илюша.
- Точно! - отвечал Коникос. - Оказывается, ты кое-что соображаешь!
- Но если, - снова начал Илюша, - это особый способ чертить кривые, то должен ведь быть какой-нибудь общий прием, чтобы начертить так любую кривую?
- Это не так уж сложно, - вмешался Асимптотос. - Ты вот посмотри на перпендикуляры к касательным, которые именуются нормалями данной кривой.
- Радиус окружности и есть ее нормаль? - спросил Илюша.
- Справедливо! - отвечал Асимптотос. - Посмотри и заметишь, что касательные эволюты суть не что иное, как нормали эвольвенты. Поэтому, если тебе задана эвольвента, то построй к ней побольше нормалей: все они будут касательными к эволюте, которую эти касательные очень ясно обозначат на чертеже. Это будет кривая, плавно огибающая все эти прямые, касаясь их.
- Эволют у нас девать некуда, - заметил Коникос, - целая кладовая. Но можно еще и по-другому все это проделать.
Возьми отрезок прямой, приложи его в одной точке к шаблону эволюты и кати его по кривой, только чтобы он не скользил.
Вот ты и получишь эвольвенту безо всякой нити, потому что какая-нибудь заранее отмеченная точка на катящемся отрезке вычертит эвольвенту.
Радикс сейчас же объяснил Илюше, что он на досуге и сам все это может проделать. Надо взять топкую и нежесткую нитку примерно в сорок сантиметров длиной, намочить ее и мокрую повесить на стену на два гвоздика, которые вбиваются на расстоянии около пятнадцати сантиметров друг от друга.
А на то место, куда мы повесим нить, надо заранее прикрепить кнопками лист белой бумаги. Затем следует аккуратно начертить кривую, которую образует мокрая нитка, - это и будет приблизительно цепная линия. По этому чертежу надо изготовить картонный или фанерный шаблончик. В верхнем его углу следует закрепить нитку, обвести се по краю шаблона, а у вершины сделать петельку. Если теперь взять карандаш (сделав предварительно маленькую зарубку на графите) и вставить в эту петельку, то карандаш - если осторожно сматывать нитку - вычертит трактрису.
Коникос взял кривую и приладил ее, кряхтя и ворча, к диаграмме с картезианскими осями, повернув ее на девяносто градусов.
- 275 -
- Трактриса, - сказал он, передохнув после своей нелегкой работы, - это кривая весьма древнего происхождения.
Псевдосфера
Одно из замечательных свойств ее заключается в том, что если к ней провести касательную в любой точке, то расстояние по касательной от точки касания до некоторой прямой будет постоянным (удаляясь от своей вершины, трактриса неограниченно приближается к этой прямой, и на нашем чертеже эта прямая будет перпендикулярна к оси цепной линии). Если поместить конец нити на расстоянии а от горизонтальной прямой, а потом другой ее конец тянуть вдоль этой прямой, то первый конец и опишет трактрису. Отсюда и название ее (от латинского слова "тянуть"). Если же теперь мы прикрепим трактрису по ее горизонтальной оси к Центрифуге, то мы и получим искомую поверхность вращения, то есть именно псевдосферу.
И действительно, как только прикрепили трактрису к Центрифуге и пустили последнюю в ход, получилась псевдосфера, каковую Асимптотос спокойно снял со станка и разрезал пополам, затем добыл откуда-то резиновую нитку и влез внутрь того вогнутого конуса, похожего на опрокинутый бокал, который представляла собой полупсевдосфера.
- 276 -
На выпуклой поверхности два перпендикуляра сходятся
На плоскости два перпендикуляра не сходятся и не расходятся
Поверхность была довольно прозрачная, и Асимптотоса было отлично видно. Намазав резиновую нитку сажей, он натянул ее на поверхность полупсевдосферы и, щелкнув ниткой, получил одно ребро треугольника снизу вверх, направо от основания к вершине - ровную темную черту. Затем он так же обозначил другое ребро треугольника сверху, от вершины вниз направо, подмигнул Илюше и сказал:
