Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Илюша нарисовал.
- Будем теперь рассматривать этот чертеж как диаграмму, или график. Разделим обе стороны угла на равные промежутки и дадим делениям номера по порядку.
Илюша сделал и это.
- 225 -
- Теперь посмотрим, как расположена относительно сторон угла биссектриса. Когда на горизонтальной стороне мы найдем четвертую точку деления и восстановим из нее перпендикуляр, то он пересечет биссектрису в точке, которая по вертикальной стороне прямого угла соответствует...
- Тоже четвертому делению, - сказал Илюша. - Да ведь так и должно быть, потому что это биссектриса и обе стороны угла расположены симметрично по отношению к биссектрисе. По-моему так!
- Верно, - отвечал Радикс. - Но если так, значит, деления на сторонах угла позволяют нам определить положение точки внутри угла с помощью двух чисел, выражающих расстояния точки от сторон угла. Раз мы это выяснили, то тем самым мы сделали первый шаг к формулам, потому что формулы относятся именно к числам. Эти два числа называются координатами точки. Расстояние от вершины угла до основания перпендикуляра, опущенного на горизонтальную сторону угла, обычно обозначают буквой х и называют абсциссой точки. Горизонтальную сторону угла называют при этом осью иксов, или осью абсцисс. Другую сторону угла называют осью ординат, или осью игреков. Вторую координату точки - ее расстояние от оси абсцисс - обозначают буквой у, называя это число ординатой точки. Ось иксов и ось игреков называют осями координат, а точку их пересечения - началом координат. Очевидно, что для точки, лежащей в начале координат, и х и у равны нулю. Если двигать точку вправо, то значение х будет увеличиваться, а если ты будешь двигаться вверх, то будет расти значение у.
- Ясно. Если я пойду в левую сторону от оси ординат, то мне уже придется значения х считать отрицательными, а если пойду вниз, ниже осп абсцисс, то там надо значения у считать отрицательными.
- Совершенно верно. Теперь ты сможешь определить положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Ну, а теперь подумаем, нельзя ли нам как-нибудь записать с помощью формулы то свойство биссектрисы, о котором мы только что говорили. Какую бы точку ни взять на биссектрисе, для нее длины перпендикуляров, опущенных на обе стороны угла, должны быть равны...
- 226 -
- То есть абсцисса и ордината всякой точки на биссектрисе равны между собой! - воскликнул Илюша. - Это я понимаю, но как же это записать, если абсцисса и ордината могут принимать какие угодно числовые значения? Когда, например, х равен единице, то и у должен равняться единице; когда х равен двум, то и у равен двум...
Илюша внимательно посмотрел на чертеж, потом на своего друга, немного поколебался и написал:
у = х.
- Правильно! - сказал Радикс. - Если ты будешь искать на плоскости те точки, координаты которых удовлетворяют этому условию, то ты как раз и получишь твою биссектрису.
Мы будем называть такие равенства, переводящие свойства геометрических образов на алгебраический язык, уравнениями кривых. Такие уравнения определяют положение точек по отношению к выбранным координатным осям. Кстати сказать, угол между осями необязательно нужно брать прямой. Вообще можно определять положение точки на плоскости и другими способами, то есть можно применять, как говорят, различные системы координат. Некоторые элементы такого рода системы употреблялись еще в Древней Греции, у Аполлония Пергейского (эллинистическая эпоха, время Архимеда).
- 227 -
А у нас здесь самая простая система прямоугольных координат на плоскости. Она потому так называется, что угол между осями прямой. Их называют также декартовыми, по имени замечательного француза, крупнейшего математика и философа Ренэ Декарта, жившего в семнадцатом веке, который впервые ввел их в науку. Их называют еще картезианскими, ибо ведь в то время ученые сочинения писали по-латыни и имена авторов тоже переделывали на латинский лад, а по-латыни Декарт называл себя Картезием. Однако надо тебе знать, что впервые метод координат был предложен тем самым удивительным математиком Пьером Ферма, с чьей замечательной теоремой ты недавно познакомился. Это было в тридцатых годах семнадцатого столетия, хотя некоторые схожие с этим методом приемы были известны еще древним. Ферма много и плодотворно занимался вопросом о значении понятия геометрического места, и вот в результате этих его размышлений и опытов родился на белый свет метод координат. В одной из своих работ великий французский геометр говорил, что он придумал этот метод специально для изучения вопроса о геометрических местах и что он уверен, что благодаря этому новому способу анализа изучение этой отрасли геометрии станет для всех доступным.
Теперь мы можем хорошо оценить, какова была тонкая проницательность этого гениального ума. Действительно, Ферма, а за ним и Декарт придали учению о геометрических местах такую простоту и ясность, что этот очень мощный метод мог быть применен целым рядом ученых к труднейшим задачам с великой пользой для дела. Некоторые историки полагают, что во всем этом интереснейшем и полезнейшем перерождении математики ученым очень помогло то, что Декарт ввел в употребление метод графиков, таких, какие мы сейчас рассматривали. И этот наглядный способ очень помог ученым в их новых рассуждениях. Вслед за Декартом над той же задачей работал Исаак Ньютон, исследуя очень сложные кривые, и в его работах все основные трудности нового метода уже были преодолены. Самое замечательное следствие этих плодотворных работ Ферма, Декарта и Ньютона заключается в том, что благодаря им в математике удалось объединить и обобщить целый ряд различных сведений из геометрии, а вслед за этим привести их и в некоторую вполне стройную систему. Кстати сказать, именно Декарт стал обозначать переменные величины последними буквами латинского алфавита: х, у, z.
- 228 -
- Меня немного удивляет, - произнес в ответ Илюша, - что ты так много говоришь о системах. Мне кажется, что самое важное в математике - это уметь решить какую-нибудь задачу или, скажем, целый ряд каких-нибудь похожих друг на друга задач. Разве это не так?
- Почему не так? - возразил Радикс. - Конечно, это так, но я говорил о том, что когда ты решаешь целый ряд схожих между собой задач, то имеет смысл собрать воедино все способы их решения, а затем рассмотреть, что в них есть общего и чем они друг с другом связаны. В других случаях ты берешь какой-нибудь один способ решения задач и рассматриваешь, какого рода задачи можно при его помощи решать.
При этом ты нередко находишь связующие нити между задачами различного рода, и тем самым они объединяются. Постепенно путем таких объединений и обобщений строится общая теория. Вот что я имел в виду... А теперь посмотрим, что получится на чертеже, если мы вместо у = х напишем такое уравнение:
у = 2х.
Давай иксу различные значения, начиная с нуля, и следи, что будет происходить с игреком. А потом нарисуй, что у тебя получится.
Илюша составил табличку.
x | 0 1 2 3 4 5
y | 0 2 4 6 8 10
Когда он попробовал нанести точки на график и соединить их, то у него получилась снова прямая, но только теперь она не была уже биссектрисой, а шла гораздо ближе к вертикальной оси, как это показывает рисунок на странице 228.
- Опять прямая, - сказал Радикс, - только она наклонена по отношению к оси абсцисс под другим углом. Изменив коэффициент у икса в уравнении, ты изменил наклон прямой. Значит, этот коэффициент определяет наклон прямой. Ясно?
- Как будто ясно. Если увеличить коэффициент, то она будет еще скорее подниматься.
- И поэтому этот коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. Ну, а теперь, - продолжал Радикс, - давай прибавим к правой части уравнения постоянную величину, например "три".
Илюша написал уравнение, а затем составил табличку:
у = 3 + 2х.
- 229 -
x 2xy0
1
2
3
4
5
3
3
3
3
3
3
0
2
4
6
8
10
3
5
7
9
11
13
Когда теперь он нарисовал две последние прямые, то оказалось, что вторая прямая идет параллельно первой, но всюду проходит выше ее на три деления, как на рисунке на стр. 228.
- Ну вот, - заключил Радикс, - ты получил две параллельные прямые. Значит, по уравнению прямой ты очень легко можешь судить о том, как она расположена. Коэффициент этих прямых определяет наклон прямой, а свободный член говорит о том, выше или ниже прямая расположена. Теперь продолжим оси. Ось иксов продолжим влево за нуль; там мы будем наносить, как уже ты сказал, отрицательные значения х. Ось игреков продолжим ниже нуля, и там мы будем наносить отрицательные значения у. Теперь вот что: дадим у значение нуль в уравнении
у = 2 + х.
Илюша написал:
2 + х = 0.
- Ну, чему равен икс? Это ведь уравнение первой степени.
