Сергей Бобров - ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
- 211 -
- И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?
- Ты забываешь, что точки "не имеют длины" и длина отрезка вовсе не слагается из "длин" составляющих его точек.
Поэтому к длинам отрезков сравнение мощностей здесь никакого отношения не имеет.
- Я не пойму, - сказал Илюша. - Ведь отрезок состоит из точек, а точка не имеет длины. Откуда же берется в таком случае длина отрезка?
- Ты не понимаешь потому, что ты привык изображать точки маленькими пятнышками, которые, конечно, имеют протяженность. Если бы ты изображал точки маленькими отрезками, расположенными вдоль этого отрезка, то на тех же основаниях ты мог бы сказать, что "направление" отрезка "слагается" из "направлений" составляющих его точек. Но ведь ты этого не скажешь: тебе ясно, что точка "не имеет направления". Говорить о направлении можно, только если есть по крайней мере две различные точки. Согласен?
- Выходит, так, - со вздохом признался Илюша.
- Вот теперь ты знаешь секрет Мишкиного неразменного рубля. И ты видишь, что эти его хитрые фокусы с рублем совсем не пустяк, а связаны с очень серьезными вещами. Вот тебе и сказка. Знаешь, как говорится в одной сказке:
Сказка ложь, да в ней намек,
Добру молодцу урок!
- 212 -
- Знаю! - засмеялся Илюша. - Это у Пушкина в "Золотом петушке". Но теперь, когда я еще и это узнал, то уже совсем не понимаю, на что может быть нужна такая чудовищно громадная величина, которую и представить себе невозможно и с которой не знаешь, как обращаться, потому что она даже и правил наших никаких знать не хочет.
- Когда-нибудь ты еще много чудес узнаешь об этом удивительном чудовище. Узнаешь, может быть, и то, что это еще не самое большое из наших чудовищ...
- Как так?
- А очень просто, - коротко ответил Радикс. - Что же касается странных свойств нашего чудовища, то какими бы они странными тебе ни казались с первого раза, они тем не менее в высшей степени полезны. Если обращаться с ними с должной осторожностью, то они нам помогут в таких случаях, когда никто другой помочь не может. Разумеется, никаких обычных действий, которые мы производим с числами, с бесконечностью производить нельзя, ибо это ведь не число.
Она служит нам для рассуждения о процессах измерения таких величин, которые невозможно измерить, так сказать, "попросту". А рассуждения эти позволяют нам установить соотношения между этими трудными для измерения величинами (вроде длины окружности) и обыкновенными линейными мерами.
- Значит, есть задачи, в которых участвует бесконечность?
- Сколько хочешь! Вот тут-то и выступает перед нами мощный и совершенный Великий Змий, победитель веретен, развертыватель спиралей, покоритель бочек, великий механик центра тяжести, слагающий скорости, тот, кто открывает законы природы и записывает их простыми и понятными знаками.
И неясный облик Великого Змия мелькнул перед глазами Илюши.
- Тсс! - таинственно зашипел Радикс, подняв свой единственный указательный палец.
Но призрак уже исчез.
- Вот ты опять говоришь про спирали, бочки и законы природы!.. А я ничего не понимаю!
- В свое время ты все узнаешь. А сейчас нам надо еще потолковать с Мишенькой.
Плюшевый Мишка немедленно проснулся и начал играть со своим рубликом.
- 213 -
Он подкидывал его в воздух, и рубль, взлетая, рассыпался в мельчайшую серебряную пыль, которая потом спускалась сверкающим облачком в лапки Мишки. Мишка прыгал вверх ей навстречу, на миг исчезая в этом красивом облачке, а когда он падал обратно, то уже облачка не было, а у Мишки в лапках опять сверкал новенький неразменный рублик, отчеканенный (не забудь об этом, мой милый!) высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.
- Вот что, - вымолвил Радикс, - давай-ка возьмем убывающую геометрическую прогрессию. Пусть первый ее член будет половиной, а знаменатель одна вторая. Ну-ка, давай рассчитаем сумму.
Илюша написал формулу суммы.
- Давай переменим знаки в числителе и знаменателе, так будет попроще, - предложил Радикс.
Илюша послушался, и формула стала такая:
S = a1 (1 - qn) / (1 - q)
Потом Илюша стал подставлять данные. Вышло так:
S = 1/2 • (1 - (1/2)n) / (1 - 1/2)
- Внизу, - произнес Илюша, - получается половина, и я ее сокращаю с половиной, которая стоит спереди множителем.
Значит, у меня остается штука нехитрая:
S = 1 - (1/2)n)
Ну вот-с! - сказал Радикс. - Теперь давай-ка разберем, сколько выйдет, если мы опять возьмем шахматную доску, на первую клетку положим половину... Чего бы нам взять?..
Ну, возьмем половину яблока! На вторую клетку кладем четверть яблока, на третью восьмушку и так далее. Сколько же выйдет на восьмой клетке?
- На восьмой будет единица минус половина в восьмой степени, то есть
1 - (1/2)8
- 214 -
Впрочем, можно ведь и так написать:
1 - 1/28
- Можно, - сказал Радикс. - А сколько будет два в восьмой степени?..
- Двести пятьдесят шесть! Значит, из единицы надо вычесть одну двести пятьдесят шестую. Получится двести пятьдесят пять двести пятьдесят шестых.
- Так! Это мы прошли первый ряд клеток. В конце второго ряда...
- Будет единица минус одна вторая в шестнадцатой степени.
- То есть знаменатель шестьдесят пять тысяч пятьсот.
- Можно сказать, сумма равна единице минус одна шестидесятипятитысячная. Вот как ловко! В конце третьего ряда двойка возводится уже в двадцать четвертую степень.
- Это будет примерно семнадцать миллионов.
- Значит, в сумме будет единица минус одна семнадцатимиллионная! А к концу четвертого ряда - это уж половина всей доски - одна вторая в степени тридцать два...
- Знаменатель дроби будет примерно равен четырем биллионам.
- Как быстро растет! Мастерица она, оказывается, расти, эта прогрессия! - воскликнул Илюша. - Значит, к половине доски мы уложим все яблочко, исключая одну четырехбиллионную. Уж не знаю, как же разрезать яблоко на четыре биллиона частей? Ведь биллион - это тысяча миллионов! Ну, а что же будет дальше? Когда мы доберемся до конца доски, то возведем нашу половину в шестьдесят четвертую степень, то есть это будет одна восемнадцатиквинтиллионная! Вот так дробь! Но как же отрезать от яблочка такой малюсенький кусочек?
- Дело не в этом, - отвечал Радикс. - Допустим, что мы уж сумеем отрезать.
- Охотно допускаю! - воскликнул Илюша.
- Но скажи: каким образом ты отличишь целое яблоко от яблока, у которого не хватает... ну, хотя бы одной шестидесятипятитысячной доли, чтобы быть целым? Я уже не говорю о еще более крохотных долях единицы.
- Да-а! Ни в какой микроскоп не усмотришь!
Тут Мишка подошел к Илюше и гордо спросил:
- А если я буду опять расти, как рос раньше, тогда что будет?
- 215 -
- Тогда, - сказал Илюша, - мне кажется, что эта дробь почти совсем не будет отличаться от нуля.
- Верней, - сказал Радикс, - было бы сказать так: если и будет расти до бесконечности, то эта дробь, изменяющая свое значение по закону геометрической прогрессии, может стать сколь угодно малой, то есть, проще сказать, меньше всякой наперед заданной величины. Вот такого-то рода изменяющиеся, переменные величины, которые бесконечно уменьшаются, и называют бесконечно малыми. Но если это так, то, следовательно, нам, чтобы получить нашу сумму, придется вычитать из единицы величину бесконечно малую. Что ни дальше мы двигаемся по нашему ряду, то есть по убывающей геометрической прогрессии, тем ближе подходим к некоторой границе нашего движения. Ясно это тебе или нет?
- Не очень, - признался Илюша.
- Припомни, - сказал Радикс, - припомни-ка хорошенько, как мы с тобой толковали насчет того, что будет происходить с частными от деления единицы на все большие и большие числа. Ясно, что величина частного будет изменяться, то есть это будет величина переменная. Не так ли?
- Так, - согласился Илюша.
- Хорошо, - продолжал Радикс. - И как величина переменная и безгранично уменьшающаяся она имеет в данном случае некоторый предел, к которому она приближается...
Ну, как ты скажешь?
- Ясное дело, - отвечал мальчик, - что таким пределом будет нуль. Если взять очень большой делитель, то частное от деления единицы на него станет таким малым, что его от нуля, пожалуй, и не отличишь.
- Совершенно очевидно! - воскликнул Радикс. - И запомни: мы называем бесконечно малой величиной такую переменную величину, которая имеет своим пределом нуль.
Бесконечно большая и бесконечно малая тесно связаны друг с другом в том смысле, что если делить единицу на бесконечно большую величину, то получится бесконечно малая, и наоборот. Ну, так что же из всего этого следует в отношении нашей задачи о яблоке и шахматной доске?
- По-моему, вот что: если вычитаемое стало бы нулем...
- Чтобы нам не сбиваться, - поправил его Радикс, - давай говорить так: "Если вычитаемое в пределе превратится в нуль". Тогда все будет ясно.
- Хорошо, - согласился мальчик, - будем говорить так.
