Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
XX столетие было довольно… довольно деятельным столетием. Много чего произошло во всех сферах человеческой жизни. Поэтому в ретроспективе век кажется ужасно долгим, намного дольше, чем просто полторы стандартные протяженности человеческой жизни, в общем-то и составляющие век. Но математика выступает величавой неспешной поступью, и глубокие проблемы, исследуемые современными математиками, выдают свои тайны очень медленно и неохотно. Внутри каждой конкретной математической дисциплины мир также довольно тесен, со своими героями, фольклором и устными традициями, связывающими сообщество воедино как в пространстве, так и во времени. Когда я собирал материал для этой книги, то из разговоров с ныне здравствующими математиками сделал вывод, что XX столетие не так уж далеко простерлось во времени — великие имена, связанные с его началом, находятся от нас все еще «в пределах слышимости».
Например, я пишу эти строки всего неделю спустя после разговоров с Хью Монтгомери, ключевым персонажем в достижениях (о которых будет рассказано в подходящий момент) 70-х и 80-х годов XX века. Хью закончил аспирантуру в Тринити-колледже в Кембридже в конце 1960-х. Среди сотрудников колледжа, которых он знал лично, был Джон Идензор Литлвуд (1885-1977), который в 1914 году получил один из первых значительных результатов, продвигающих вперед наше понимание Гипотезы Римана. «Он пытался убедить меня понюхать пороху с этой задачей», — рассказывает Хью, у которого до сих пор сохранились рукописные записки Литлвуда. Литлвуд теоретически мог бы встретиться и говорить о математике с другом Римана Рихардом Дедекиндом, который дожил до 1916 года, продолжая заниматься математикой практически до самого конца жизни, и который учился у Гаусса! (Мне не удалось выяснить, имела ли такая встреча место в действительности. В реальности она не очень вероятна. Дедекинд ушел на пенсию с поста профессора в Брауншвейгской политехнической школе в 1894 году, после чего, согласно Джорджу Пойа[106], «жил тихой жизнью, встречаясь лишь с очень небольшим числом людей»).
Описываемый период развития математики вызывает сильное ощущение непрерывности, из-за которого меня так и подмывает отбросить строго хронологический подход при рассказе о XX столетии. Это искушение усиливается ввиду характера достижений совершенных в течение этого столетия. История о Гипотезе Римана в XX веке состоит не из одной линии рассказа, а из нескольких нитей, иногда пересекающихся, иногда переплетающихся друг с другом. Здесь требуется маленькое предварительное объяснение; а объяснение само по себе требует предисловия — замечания о том, как математика развивалась в период с 1900 по 2000 год.
V.
Если не считать парижского доклада Гильберта, то 1900 год, конечно, представляет собой произвольную отметку во времени. Математика развивалась равномерно и непрерывно на протяжении всего современного периода. Математики не отправлялись домой с новогодних вечеринок в первые часы 1 января 1900 года (или, если вам больше нравится, 1901 — см. главу 6.ii) с мыслями: «Ага! Уже XX столетие! Нам надо переходить на более высокий уровень абстракции!» — по крайней мере, не в большей степени, чем европейцы, проснувшиеся утром 30 мая 1453 года, думали: «Средние века закончились! Надо бы заняться книгопечатанием, усомниться в авторитете Папы и отправиться открывать Новый Свет!» Мне бы очень не хотелось оказаться в ситуации, когда перед судом моих коллег мне пришлось бы обосновывать термин «математика XX века».
Но при этом все же верно, что математика последних нескольких десятилетий приобрела характерный оттенок, ясно отличающий ее от той математики, которой занимались Гаусс, Дирихле, Риман, Эрмит и Адамар. Насколько его можно передать в одном слове, этот оттенок — алгебраический. Вот начало первого утверждения в книге «Некоммутативная геометрия» Алена Конна, вышедшей в 1990 году и представляющей собой довольно-таки типичный для конца XX века текст по высшей математике:
Классы ограниченных случайных операторов (q/)/єx, рассматриваемых по модулю равенства почти всюду, образуют алгебру фон Неймана W(V,F) относительно следующих алгебраических правил…
Алгебраический… алгебра… И это в книге о геометрии! (Кстати, одиннадцатое слово в формулировке последней теоремы — слово и «риманово».[107])
Происходило же в эти последние десятилетия в общих чертах такое. По ходу большей части своего развития математика твердо опиралась на число. Большая часть математики XIX столетия имела дело с числами: целые числа, рациональные числа, вещественные числа, комплексные числа. В процессе этого развития возникали новые математические объекты, а также раздвигались границы существующих объектов — функций, пространств, матриц — и изобретались новые мощные средства для работы с ними. Но все это так или иначе имело отношение к числам. Функция отображает одно множество чисел в другое множество чисел. Например, функция возведения в квадрат отображает 3, 4 и 5 в 9, 16 и 25; дзета-функция Римана отображает 0, 1 + i и 2 + 2i в −1/2, 0,58216 − 0,92685i и 0,86735 − 0,27513i. Аналогично, пространство — это множество точек, задаваемых своими координатами, которые также суть числа. Матрица — это таблица из чисел. И так далее. (Мы будем рассматривать матрицы в главе 17.iv.)
В математике же XX столетия объекты, введенные ранее для выражения важных фактов о числах, сами сделались объектами исследования, и к ним стали применять развитые к тому времени методы изучения чисел и множеств чисел. Математика как бы сорвалась с якоря, привязывающего ее к числу, и воспарила к новым уровням абстракции.
Классический анализ, скажем, имеет своим предметом предел бесконечной последовательности чисел или точек (причем «точка» определяется своими координатами, каковые суть числа). Типичный же продукт XX века — «функциональный анализ», в котором фундаментальный объект исследования — последовательности функций, которые могут сходиться или расходиться и в которых сами функции предлагается рассматривать как «точки» в пространстве бесконечного числа измерений.
Математика уже обратилась сама на себя до такой степени, что даже сами методы исследования и доказательства превратились в объекты изучения. Ряд самых важных теорем в математике XX века касается полноты математических систем (Курт Гедель, 1931) и разрешимости математических пропозиций (Алонсо Черч, 1936).
Но эти основополагающие изменения пока еще, даже в начале XXI века, не нашли своего отражения в математическом образовании (по крайней мере на уровне знаний, необходимых для поступления в университет). Не исключено, что это вообще невозможно. Математика — предмет, где знания накапливаются. Каждое новое открытие что-то добавляет к общему знанию, но ничто никогда оттуда не изымается. Один раз установленная математическая истина навечно остается истиной, и каждое следующее поколение обучающихся должно ее усвоить. Такая истина никогда (ну, практически никогда) не становится неверной или несущественной — хотя и может выйти из моды или же оказаться частным случаем некоторой более общей теории. (Заметьте при этом, что в математике «более общая» не обязательно означает «более сложная». В проективной геометрии имеется теорема Дезарга, которую легче доказать в трех измерениях, чем в двух. Теорема, которую легче доказать в размерности четыре, чем в размерности три, содержится в главе 7 книги Г.С.М. Кокстера «Правильные политопы».[108])
Молодые и толковые американцы, приступающие к изучению математики в качестве предмета основной специализации на первом курсе в колледже, будут изучать математику, по существу, в том же виде, в каком она была известна молодому Гауссу — возможно, с короткими экскурсами в некоторые области, развитые в более позднее время. Поскольку моя книга нацелена примерно на такой уровень читателей, та математика, о которой здесь рассказывается, в сильной степени пропитана духом XIX века. В повествовательных главах я собираюсь рассмотреть все достижения вплоть до сегодняшнего дня, предлагая для них лучшие объяснения, которые я только смогу придумать, но математические главы этой книги нечасто будут переходить рубеж 1900 года.
VI.
История Гипотезы Римана в XX веке — это история навязчивой идеи, хватку которой рано или поздно почувствовало большинство великих математиков этой эпохи. Примеры одержимости этой идеей имеются в изобилии, как будет видно из нескольких последующих глав. Сначала обратимся к отдельному примеру. Давид Гильберт, как уже рассказывалось, поместил Гипотезу Римана восьмой в списке из 23 проблем, на которых математикам XX столетия предстояло сконцентрировать свои усилия. Это было в 1900 году, до того как навязчивая идея взяла свое. Его умонастроение несколько лет спустя видно из следующей истории, рассказанной его младшим коллегой Джорджем Пойа:
