Владимир Левшин - Путешествие по Карликании и Аль-Джебре
По дороге нам повстречалась старая знакомая — та самая Мнимая Единичка, которая спрашивала у Автомата, найдётся ли ей место в жизни. Мы её сразу узнали по маленькому красному зонтику.
— Здравствуйте, как поживаете?
— Отлично, — ответила она. — Автомат сказал правду: и Мнимая Единица на что-нибудь да годится.
— Неужели вы нашли себе место на воздушной монорельсовой дороге?
— Конечно, но не на той ветке, где живут действительные числа. У нас, Мнимых Единиц, собственная дорога. Она пересекает воздушную монорельсовую как раз на Нулевой станции.
— Как же мы её не заметили? — спросил Сева.
— Так ведь наша дорога мнимая и не сразу бросается в глаза.
— Жаль, что не сразу! — сердито отрезал Сева. — Теперь придётся возвращаться, чтобы посмотреть на неё.
— Возвращаться к старому иногда полезно, — заметила Мнимая Единичка. — Но с небольшим кусочком мнимой дороги вы можете познакомиться и здесь. В парке построен новый аттракцион. Он называется «Mнимая карусель». Я там работаю. Хотите взглянуть?
Хотим ли мы взглянуть на карусель, да ещё мнимую? Как ты думаешь?
Олег.
Мнимая карусель
(Таня — Нулику)
Вот тебе, Нулик, наши последние новости.
По дороге к аттракциону всё чаще мелькали рекламные плакаты:
ПЕРВАЯ В МИРЕ МНИМАЯ КАРУСЕЛЬ! Исключительно для мнимых единиц! Единственное место, где мнимые единицы могут стать действительными! Мнимые Единицы, кружитесь на здоровье!Наша симпатичная подружка щебетала без умолку и рассказала кучу интересного.
Оказывается, Мнимая Единица — это просто-напросто корень квадратный из отрицательной единицы:
— А разве из минус единицы нельзя извлечь корень? — спросил Сева. — Ведь корень квадратный из единицы всегда равен единице.
— Ой-ой-ой! — ужаснулась Мнимая Единичка. — Это касается только положительной единицы. Ведь что значит извлечь корень квадратный, скажем, из девяти?
— Это значит найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось бы девяти, — ответил Олег. — Это число три.
— Верно. А теперь попробуйте найти число, которое при возведении в квадрат даёт минус единицу! — Мнимая Единичка тоненько засмеялась.
Сева озадаченно взъерошил волосы:
— М-да! Такого числа нет. Какое число ни возводи в квадрат, положительное или отрицательное, ответ всё равно получится положительный. Уж я-то знаю!
— Вот видите. Потому-то корень квадратный из минус единицы называется мнимой единицей.
— Выходит, мнимые единицы совсем особые числа. Наверное, и дорога у вас устроена как-нибудь особенно?
— Ничуть. Наша дорога очень похожа на ту, где живут действительные числа, только расположена она под прямым углом к ней. Это такая же бесконечная прямая, в центре которой находится всё та же Нулевая станция.
— Раз у вас есть Нулевая станция, значит, есть положительные и отрицательные числа?
— Что вы! Разве мнимые числа могут быть положительными и отрицательными? Просто на нашей дороге, так же как и на дороге действительных чисел, есть два направления от нуля. Одно из них условились обозначать знаком плюс, другое — знаком минус.
— Но как же мнимые числа отличают от действительных?
— С помощью буквы i:
2i, 5i, −8i, −12i.
— Вот как! У вас, как и у других букв в Аль-Джебре, тоже есть коэффициенты?
— Конечно.
— А где же ваш коэффициент? — ляпнул Сева.
И когда только он научится вести себя в обществе? Хорошо ещё, воспитанная Единичка сделала вид, что не заметила его бестактности.
— Мой коэффициент — единица, и он, как всегда, невидимка.
Но Сева уже закусил удила. Ужасный он спорщик!
— Вот вы говорите, что мнимая монорельсовая дорога похожа на действительную. Значит, и правила движения на ней те же. Так ведь? Тогда при чём здесь карусель? Ведь на обычной монорельсовой дороге движение идёт по прямой, а карусель-то кружится?
— Вы отчасти правы, — ответила Мнимая Единичка. — Правила движения у нас более разнообразны. При сложении и вычитании вагончики на мнимой дороге движутся по прямой и по тем же правилам, что и действительные числа:
2i+Зi=5i;
8i−15i= −7i,
или вот еще ну и конечно:
5i−5i=0,
Мнимые Единички с разными знаками и одинаковыми коэффициентами взаимоуничтожаются на Нулевой станции.
Иное дело — умножение, деление, возведение в степень… Тут уж Мнимые Единицы двигаются не только по прямой, но и по кривой. Именно это вы сейчас и увидите.
Мы вошли в круглый павильон. Там было полным-полно Мнимых Единиц. Все они с нетерпением ждали своей очереди покружиться.
Павильон очень похож на цирк. Места расположены амфитеатром. В центре — арена, её под прямым углом друг к другу пересекают две перекладины. Одна перекладина изображает монорельсовую дорогу действительных чисел. На концах её укреплены таблички
Другая перекладина изображает дорогу мнимых чисел. Здесь на концах находятся таблички
На пересечении дорог, в центре арены, — Нулевая станция. Здесь укреплена вращающаяся ось, и на неё (совсем как патефонная пластинка) надет прозрачный пластмассовый круг.
Когда мы вошли, карусель только что остановилась. С неё легко соскочила Мнимая Единица с зелёным зонтиком. Вместо неё на круг против таблички
стала Мнимая Единица с жёлтым зонтиком.
Наша спутница подошла к микрофону и скомандовала:
— К возведению в степень приготовиться!
Прозвенел звонок, и под звуки плавного вальса круг тронулся. Только не по часовой стрелке, а в обратную сторону. И тут-то начались необыкновенные вещи!
Мнимая Единица с жёлтым зонтиком пересекла дорогу действительных чисел у таблички
и превратилась в действительное число — Отрицательную Единицу. Возле таблички
она снова стала Мни
мой Единицей, но уже со знаком минус. Вот она снова пересекла действительную дорогу, поравнялась с табличкой
и — невероятно! — опять превратилась из Мнимой Единицы в Действительную, да ещё положительную. А потом как ни в чём не бывало возвратилась к табличке
Тут она снова стала Мнимой.
Оркестр заиграл песню «Каким ты был, таким остался!», и всё началось сначала. Карусель кружилась, а Мнимая Единица всё превращалась и превращалась.
— Не понимаю, — сказал Сева. — Мнимая Единица превращается в Действительную, Действительная — опять в Мнимую… Как это?
— На то и возведение в степень! — отозвалась Мнимая Единичка. — Ведь Мнимая Единица равняется корню квадратному из минус единицы:
Но если возвести в квадрат корень квадратный из любого числа, что получится?
— Подкоренной число, — ответил Олег.
— Так это же мы недавно видели! — вспомнил Сева. — Один карликан целый час возводил в квадрат то корень квадратный из трёх, то корень квадратный из двух… И каждый раз получалось число, стоящее под радикалом.
— То же самое происходит и с Мнимой Единицей:
— Ну, это понятно. А как же действительное число — минус единица — превращается в мнимое?
— При этом Мнимая Единица, возводится уже не в квадрат, а в куб, то есть в третью степень:
А это ведь всё равно что умножить минус единицу на i:
— Теперь, — сказал Олег, — нетрудно понять, как Мнимая Единица с минусом
превращается в Действительную Единицу со знаком плюс
Она возводится в четвёртую степень:
А это можно представить себе и так:
−1 × −1 = +1.
— Прекрасно! — воскликнула Мнимая Единичка. — Остаётся выяснить, как Действительная Единица снова становится Мнимой.
В самом деле, как? Тут даже Олег ни до чего не додумался. Но оказалось, что для этого Мнимую Единицу надо возвести в пятую степень.
— Не может быть! i5 равно i?! — растерялись мы. — Как же так? Что же это такое?
— Да ничего особенного: i4=1.
Чтобы получить i5, умножим единицу на i. А это ведь всё равно что i, взятое один раз, то есть просто i:
