Микель Альберти - Мир математики. т 40. Математическая планета. Путешествие вокруг света
Цель строительства Стоунхенджа неизвестна. Среди приписываемых ему функций выделим три наиболее вероятных: место отправления культа, захоронение и астрономическая обсерватория. Следует отметить, что в те времена, когда был построен Стоунхендж, в дни летнего солнцестояния лучи солнца прочерчивали главную ось сооружения. На закате того же дня лучи солнца указывали ось так называемого Вудхенджа — памятника, расположенного неподалеку от Стоунхенджа, где были найдены многочисленные кости животных и другие предметы, которые, возможно, использовались во время религиозных или культовых церемоний.
Стоунхендж отличается от приведенных выше примеров тем, что имеет круглую форму. И все же существуют некоторые черты, которые роднят его с описанными выше культурными объектами: структура Стоунхенджа основана на ряде повторений, подчиняющихся общему закону, что придает сооружению особый характер. В петроглифе из пещеры Бломбос повторяются треугольники, на кости Ишанго — равноудаленные зарубки, в Стоунхендже — круги. Повторяющиеся круги Стоунхенджа образуют единую мощную структуру, так как имеют общий центр.
Можно пойти еще дальше и найти соотношение между диаметрами двух концентрических окружностей Стоунхенджа, которые равны примерно 30 и 24 м:
30 м/24 м = 5/4 = 1,25
Однако диаметры этих окружностей вполне можно принять равными 30,4 м и 24,1 м. В этом случае их соотношение будет таким:
Учитывая, что 1,26 — очень точное приближение кубического корня из 2, можно ли сделать вывод, что строителям Стоунхенджа были известны пропорции, а отношение диаметров окружностей действительно равно кубическому корню из 2?
Увы, никаких подтверждений этой гипотезы не существует.
Следует выделить три особенности Стоунхенджа: во-первых, он имеет уникальную геометрическую структуру, которая представляет собой ряд концентрических окружностей, во-вторых, в нем проявляется связь с астрономией, и, в-третьих, он служит примером того, как в сооружениях древней культуры проявляется геометрическая точность.
Еще до появления Стоунхенджа вавилоняне, жившие на землях между реками Тигр и Евфрат в Малой Азии почти за 2 тысячи лет до нашей эры, записывали свои мысли на глиняных табличках. Хотя использованные для этого петроглифы и имеют геометрический характер, их уже можно назвать знаками письменности. Многое из того, что нам известно о народах, населявших Месопотамию, — это не просто гипотезы, а результаты расшифровки древних записей.
В том же регионе примерно за 3 тысячи лет до нашей эры шумеры начали записывать слова с помощью идеограмм. Со временем эти идеограммы усложнялись, и спустя примерно тысячу лет из них образовалась система письма, которую мы сегодня называем клинописью. Клинопись начали использовать другие народы, и на ее основе был создан древний персидский алфавит.
Известно около двух тысяч символов клинописи, однако позднее использовалось не более 600. Далее представлены символы, которыми обозначались первые 39 чисел. По их форме четко видно, что вавилоняне использовали десятичную систему счисления.
Символы вавилонской системы счисления.
Однако вавилонская система счисления не сводилась к простой десятичной. На маленькой табличке YBC 729 изображен квадрат и две его диагонали. Рассмотрев рисунок, мы поймем, что вавилоняне использовали числа не только для счета.
Вавилонская глиняная табличка YBC 729.
Числа, приведенные на иллюстрации, могут обозначать длину отрезка, рядом с которым они записаны. Однако числа 42, 25 и 35, кажется, записаны далеко от стороны и диагонали квадрата. Каким соотношением связаны 30, 1, 24, 51, 10, 42, 25 и 35? Откуда взялись эти величины?
Предположим, что 30 единиц — это длина стороны с квадрата. Вычислим длину его диагонали D:
D = 30·√2 = 42,4264068…
Мы получили одно из чисел на табличке — 42. Однако вавилоняне использовали шестидесятеричную систему счисления. Переведем полученный результат в нее (необходимые действия можно выполнить на калькуляторе).
30·√2 —> 42°25′ 35,06".
Мы получили 42, 25 и 35. Можно смело предполагать, что тот, кто заказал или изготовил табличку, вычислил длину диагонали квадрата со стороной в 30 единиц и записал результат, найденный с удивительной точностью, в шести десятеричной системе счисления: 42°25′35″.
Осталось понять, откуда взялись числа 1, 24, 51 и 10. Что, если это частное, отношение между диагональю и стороной квадрата? Вычислим это отношение в шестидесятеричной системе счисления:
(D/c) = √2 — > 1°24′ 51,17".
Следовательно, число в шестидесятеричной системе, записанное над диагональю, — это приближенное значение квадратного корня из двух, вычисленное с удивительной точностью. Этот результат подтверждает предположение о том, что вавилоняне обладали знаниями геометрии и умели вычислять длину диагонали квадрата.
Как именно были получены указанные результаты, из таблички неясно. Из другой таблички под названием Плимптон 322 видно, что вавилонянам были знакомы пифагоровы тройки, и они умели вычислять пропорции между ними, то есть стороны прямоугольных треугольников и тригонометрические функции. Однако это вовсе не означает, что им была известна теорема Пифагора, не говоря уже о ее доказательстве. Как же тогда были получены приведенные выше результаты? Быть может, древние применяли итеративный метод, в котором последовательность приближений сходится к столь точному значению квадратного корня из 2?
Вавилонская система счисления имела один важный недостаток — в ней не было символа, обозначавшего ноль. Как отличить 106 от 16 без ноля? Изначально ноль обозначался пробелом, однако это не решало всех сложностей. Как отличить три пробела в записи числа 10 006 от двух пробелов в записи 1006? Вавилоняне решили эту проблему, дополнив запись числа разделительными символами, однако в результате арифметические действия намного усложнились.
Пирамиды и папирусы
За полторы тысячи лет до Стоунхенджа и почти за тысячу лет до глиняных клинописных табличек были воздвигнуты египетские пирамиды.
Расположение пирамид Гизы (Египет).
Возможно, что мы никогда не узнаем, как именно были построены эти сооружения, но сама их форма, расположение и размеры наводят на мысль, что в проекте не обошлось без математики. Пирамиды представляли собой усыпальницы фараонов, обладавших полной и безграничной властью над своими подданными.
Древнейшую из пирамид, ступенчатую пирамиду Джосера в Саккаре, спроектировал Имхотеп около 2700 года до н. э. Спустя примерно 500 лет в долине Гизы близ Каира были воздвигнуты три великие пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина. Характеристики пирамиды Хеопса таковы.
Форма: пирамида с квадратным основанием,
Грани: равнобедренные треугольники.
Высота: 147 м.
Длина стороны основания: 230 м
Угол наклона граней: 52°
Угол наклона ребер: 42°
Направление сторон основания: север — юг.
Зная длину стороны основания и высоту пирамиды, нетрудно вычислить углы наклона ее граней и ребер. Однако при этом мы воспользуемся методами тригонометрии, неизвестными древним египтянам. Как же им удалось придать пирамиде желаемую форму и размеры?
Для ответа на вопрос решим три математические задачи.
1. Как были изготовлены каменные блоки в форме прямых призм?
2. Как на земле отмечались прямые углы квадратного основания пирамиды?
3. Как были возведены треугольные грани под углом в 52°?
Чтобы изготовить из каменного блока неправильной формы прямоугольную призму, мастера сначала отмечали на нем прямую линию. Для этого они могли натянуть смоченную краской веревку подобно тетиве лука. Веревка указывала на неровной поверхности направление распила. Проверить направление можно было по деревянной рейке и визирной линии. Далее мастер выполнял эти же действия с другого края блока так, чтобы отмеченные линии были параллельны. Параллельность определялась на глаз. Этих линий было достаточно для того, чтобы сформировать первую плоскую сторону блока. Даже сегодня некоторые строители считают, что по визиру линии определяются точнее, чем с помощью натянутой веревки.
При помощи угольника аналогичные построения можно провести для следующей грани и так далее. Как видите, изготовить прямоугольный блок непросто, а потери материала у неопытного мастера могут достигать половины объема исходного блока.
Теперь, возможно, вы задумались, как мастера изготавливали угольники и обеспечивали перпендикулярность сторон? Этот вопрос приводит нас ко второй задаче — задаче о построении прямого угла на земле. Как египтяне 4 тысячи лет назад строили прямые углы?
